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高二理科数学周练五



高二下学期数学周练五 2014.03. 20
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

1.i 是虚数单位, 1 3 A.4- 12 i

i =( 3+3i

) 1 3 C.2+ 6 i 1 3 D.2- 6 i )

1 3 B.4+ 12 i

r />2. 设 a>0,b>0,则以下不等式中不一定成立的是( b a A.a+b≥2 B.ln(ab+1)≥0

C.a2+b2+2≥2a+2b D.a3+b3≥2ab2

3.已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1 在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数 a 的取值范围是( ) B.[- 3, 3] D.(- 3, 3)

A.(-∞,- 3]∪[ 3,+∞) C.(-∞,- 3)∪( 3,+∞)

1 1 1 4.用数学归纳法证明不等式 1+2+3+?+ n <n(n∈N*且 n>1)时, 第一步 2 -1 应验证不等式( 1 A.1+2<2 ) 1 1 B.1+2+3<2 1 1 1 1 1 C.1+2+3<3 D.1+2+3+4<3

1 1 5 5.曲线 y=3x3+2x2 在点 T(1,6)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 ( ) 49 A.18 49 B.36 49 C.72 49 D.144

6.在平面直角坐标系中,直线 x-y=0 与曲线 y=x2-2x 所围成的面积为 ( ) A.1 5 B.2 9 C.2 D.9

7.用反证法证明命题:“若 a,b∈N,ab 能被 5 整除,则 a,b 中至少有一 个能被 5 整除”,那么假设的内容是( A.a,b 都能被 5 整除 ) B.a,b 都不能被 5 整除

C.a,b 有一个能被 5 整除

D.a,b 有一个不能被 5 整除 )

8.桌上放着红桃、黑桃和梅花三种牌,共 20 张,下列判断正确的是(

①桌上至少有一种花色的牌少于 6 张;②桌上至少有一种花色的牌多于 6 张;③桌上任意两种牌的总数将不超过 19 张. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

9.下面四个判断中,正确的是( ) A.式子 1+k+k2+…+kn(n∈N*)中,当 n=1 时式子值为 1 B.式子 1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)中,当 n=1 时式子值为 1+k 1 1 1 1 1 C.式子 1+2+3+…+ (n∈N*)中,当 n=1 时式子值为 1+2+3 2n+1 1 1 1 1 D.设 f(x)= + + …+ (n∈N*),则 f(k+1)=f(k)+ + n+1 n+2 3n+1 3k+2 1 1 + 3k+3 3k+4 10.已知集合 A={3m+2n|m>n 且 m,n∈N},若将集合 A 中的数按从小到 大排成数列{an},则有 a1=31+2× 0=3,a2=32+2× 0=9,a3=32+2× 1=11, a4=33=27,…,依此类推,将数列依次排成如图所示的三角形数阵,则第六 行第三个数为( ) A.247 B.735 C.733 D.731 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 11.已知复数 z=1+i,则 z -z=________. 12 设 n∈N*,且 sinx+cosx=-1,则 sinnx+cosnx=________. 13.y=xex+1 的单调增区间为________.
(-1,1 ) 14.已知函数 f ( x) ? x3 ? (a ? 1) x 2 ? ax ? 1, a ? R .若函数 f ( x) 在区间 内是减函
1 3 1 2

数,则实数 a 的取值范围是



高二下学期数学周练五答题卡
班级_____ 座号_____ 姓名___________
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 ) 1 B 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C 9 C 10 C

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.-2i 12. (-1)
n

13. (-1,+∞)

14. a ? -1

三、解答题: (本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分)

15 已知 x,y 为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求 x,y 的值. 解 设 x=a+bi(a,b∈R),则 y=a-bi,代入原式得 (2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
2 ? ?4a =4, ∴? 解得 2 2 ?-3?a +b ?=-6, ?

?a=1, ?a=1, ?a=-1, ?a=-1, ? ? ? ? ? 或? 或? 或? ?b=1, ? ?b=1, ? ? ?b=-1, ? ?b=-1. ? ? ? ? ?x=1+i, ?x=1-i, ?x=-1+i, ?x=-1-i, ? ? ? ∴ 或 或 或? ?y=1-i, ? ? ? ? ?y=1+i, ?y=-1-i, ?y=-1+i.

16.设 a 为实数,函数 f ( x) ? x2e? x ? 2a, x ? R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的极值; (Ⅱ)当 x ? 0 时,恒有 ae x ? x 2 ,求 a 的取值范围。 (Ⅰ)由题意知 f ? x ? 的定义域为 R , f ' ( x) ? e? x (2 x ? x2 ) ,令 f ' ( x) ? 0 ? x ? 0 或 2 , 列表如下:
x
f ?( x) f ( x)

(??, 0)

0

(0, 2)

2

(2, ??)



0 极小值

+

0 极大值



由上表可知 f ( x)极小值 =f (0) ? 2a ; f ( x)极大值 =f (2) ? (Ⅱ)由 ae x ? x 2 ? a ?

4 ? 2a 。 e2

………6 分

x2 ? x 2e? x ? 3a ? x2e? x ? 2a , ?x ? (0, ??) x e

令 f ( x) ? x2e? x ? 2a ,由(Ⅰ)可知:当 x ? (0, ??) 时, x ? 2 时,
f ( x)min ? f (2) ?
4 4 4 ? 2a ,所以 3a ? 2 ? 2a ? a ? 2 2 e e e

………10 分

17 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=n2an(n∈N*). (1)写出 S1,S2,S3,S4,并猜想 Sn 的表达式; (2)用数学归纳法证明你的猜想,并求出 an 的表达式. 2 4 3 6 8 2n (1)易求得 S1=1=2,S2=3,S3=2=4,S4=5,猜想 Sn= . n+1 2×1 (2)①当 n=1 时,S1= =1,猜想成立. 1+1 ②假设 n=k(k∈N*)时,Sk= 则当 n=k+1 时, Sk+1=(k+1)2ak+1 =(k+1)2(Sk+1-Sk), ?k+1?2 2k 2?k+1? ∴Sk+1= 2 · = , k +2k k+1 ?k+1?+1 这表明当 n=k+1 时,猜想也成立. 根据①、②可知,对 n∈N*, 2n Sn 2 Sn= ,从而 an=n2= . n+1 n?n+1? 2k , k+1



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