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河南省南阳市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 理(含解析)



河南省南阳市2014-201 5学年高二下学期期末数学试卷(理科)

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项) 1.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(1 2.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3

),(12.5,2),(13,1).r1表示变 量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则() A.r2<r1<0 r2=r1 B. 0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.

2.关于复数z=

的四个命题:

p1:复数z对应的点在第二象限, p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为﹣1. 其中的真命题个数为() A.1 B. 2 C. 3 D. 4

3.若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f′(2)x+3,则 A.16 ﹣18 B. 54 C.

f(x)dx=() ﹣24 D.

1

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则P(X>4 )的值等于() A.0.1 B. 0.2 C.0.4 D. 0.6

5.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁 不能排在一起,则不同的排法共有() A.12种 48种 B. 20种 C.24种 D.

6.将两颗骰子各掷一次,设事件A=“两个点数不相同”,B=“至少出现一个6 点”,则概率P(A|B)等于() A. B. C. D.

7.设随机变量X~B(2,P),随机变量Y~B(3,P),若P(X≥1)= ,则D (3Y+1)=() A.2 B. 3 C. 6 D. 7

8.使得

(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为() B. 5 C. 6 D. 7

A.4

9.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与 相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出y 关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,那么表中t的值为() x y 3 2.5 4 t 2 5 4 6 4.5

A.3

B.

3.15

C.3.5

D.

4.5

10.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2x的图 象(部分)如下:

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是() A.①④③② ①④②③ B. ③④②① C.④①②③ D.

11.已知符号函数sgn(x)=

,则函数f(x)=sgn(lnx)﹣ln2x的

零点个数为() A.1 B. 2 C. 3 D. 4

12.定义在R上的可导函数f(x),当x∈(1,+∞)时,(x﹣1)f′(x)﹣f (x)>0恒成立,a=f(2),b= f(3),c=( 大小关系为() A.c<a<b c<b<a B. b<c<a C.a<c<b D. +1)f( ),则a、b、c的

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 3

13.设随机变量X的分布列为P(X=k)=

(c为常数),k=1,2,3,4

,则P(1.5<k<3.5)=.

14.若对于任意实数x,有x5=a0+a1(x﹣2)+…+a5(x﹣2)5,则a1+a3+a5﹣a0= .

15.已知函数f(x)=x2+alnx,若对任意两个不等式的正数x1,x2(x1>x2), 都有f(x1)﹣f(x2)>2(x1﹣x2)成立,则实数a的取值范围是.

16.数列{an}共有5项,其中a1=0,a5=2,且|ai+1﹣ai|=1,i=1,2,3,4,则满 足条件的不同数列的个数为.

三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“ 中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问 卷调查,得到了如下列联表: 男性 反感 不反感 合计 10 8 30 . 女性 合计

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是

(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果,不需要写求解过 程); (2)据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关?

4

18.用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面两个小题. (1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同 的五位数; (2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字 ,则直线方程表示的不同直线共有多少条?

19.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加A、B、C、D、E五项考试, 如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束 ;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立 的,该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为 ,参加第五项不合格的

概率为 , (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为X,求X的分布列和期望.

20.已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x2﹣x在x=0处取得极值 (1)求实数a的值; (2)若关于x的方程f(x)=﹣ x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根,求实 数b的取值范围.

21.数列{an}满足:a1=1,an+1=

+1,n∈N*.

(Ⅰ)写出a2,a3,a4,猜想通项公式an,用数学归纳法证明你的猜想; (Ⅱ)求证: + +…+ < (an+1)2,n∈N*.

5

22.已知函数f(x)=lnx﹣ . (Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数a的值; (Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

河南省南阳市2016-2017学年高二下学期期末数学试卷(理科)

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题列出的四个选项中,选 出符合题目要求的一项) 1.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(1 2.5,4),(13,5),变量U与V相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).r1表示变 量Y与X之间的线性相关系数,r2表示变量V与U之间的线性相关系数,则() A.r2<r1<0 r2=r1 B. 0<r2<r1 C.r2<0<r1 D.

