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惠州市2014届高三第三次调研考试理科数学试题及答案



惠州市 2014 届高三第三次调研考试
数学 (理科)参考答案与评分标准
一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A

1.【解析】1.由 a 2 ? 3a ? 2 ? 0 且 a ? 1 ? 0 得 a ? 2 ,选 B; 2.【解析】集合

定义域,所以

A ? ? x | ?3 ? 2 x ? 1 ? 3? ? ?x | ?1 ? x ? 2?

,集合 B 为函数 y ? 1g ( x ? 1) 的 D

B ? ? x | x ? 1? ,所以 A ? B ? (1,2]。故选

a1 (1 ? q 4 ) S 1 ? 24 15 1? q ? ? 故选 C 3【解析】解: 4 ? a2 a1q ?2 2
4.【解析】解:

1 1 1 ? ? ? 0.8 ,因此输出 n ? 4. 故选 B 2 4 8
2

5.【解析】抛物线 y ? 8 x 的焦点为(2,0) ,∴椭圆焦点在 x 轴上且半焦距为 2,



x2 y2 2 1 ? 1 故选 A。 ? ? m ? 4 ,∴ n2 ? 42 ? 22 ? 12 ,∴椭圆的方程为 ? 16 12 m 2
2.5 0.10 ? ? x ? 10 ,选 C x 0.40

6.【解析】设 11 时到 12 时的销售额为 x 万元,依设有

7.【解析】从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为

S ? 4? ?12 ? ? ?12 ? 2 ? 2? ?1? 3 ? 12? . 故选 D
8.【解析】 【答案】A 解析:,可知函数 f ( x ) ? f ( ? x ) ? x ? ln( x ? 1 ? x ) ? ( ? x ) ? ln( x ? 1 ? x ) ? 0
3 2 3 2

所以函数为奇函数,同时, f ' ( x ) ? 3x ?
2

1 x2 ? 1

? 0 也是递增函数,注意到

f ( a ) ? f ( b) f ( a ) ? f ( ? b) f ( a ) ? f ( b) ,所以 ? ? 0 同号,所以,选 A a?b a ? ( ? b) a?b
二.填空题:共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做 一题.

9. a ?

7 7 10.311.14 12.1 13.1 14.1 15. 2 3

9.【解析】因为 ?=3 ,所以

(2a ? 3) ? (a ? 2) 7 ? 3得a ? 2 3
2 2

10.【解析】由题意 ?a ? b = (4,1 ? ?, ?) ? 16 ? (? ? 1) ? ? ? 29(? ? 0) ? ? ? 3
4 11.?【解析】6 人中选 4 人的方案 C6 ? 15 种,没有女生的方案只有一种,所以满足要求的

方案总数有 14 种。 12.【解析】本小题主要考查线性规划的相关知识。由 ax ? by ? 1 恒成立知,当 x ? 0 时,

by ? 1 恒成立,∴ 0 ? b ? 1 ;同理 0 ? a ? 1,∴以 a ,b 为坐标点 P(a, b)
所形成的平面区域是一个正方形,所以面积为 1. 13.【解析】依题意有 3 ? 1? 21 ? 1? 2 0 , b3 ? 0 ; 4 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 0 ? 2 0 , b4 ? 1 ;

5 ? 1? 2 2 ? 0 ? 21 ? 1? 2 0 , b5 ? 0 ; 6 ? 1? 2 2 ? 1? 21 ? 0 ? 2 0 , b6 ? 0 .
故 b3 ? b4 ? b5 ? b6 ? 1
2 14.【解析】曲线 ? ? 2 cos? 即 ? x ? 1? ? y ? 1 ,表示圆心在(1,0) ,半径等于 1 的圆, 2

直线 ? cos ? ? 2 即直线 x ? 2 ,故圆心到直线的距离为 1。 15.【解析】设 BE ? x ,则 AF ? 4 x, FB ? 2 x ,由 AF ? FB ? DF ? FC 得 x ?

1 。又 2

CE 2 ? EB ? EA 得 CE ?
三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) 解: (1)? m ?

7 2

cos 2 A ? sin 2 A ? 1, n ? cos 2 A ? (? sin A) 2 ? 1,

? m ? n= m ? n ? cos

π 1 ? . ············································3 分 ··········································· 3 2

? m ? n= cos 2 A ? sin 2 A ? cos 2 A ,

1 ? cos 2 A ? . ··················································· 5 分 ··················································· 2 ? 0? A? π , 0 ? 2 A ? π, 2

? 2A ?

π π , A ? . ················································7 分 ··············································· 3 6
7, c ? 3 , A ?

(2)(法一) ? a ?

π , 及 a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A , 6

?7 ? b2 ? 3 ? 3b , 即 b ? ?1 (舍去)或 b ? 4. ···················· 10 分 ····················
故S ? (法二) ? a ?

1 bc sin A ? 3. ······································12 分 ····································· 2
7, c ? 3 , A ?

