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湖北省襄阳市枣阳高中2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文



湖北省襄阳市枣阳高中2016-2017 学年高二(下)期末数学试卷(文科)
  一、选择题(本大题共10题,每题5分,共计50分) 1.如图,已知双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点 =3

,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且 ,则双曲线C的离心率为(  )

 

A.  

B.

C.

D.

2.已知条件p:x2﹣4≤0,条件q:

≥0,则¬p是q的(  )

  A. 充分不必要条件   C. 充要条件   3.曲线y=x2在点M(   A. 30°   1

B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件

)的切线的倾斜角的大小是(  ) B. 45° C. 60° D. 90°

4.有如下四个结论: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直; ③“x>0”是“x>1”的必要条件; ④命题“?x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是“?x∈R,x2﹣x+1≤0”. 其中正确结论的个数为(  )   A. 4   5.如果命题“¬(p∧q)”是真命题,则(  )   A. 命题p、q均为假命题   B. 命题p、q均为真命题   C. 命题p、q中至少有一个是真命题   D. 命题p、q中至多有一个是真命题   6.若函数y=x2+(2a﹣1)x+1在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数a的取值范 围是(  )   A. [﹣ ,+∞) B. (﹣∞,﹣ ] C. [ ,+∞) D. (﹣∞, B. 3 C. 2 D. 1

]   7.已知p:x≥k,q: 围是(  )   A. [2,+∞) (﹣∞,﹣1)   8.命题“所有能被5整除的数都是偶数”否定形式是(  ) 2 B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. <1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范

  A. 所有不能被5整除的数都是偶数   B. 所有能被5整除的数都不是偶数   C. 存在一个不能被5整除的数都是偶数   D. 存在一个能被5整除的数不是偶数   9.以椭圆 )   A.   10.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A, B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(   ) ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣y2=1 D. ﹣y2=1 + =1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为(  

  A.    

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共5题,每题5分,共计25分) 11.“p:x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”,“q:x∈{x|x<a}”,若¬p是q的充分不必 要条件,则a的取值范围是      .  

3

12.已知双曲线



=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的

焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2, ﹣1),则双曲线的焦距为      .   13.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底 面半径为      .   14.过抛物线y2=4x焦点的直线l的倾斜角为 ,且l与抛物线相交于A、B两点,

O为原点,那么△AOB的面积为      .   15.椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使

线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切,切点恰为线段PF1的中点,则该椭圆的 离心率为      .     三、解答题(75分) 16.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直

线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是 点F1关于直线l的对称点,设 (Ⅰ)证明:λ=1﹣e2; (Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.   =λ .

4

17.已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的离心率为

,F是椭圆的焦点,点A(

0,﹣2),直线AF的斜率为 (1)求椭圆C的方程;

,O为坐标原点.

(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.

  18.已知F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,F1是抛物线C1:x2=4y的焦点,点M是 C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|= (1)求椭圆C1的方程; (2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=k(x+t),kt≠0交椭圆C1于A,B,若 椭圆C1上一点P满足 + =λ ,求实数λ的取值范围.

  19.已知椭圆C1: +x2=1(a>1)与抛物线C :x2=4y有相同焦点F1.

(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程; 5

(Ⅱ)已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2,且与抛物线C2相切于第一象限的点A ,设平行l1的直线l交椭圆C1于B,C两点,当△OBC面积最大时,求直线l的方程 .   20.已知F1、F2分别是椭圆 + =1的左、右焦点,曲线C是坐标原点为顶点,

以F2为焦点的抛物线,过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q,点P 关于x轴的对称点为M,设 =

(Ⅰ)若λ∈[2,4],求直线L的斜率k的取值范围; (Ⅱ)求证:直线MQ过定点.   21.已知函数f(x)= +ax,x>1.