考点:相关系数. 专题:计算题. 分析: 求两组数据的相关系数的大小和正负,可以详细的解出这两组数据的相关 系数,现分别求出两组数据的两个变量的平均数,利用相关系数的个数代入求 出结果,进行比较. 解答: 解:∵变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2), 6

(11.8,3),(12.5,4),(13,5), =11.72

∴这组数据的相关系数是r=



变量U与V相对应的一组数据为 (10,5),(11.3,4), (11.8,3),(12.5,2),(13,1) , ∴这组数据的相关系数是﹣0.3755, ∴第一组数据的相关系数大于零,第二组数据的相关系数小于零, 故选C. 点评: 本题考查用相关系数来衡量两个变量之间相关关系,当相关系数为正时, 表示两个变量正相关,也利用散点图判断两个变量之间是否有相关关系.

2.关于复数z=

的四个命题:

p1:复数z对应的点在第二象限, p2:z2=2i, p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为﹣1. 其中的真命题个数为() A.1 B. 2 C. 3 D. 4

考点:复数代数形式的乘除运算. 7

专题:数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z,再根据每个小题的要求作出 相应的解答,判断每个命题的真假,则答案可求. 解答: 解:p1:由复数z= = ,

则复数z对应的点的坐标为:(﹣1,﹣1),位于第三象限,故p1错误; p2:由p1中得到z=﹣1﹣i, 则z2=(﹣1﹣i)2=2i,故p2正确; p3:由p1中得到z=﹣1﹣i, 则z的共轭复数为﹣1+i,故p3错误; p4:由p1中得到z=﹣1﹣i, 则z的虚部为﹣1,故p4正确. ∴真命题个数为:2. 故选:B. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何 意义,考查了共轭复数的求法,是基础题.

3.若f(x)在R上可导,f(x)=x2+2f′(2)x+3,则 A.16 ﹣18 B. 54 C.

f(x)dx=() ﹣24 D.

考点:定积分. 专题:导数的概念及应用.

8

分析: 首先通过已知等式两边求导令x=2得到f'(2),求出f(x),然后代入定 积分计算即可. 解答: 解:由已知得到f'(x)=2x+2f′(2),令x=2,则f'(2)=4+2f′(2 ),解得f'(2)=﹣4, 所以f(x)=x2﹣8x+3, 所以 故选D. 点评: 本小题主要考查定积分、定积分的应用、导函数的概念等基础知识,关键 是求出x 的系数f'(2). f(x)dx= (x2﹣8x+3)dx=( )| =﹣18;

4.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则P(X>4 )的值等于() A.0.1 B. 0.2 C.0.4 D. 0.6

考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量ξ服从正态分布,可知正态曲线的对称轴,利用对称性,即 可求得P(X>4). 解答: 解:∵随机变量ξ服从正态分布N(2,o2),

∴正态曲线的对称轴是x=2 P(0<X<4)=0.8, ∴P(X>4)= (1﹣0.8)=0.1, 9

故选A. 点评: 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性 的应用等基础知识,属于基础题.

5.不同的五种商品在货架上排成一排,其中甲、乙两种必须排在一起,丙、丁 不能排在一起,则不同的排法共有() A.12种 48种 B. 20种 C.24种 D.

考点:排列、组合的实际应用. 专题:计算题. 分析: 根据题意,先使用捆绑法,将甲乙看成一个“元素”,再将丙、丁单独排 列,进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论,分析丙丁之间的不同情况,由乘法 原理,计算可得答案. 解答: 解:根据题意,先将甲乙看成一个“元素”,有2种不同的排法,

将丙、丁单独排列,也有2种不同的排法, 若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间,则有2×C21=4种情况, 若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间,有2种不同的排法, 则不同的排法共有2×2×(2+4)=24种情况; 故选:C. 点评: 本题考查排列、组合的综合运用,涉及相邻与不能相邻的特殊要求,注意 处理这几种情况的特殊方法.

6.将两颗骰子各掷一次,设事件A=“两个点数不相同”,B=“至少出现一个6 点”,则概率P(A|B)等于() 10

A.

B.

C.

D.

考点:条件概率与独立事件. 专题:计算题;概率与统计. 分析: 根据条件概率的含义,P(A|B)其含义为在B发生的情况下,A发生的概率 ,即在“至少出现一个6点”的情况下,“两个点数都不相同”的概率,分别求 得“至少出现一个6点”与“两个点数都不相同”的情况数目,进而相比可得答 案. 解答: 解:根据条件概率的含义,P(A|B)其含义为在B发生的情况下,A发生 的概率, 即在“至少出现一个6点”的情况下,“两个点数都不相同”的概率, “至少出现一个6点”的情况数目为6×6﹣5×5=11, “两个点数都不相同”则只有一个6点,共C21×5=10种, 故P(A|B)= 故选:A. 点评: 本题考查条件概率,注意此类概率计算与其他的不同,P(A|B)其含义为 在B发生的情况下,A发生的概率. .