π a c ,及 ? , 6 sin A sin C

? sin C ?

c sin A 3 ? . ···································· 7 分 ···································· a 2 7

?a ? c ,
?0 ? C ? π 5 2 , cos C ? 1 ? sin A ? 2 2 7

π 1 3 2 ? sin B ? sin(π ? A ? C ) ? sin( ? C ) ? cos C ? sin C ? 6 2 2 7

?b ?

a sin B ? 4 . ·········································10 分 ········································ sin A

故S ?

1 bc sin A ? 3. ············································12 分 ··········································· 2

17(本小题满分 12 分) 解: (1)解法一:由题意知, ? 的可能取值为 0,1,2,3,且????1 分

1 2 ? 2? 2 ? 2? 1 , P (? ? 1) ? C3 ? ? ?1 ? ? ? ,????3 分 P (? ? 0) ? C ? ?1 ? ? ? 27 3 ? 3? 9 ? 3?
0 3

3

2

8 ?2? ? 2? 4 3 ?2? P(? ? 2) ? C32 ? ? ? ? ?1 ? ? ? , P (? ? 3) ? C3 ? ? ? ? .????5 分 27 ?3? ? 3? 9 ?3?
所以 ? 的分布列为

2

3

?
P

0

1

2

3

1 27

2 9

4 9

8 27

? 的数学期望为 E? ? 0 ?

1 2 4 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 .????7 分 27 9 9 27
? ? 2? 3?

解法二:根据题设可知, ? ~ B ? 3, ? ,????3 分

?2? ? 2? 因此 ? 的分布列为 P (? ? k ) ? C ? ? ? ? ? 1 ? ? ?3? ? 3?
k 3

k

3? k

? C3k ?

2k 33

k ? 01 2,.????5 分 , 3 ,
因为 ? ~ B ? 3, ? ,所以 E? ? 3 ?

? ?

2? 3?

2 ? 2 .????7 分 3

(2)解法一:用 C 表示“甲得 2 分乙得 1 分”这一事件,用 D 表示“甲得 3 分 乙得 0 分”这一事件,所以 AB ? C ? D ,且 C,D 互斥,又????8 分

? 2 ? ? 2 ? ? 2 1 1 1 2 1 1 1 1 ? 10 P(C ) ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ,????10 分 ? 3 ? ? 3 ? ?3 3 2 3 3 2 3 3 2? 3
2 3

2

?1 1 1? 4 3 ?2? P ( D ) ? C3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 ,????11 分 ?3? ?3 3 2? 3
由互斥事件的概率公式得

3

P( AB) ? P(C ) ? P( D) ?

10 4 34 34 .????12 分 ? ? ? 34 35 35 243

解法二: Ak 表示 用 “甲队得 k 分” 这一事件, Bk 表示 用 “乙队得 k 分” 这一事件, ? 01 2,. k , 3 , 由于事件 A3 B0 , A2 B1 为互斥事件,故有 P( AB) ? P( A3 B0 ? A2 B1 ) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) . 由题设可知,事件 A3 与 B0 独立,事件 A2 与 B1 独立,????10 分 因此

P( AB) ? P( A3 B0 ) ? P( A2 B1 ) ? P( A3 ) P( B0 ) ? P( A2 ) P( B1 )
22 ? 1 1 1 2 ? 34 ?2? ? 1 1? 2 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? C3 ? 2 ? ? ? 2 ? ? C2 ? 2 ? ? .????12 分 3 ?2 3 2 3 ? 243 ?3? ?3 2?
18(本小题满分 14 分) 解:(1)∵ CO ? 平面 ABD , CO ? BD ,?1 分
3

∵ BD ? SD , SD ? CO ? O ?3 分

?BD ? 面 C ?4 分 S D

又O ? 面COD ∴ BD ? OD ,??5 分 D

? AB ? BD ??6 分
∴ AB // OD .??7 分 (2)由题知 OD 为 CD 在平面 ABD 上的射影, ∵ BD ? CD , CO ? 平面 ABD ,∴ BD ? OD , ∴ ?ODC ? ? ,????8 分

1 1 1 VC ? AOD ? S?AOD ? OC ? ? ? OD ? BD ? OC ???9 分 3 3 2
? 2 2 ? OD ? OC ? ? CD ? sin ? ? CD ? cos ? ???10 分 6 6

?

2 2 ? sin 2? ≤ ,???12 分 3 3
当且仅当 sin 2? ? 1 ,即 ? ? 45? 时取等号,???13 分 ∴当 ? ? 45? 时,三棱锥 O ? ACD 的体积最大,最大值为

2 .??14 分 3

说明:向量法酌情给分 19(本小题满分 14 分)
2 2 (1)解:由 Sn ? (n 2 ? n ? 1) Sn ? (n 2 ? n) ? 0 ,得 ? S n ? (n ? n) ? ( S n ? 1) ? 0 . ???2 分 ? ?

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n 2 ? n . ????3 分 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n . ???5 分 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . ???????6 分

(2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . ????7 分 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? ? ? 2? . ????9 分 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?
?11 分

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ?1 ? 32 ? 22 ? 42 ? 32 ? 52 ? … ? ( n ? 1) 2 ? ( n ? 1) 2 ? n 2 ? (n ? 2) 2 ? ? 16 ? ?