7.设随机变量X~B(2,P),随机变量Y~B(3,P),若P(X≥1)= ,则D (3Y+1)=() A.2 B. 3 C. 6 D. 7

11

考点:二项分布与n次独立重复试验的模型. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由X~B(2,P)和P(X≥1)的概率的值,可得到关于P的方程,解出P的 值,再由方差公式可得到结果. 解答: 解:∵随机变量X~B(2,P), (1﹣P)2= ,

∴P(X≥1)=1﹣P(X=0)=1﹣

解得P= .

∴D(Y)=3× × = ,

∴D(3Y+1)=9× =6, 故选:C. 点评:本题考查二项分布与n次独立重复试验的,属基础题.

8.使得

(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为() B. 5 C. 6 D. 7

A.4

考点:二项式系数的性质. 专题:计算题. 分析: 利用二项展开式的通项公式Tr+1=3n﹣r? 可求得展开式中含有常数项的最小的n. ? ,令x的幂指数n﹣ r=0即

12

解答:

解:设

(n∈N+)的展开式的通项为Tr+1,

则:Tr+1=3n﹣r?

?xn﹣r?

=3n﹣r?

?



令n﹣ r=0得:n= r,又n∈N+, ∴当r=2时,n最小,即nmin=5. 故选B. 点评: 本题考查二项式系数的性质,求得n﹣ r=0是关键,考查分析与运算能力 ,属于中档题.

9.表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与 相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据,求出y 关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35,那么表中t的值为() x y 3 2.5 4 t 5 4 6 4.5

A.3

B.

3.15

C.3.5

D.

4.5

考点:回归分析的初步应用. 专题:计算题. 分析: 先求出这组数据的样本中心点,样本中心点是用含有t的代数式表示的, 把样本中心点代入变形的线性回归方程,得到关于t的一次方程,解方程,得到 结果. 解答: 解:∵ 13

由回归方程知 解得t=3, 故选A. 点评:

=



本题考查回归分析的初步应用,考查样本中心点的性质,考查方程思想的 应用,是一个基础题,解题时注意数字计算不要出错.

10.现有四个函数:①y=x?sinx;②y=x?cosx;③y=x?|cosx|;④y=x?2x的图 象(部分)如下:

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是() A.①④③② ①④②③ B. ③④②① C.④①②③ D.

考点:函数的图象. 专题:函数的性质及应用. 分析: 从左到右依次分析四个图象可知,第一个图象关于y轴对称,是一个偶函 数,第二个图象不关于原点对称,也不关于y轴对称,是一个非奇非偶函数;第 三、四个图象关于原点对称,是奇函数,但第四个图象在y轴左侧,函数值不大 于0,分析四个函数的解析后,即可得到函数的性质,进而得到答案. 解答: 解:分析函数的解析式,可得:

①y=x?sinx为偶函数;②y=x?cosx为奇函数;③y=x?|cosx|为奇函数,④y=x?2
x为非奇非偶函数

14

且当x<0时,③y=x?|cosx|≤0恒成立; 则从左到右图象对应的函数序号应为:①④②③ 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象与图象变化,其中函数的图象或解析式, 分析出函数的性质,然后进行比照,是解答本题的关键.

11.已知符号函数sgn(x)=

,则函数f(x)=sgn(lnx)﹣ln2x的

零点个数为() A.1 B. 2 C. 3 D. 4

考点:函数零点的判定定理. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数f(x)=sgn(lnx)﹣ln2x的零点个数可转化为方程sgn(lnx)﹣ln2x =0的解的个数,从而解方程即可. 解答: 解:令sgn(lnx)﹣ln2x=0得,

当lnx>0,即x>1时, 1﹣ln2x=0,解得,x=e; 当lnx<0,即x<1时, ﹣1﹣ln2x=0,无解; 当lnx=0,即x=1时,成立; 故方程sgn(lnx)﹣ln2x=0有两个根, 故函数f(x)=sgn(lnx)﹣ln2x的零点个数为2; 故选B. 点评:本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用,属于基础题. 15

12.定义在R上的可导函数f(x),当x∈(1,+∞)时,(x﹣1)f′(x)﹣f (x)>0恒成立,a=f(2),b= f(3),c=( 大小关系为() A.c<a<b c<b<a B. b<c<a C.a<c<b D. +1)f( ),则a、b、c的

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: 构造函数g(x)= 论 解答: 解:构造函数g(x)= ,当x∈(1,+∞)时, ,求函数的导数,判断函数的单调性即可得到结

g′(x)=

,即函数g(x)单调递增,

则a=f(2)=

=g(2),b= f(3)=

=g(3),c=(

+1)f(

)= 则g(

=g(

),

)<g(2)<g(3),

即c<a<b, 故选:A. 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,构造函数,利用导数研究函数的单调性 是解决本题的关键. 16

二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.设随机变量X的分布列为P(X=k)= (c为常数),k=1,2,3,4

,则P(1.5<k<3.5)=



考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,根据它们的概率之和为1,求出 c的值,进一步求出P(1.5<k<3.5)的值. 解答: 解:由随机变量X的分布列为P(X=k)= (c为常数),k=1,2

,3,4, 得 ,

解c= .

∴P(1.5<k<3.5)=P(X=2)+P(X=3)=



故答案为: 点评:



本题考查了离散型随机变量的期望与方差,解决随机变量的分布列问题, 一定要注意分布列的特点,各个概率值在[0,1]之间,概率和为1,属于中档题 . 17

14.若对于任意实数x,有x5=a0+a1(x﹣2)+…+a5(x﹣2)5,则a1+a3+a5﹣a0=8 9.

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析: 根据x5=[2+(x﹣2)]5=a0+a1(x﹣2)+…+a5(x﹣2)5,令x=2,可得a0=3 2,再利用通项公式求得a1、a3+a5的值,可得a1+a3+a5﹣a0的值. 解答: 解:∵x5=[2+(x﹣2)]5=a0+a1(x﹣2)+…+a5(x﹣2)5,令x=2,可得a
0=32.

∴a1=

?24=80,a3=

?22=40,a5=

=1,∴a1+a3+a5﹣a0=80+40+1﹣32=89,

故答案为:89. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某 项的系数,二项式系数的性质,属于基础题.

15.已知函数f(x)=x2+alnx,若对任意两个不等式的正数x1,x2(x1>x2), 都有f(x1)﹣f(x2)>2(x1﹣x2)成立,则实数a的取值范围是a≥ .

考点:利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的概念及应用. 分析: 先确定g(x)=f(x)﹣2x=x2+alnx﹣2x在(0,+∞)上单增,再利用导 数,可得a≥﹣2x2+2x恒成立,即a≥(﹣2x2+2x)max,即可求出实数a的取值范 围. 18

解答:

解:∵f(x1)﹣f(x2)>2(x1﹣x2),

∴f(x1)﹣2x1>f(x2)﹣2x2, 即g(x)=f(x)﹣2x=x2+alnx﹣2x在(0,+∞)上单增, 即g′(x)=2x+ 恒成立, 也就是a≥﹣2x2+2x恒成立,∴a≥(﹣2x2+2x)max, ∴a≥ ,

故答案为:a≥ . 点评: 本题考查函数单调性,考查导数知识的运用,确定g(x)=f(x)﹣2x=x2 +alnx﹣2x在(0,+∞)上单增是关键.

16.数列{an}共有5项,其中a1=0,a5=2,且|ai+1﹣ai|=1,i=1,2,3,4,则满 足条件的不同数列的个数为4.

考点:数列递推式. 专题:排列组合. 分析: 通过记bi=ai+1﹣ai,i=1、2、3、4,利用a5=b4+b3+b2+b1=2,可知bi(i=1, 2,3,4)中有3个1、1个﹣1,进而可得结论. 解答: 解:记bi=ai+1﹣ai,i=1、2、3、4,

∵|ai+1﹣ai|=1, ∴|bi|=1,即bi=1或﹣1, 又∵a5=(a5﹣a4)+(a4﹣a3)+(a3﹣a2)+(a2﹣a1) =b4+b3+b2+b1 =2, 19

∴bi(i=1,2,3,4)中有3个1、1个﹣1, 这种组合共有 故答案为:4. 点评:本题考查排列与组合,注意解题方法的积累,属于中档题. =4,

三、解答题(共6小题,共70分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) 17.“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“ 中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问 卷调查,得到了如下列联表: 男性 反感 不反感 合计 10 8 30 . 女性 合计

已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是

(1)请将上面的列联表补充完整(在答题卷上直接填写结果,不需要写求解过 程); (2)据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关?