?
?

1 1 1 1 [1 ? 2 ? ? ] ????13 分 2 16 2 ( n ? 1) ( n ? 2) 2
1 1 5 . ????14 分 (1 ? 2 ) ? 16 2 64

20(本小题满分 14 分)解: (法 1)设 F '( x , y) ,因为点 F (0 , 1) 在圆 M 上, (1) 且点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' , 所以 M (

x y ?1 , ) ,????1 分 2 2
x 2 ? ( y ? 1) 2 .????2 分

且圆 M 的直径为 | FF '|?

由题意,动圆 M 与 y 轴相切,

| y ?1| ? 所以 2

x 2 ? ( y ? 1) 2 2 ,两边平方整理得: x ? 4 y , 2
2

所以曲线 C 的方程 x ? 4 y .??????????????6 分 (法 2)因为动圆 M 过定点 F (0 , 1) 且与 x 轴相切,所以动圆 M 在 x 轴上方, 连结 FF ' ,因为点 F 关于圆心 M 的对称点为 F ' ,所以 FF ' 为圆 M 的直径. 过点 M 作 MN ? x 轴,垂足为 N ,过点 F ' 作 F ' E ? x 轴,垂足为 E (如图 6-1) . 在直角梯形 EOFF ' 中, | F ' F |? 2 | MF |? 2 | MN |?| F ' E | ? | FO |?| F ' E | ?1 , 即动点 F ' 到定点 F (0 , 1) 的距离比到 x 轴的距离 1.???????3 分 又动点 F ' 位于 x 轴的上方(包括 x 轴上) , 所以动点 F ' 到定点 F (0 , 1) 的距离与到定直线 y ? ?1 的距离相等. 故动点 F ' 的轨迹是以点 F (0 , 1) 为焦点,以直线 y ? ?1 为准线的抛物线. 所以曲线 C 的方程 x ? 4 y .?????6 分
2

(2)①(法 1)由题意,直线 AP 的斜率存在且不为零,如图 6-2. 设直线 AP 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 AQ 的斜率为 ? k .??????7 分 因为 A( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的点,
2

y

P
F? '

所以 y0 ?

x x ? k ( x ? x0 ) . ,直线 AP 的方程为 y ? 4 4

2 0

2 0

A

?

M
?

F

Q
x

O

图6?2

?x2 ? 4 y ? x ? x0 ? x ? ? x0 ? 4k ? ? ? 2 或 2 由? ,解得 ? x0 ? (? x0 ? 4k ) 2 , x0 y? y? ? k ( x ? x0 ) ? ? ?y ? 4 ? 4 ? 4 ?

(? x0 ? 4k ) 2 ) ,?????9 分 4 ( x ? 4k ) 2 ? k 替换 k ,得点 Q 的坐标为 (? x0 ? 4k , 0 ) .?????10 分 以 4
所以点 P 的坐标为 (? x0 ? 4k ,

所以直线 PQ 的斜率 k PQ

( x0 ? 4k ) 2 (? x0 ? 4k ) 2 ? 16 kx0 x 4 4 ? ? ? ? 0 为定值. ???14 分 (? x0 ? 4k ) ? (? x0 ? 4k ) ? 32 k 2
2

2 x0 x2 , A( x0 , 0 ) . 4 4 2 2 x x 2 又点 P 、 Q 在曲线 C : x ? 4 y 上,所以可设 P( x1 , 1 ) , Q ( x2 , 2 ) ,??7 分 4 4

(法 2)因为 A( x0 , y0 ) 是曲线 C : x ? 4 y 上的点,所以 y0 ?

而直线 AP , AQ 的倾斜角互补,
2 2 2 x12 x0 x2 x0 ? ? 4 ?? 4 4 ,??9 分 所以它们的斜率互为相反数,即 4 x1 ? x0 x2 ? x0

整理得 x1 ? x2 ? ?2x0 .??10 分所以直线 PQ 的斜率 k PQ

2 x 2 x1 2 ? 4 ?11 分 ? 4 x 2 ? x1

?

?2 x0 x x1 ? x 2 ?13 分 ? ? ? 0 ?14 分为定值.???14 分 4 4 2

21(本小题满分 14 分) 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .??2 分
x

x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1 ? ?) , , 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, ????4 分 1) (2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ?R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x≥ 0 成立.??5 分 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .
x

①当 k ? (0, 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 1]
x

此时 f ( x) 在 [0, ?) 上单调递增.故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.?6 分 ? ②当 k ? (1 ? ?) 时, ln k ? 0 . , 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(0, k ) ln
?
单调递减

ln k

(ln k, ?) ?

0
极小值

?
单调递增

f ( x)

由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ? 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1 ?1 ? k ? e . , 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .??9 分 (3)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,??10 分
x ?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2 ,?11 分 ? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 , F(2) F( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ,? F( n) F(1) ? e n ?1 ? 2 ,
由此得,

[ F (1) F (2)? F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F ( n) F (1)] ? (e n?1 ? 2) n ???13 分
故 F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 ,n ?N? .????14 分
n



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