考点:独立性检验的应用. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (1)根据在全部300人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率,做出中 国式过马路的人数,进而做出男生的人数,填好表格; (2)根据所给的公式,代入数据求出临界值,把求得的结果同临界值表进行比 较,看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关. 解答: 解:(1) 男性 女性 合计 20

反感 不反感 合计 …

10 6 16

6 8 14

16 14 30

(2)由已知数据得:



所以,没有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别无关. … 点评:本题考查了独立性检验,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.

18.用0,1,2,3,4,5这六个数字,完成下面两个小题. (1)若数字不允许重复,可以组成多少个能被5整除的且百位数字不是3的不同 的五位数; (2)若直线方程ax+by=0中的a,b可以从已知的六个数字中任取2个不同的数字 ,则直线方程表示的不同直线共有多少条?

考点:排列、组合的实际应用. 专题:排列组合. 分析: (1)依据能被5整除的数,其个位是0或5,分两类,由加法原理得到结 论; (2)对于选不选零,结果会受影响,所以第一类a、b均不为零,a、b的取值, 第二类a、b中有一个为0,则不同的直线仅有两条,根据分类计数原理得到结果 . 解答: 解:(1)当末位数字是0时,百位数字有4个选择,共有4A33=96(个) ; 当末位数字是5时,若首位数字是3,共有A44=24(个); 当末位数字是5时,若首位数字是1或2或4,共有3×3×A33=54(个); 21

故共有96+24+54=174(个). (2)a,b中有一个取0时,有2条; a,b都不取0时,有A52=20(条); a=1,b=2与a=2,b=4重复; a=2,b=1,与a=4,b=2重复. 故共有2+20﹣2=20(条). 点评: 分类计数原理完成一件事,有多类办法,在第1类办法中有几种不同的方 法,在第2类办法中有几种不同的方法,…,在第n 类办法中有几种不同的方法,那么完成这件事共有的办法是前面办法数之和.

19.某学生参加某高校的自主招生考试,须依次参加A、B、C、D、E五项考试, 如果前四项中有两项不合格或第五项不合格,则该考生就被淘汰,考试即结束 ;考生未被淘汰时,一定继续参加后面的考试.已知每一项测试都是相互独立 的,该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为 ,参加第五项不合格的

概率为 , (1)求该生被录取的概率; (2)记该生参加考试的项数为X,求X的分布列和期望.

考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (1)该生被录取,则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的 项. (2)分析此问题时要注意有顺序,所以X的所有取值为:2,3,4,5.分别计 算其概率得出分布列,以及它的期望值. 22

解答: 解:(1)该生被录取,则A、B、C、D四项考试答对3道或4道,并且答对 第五项. 所以该生被录取的概率为P= [( )4+C ( )3? ]= ,

(2)该生参加考试的项数X的所有取值为:2,3,4,5. P(X=2)= × = ;P(X=3)=C ? ? ? = ;P(X=4)=C ? ?(

)2? =



P(X=5)=1﹣ ﹣ ﹣

=



该生参加考试的项数ξ的分布列为: X P 2 3 4 5

EX=2× +3× +4× 点评:

+5×

=



本题主要考查了离散型随机变量及其分布列,数学期望.此题把二项分布 和回合制问题有机的结合在一起,增加了试题的难度.解决此问题应注意顺序 .

20.已知函数f(x)=ln(x+a)﹣x2﹣x在x=0处取得极值 (1)求实数a的值; (2)若关于x的方程f(x)=﹣ x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根,求实 数b的取值范围. 23

考点:函数在某点取得极值的条件;根的存在性及根的个数判断. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)令f′(x)=0,即可求得a值;

(2)f(x)=﹣ x+b在区间[0,2]上有两个不同的实根,即b=ln(x+1)﹣x2+ x在区间[0,2]上有两个不同的实根, 问题可转化为研究函数g(x)=ln(x+1)﹣x2+ x在[0,2]上最值和极值情况. 利用导数可以求得,再借助图象可得b的范围. 解答: 解:(1)f′(x)= ﹣2x﹣1,

∵f′(0)=0,∴a=1. (2)f(x)=ln(x+1)﹣x2﹣x 所以问题转化为b=ln(x+1)﹣x2+ x在[0,2]上有两个不同的解,

从而可研究函数g(x)=ln(x+1)﹣x2+ x在[0,2]上最值和极值情况.

∵g′(x)=﹣



∴g(x)的增区间为[0,1],减区间为[1,2]. ∴gmax(x)=g(1)= +ln2,gmin(x)=g(0)=0, 又g(2)=﹣1+ln3, ∴当b∈[﹣1+ln3, +ln2)时,方程有两个不同解.

24

点评: 本题考查函数在某点取得极值的条件及方程根的个数问题,注意函数与方 程思想、数形结合思想的运用.

21.数列{an}满足:a1=1,an+1=

+1,n∈N*.

(Ⅰ)写出a2,a3,a4,猜想通项公式an,用数学归纳法证明你的猜想; (Ⅱ)求证: + +…+ < (an+1)2,n∈N*.

考点:数列递推式;数列与不等式的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由已知条件,利用递推公式能求出a2=2,a3=3,a4=4,由此猜想an =n,再用数学归纳法证明. (Ⅱ)an=n,知证明 + +…+ < (an+1)2,n∈N*.即证

,由此利用均值定理能求出来. 解答: 解:(Ⅰ)∵数列{an}满足:a1=1,an+1= +1,n∈N*.

∴a2=

=2,

a3=

=3,

a4=

=4,猜想an=n 25

证明:①当n=1时,a1=1,猜想成立; ②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=k 那么, ∴当n=k+1时猜想也成立 由①②可知猜想对任意n∈N*都成立,即an=n (Ⅱ)证明:∵an=n, 证明 + +…+ < (an+1)2,n∈N*. ,

即证

由均值不等式知: 则



. ∴ 点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题, 注意数学归纳法的合理运用. + +…+ < (an+1)2,n∈N*.

22.已知函数f(x)=lnx﹣ . (Ⅰ)若a>0,试判断f(x)在定义域内的单调性; (Ⅱ)若f(x)在[1,e]上的最小值为 ,求实数a的值; 26

(Ⅲ)若f(x)<x2在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;导数在最 大值、最小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出f(x)的定义域,再求出f′(x)= ,从而得出函数的

单调区间; (Ⅱ)分别讨论①若a≥﹣1,②若a≤﹣e,③若﹣e<a<﹣1的情况,结合函数 的单调性,得出函数的单调区间,从而求出a的值; (Ⅲ)由题意得a>xlnx﹣x3,令g(x)=xlnx﹣x3,得到h(x)=g′(x)=1+l nx﹣3x2,h′(x)= 1,+∞)递减,问题解决. 解答: , 解:(Ⅰ)由题意得f(x)的定义域是(0,+∞),且f′(x)= ,得出h(x)在(1,+∞)递减,从而g(x)在(

∵a>0,∴f′(x)>0, 故f(x)在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得f′(x)= ,

①若a≥﹣1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立, 此时f(x)在[1,e]上递增, ∴f(x)min=f(1)=﹣a= ,∴a=﹣ (舍), ②若a≤﹣e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立, 27

此时f(x)在[1,e]上递减, ∴f(x)min=f(e)=1﹣ = ,∴a=﹣ (舍), ③若﹣e<a<﹣1,令f′(x)=0,得x=﹣a, 当1<x<﹣a时,f′(x)<0,∴f(x)在(1,﹣a)递减, 当﹣a<x<e时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣a,e)递增, ∴f(x)min=f(﹣a)=ln(﹣a)+1= ,∴a=﹣ 综上a=﹣ ; ,

(Ⅲ)∵f(x)<x2,∴lnx﹣ <x2,又x>0,∴a>xlnx﹣x3,

令g(x)=xlnx﹣x3,h(x)=g′(x)=1+lnx﹣3x2,h′(x)= ∵x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,∴h(x)在(1,+∞)递减,



∴h(x)<h(1)=﹣2<0,即g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)递减, ∴g(x)<g(1)=﹣1,∴a≥﹣1时,f(x)<x2在(1,+∞)恒成立. 点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查了函数的最值问题,考查了导数的应 用,考查了分类讨论思想,是一道综合题.

28



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