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围; (Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值; (Ⅲ)若存在实数a使f(x)在区间( 同的极值点,求n的最小值.     )(n∈N*,且n>1)上有两个不

6

湖北省襄阳市枣阳高中2016-2017学年高二(下)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析   一、选择题(本大题共10题,每题5分,共计50分) 1.如图,已知双曲线C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右顶点为A,O为坐标原点 =3

,以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P、Q,若∠PAQ=60°且 ,则双曲线C的离心率为(  )

  A.

B.

C.

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定△QAP为等边三角形,设AQ=2R,则OP=R,利用勾股定理,结合余弦 定理,即可得出结论. 解答: 解:因为∠PAQ=60°且 =3 ,

所以△QAP为等边三角形, 设AQ=2R,则OP=R, 渐近线方程为y= x,A(a,0),取PQ的中点M,则AM=

7

由勾股定理可得(2R)2﹣R2=(

)2,

所以(ab)2=3R2(a2+b2)① 在△OQA中, = ,所以7R2=a2②

①②结合c2=a2+b2,可得 故选:B. 点评:

=



本题考查双曲线的性质,考查余弦定理、勾股定理,考查学生的计算能 力,属于中档题.   2.已知条件p:x2﹣4≤0,条件q: ≥0,则¬p是q的(  )

  A. 充分不必要条件   C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既非充分也非必要条件

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: 求出满足条件¬p的x的范围,和满足条件q的x的范围,判断两个范围的 包含关系,进而可用集合法判断出¬p与q的充要关系. 解答: 解:∵条件p:x2﹣4≤0,

∴条件¬p:x2﹣4>0,即x∈(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞); ∵条件q: ≥0,即x∈(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞);

且(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)?(﹣∞,﹣2]∪(2,+∞); 故¬p是q的充分不必要条件, 8

故选:A 点评: 判断充要条件的方法是:①若p?q为真命题且q?p为假命题,则命题p是 命题q的充分不必要条件;②若p?q为假命题且q?p为真命题,则命题p是命题q 的必要不充分条件;③若p?q为真命题且q?p为真命题,则命题p是命题q的充 要条件;④若p?q为假命题且q?p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不 必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁 充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.   3.曲线y=x2在点M(   A. 30° )的切线的倾斜角的大小是(  ) B. 45° C. 60° D. 90°

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;直线的倾斜角. 专题:计算题. 分析: 欲判别切线的倾斜角的大小,只须求出其斜率的值即可,故先利用导数 求出在x= 处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而 问题解决. 解答: 解:y'=2x

∴当x= 时,y'=1,得切线的斜率为1,所以k= ; ∴1=tanα, ∴α=450, 故选B.

9

点评: 本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某 点切线方程等基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.   4.有如下四个结论: ①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线; ②过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直; ③“x>0”是“x>1”的必要条件; ④命题“?x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是“?x∈R,x2﹣x+1≤0”. 其中正确结论的个数为(  )   A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

考点:命题的真假判断与应用. 专题:简易逻辑. 分析: 利用两个平面内的两条直线的位置关系可判断①;

利用面面垂直的判定定理可判断②; 利用充分条件与必要条件的概念可判断③; 利用全称命题与特称命题的关系可判断④. 解答: 解:①分别在两个平面内的两条直线可能平行,也可能相交、异面,故 ①错误; ②过平面α外斜线上一点P作PO⊥α,则斜线与PO确定的平面β⊥α,故过平面 α的一条斜线有一个平面与平面α垂直,正确; ③“x>0”不能?“x>1”,充分性不成立,反之“x>1”?是“x>0”,即 必要性成立,故③正确; ④命题“?x∈R,x2﹣x+1>0”的否定是“?x∈R,x2﹣x+1≤0”,故④错误; 综上所述,其中正确结论的个数为2个. 故选:C. 10

点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查充分条件与必要条件的概念 、全称命题与特称命题的关系及空间直线与平面的位置关系,属于中档题.   5.如果命题“¬(p∧q)”是真命题,则(  )   A. 命题p、q均为假命题   B. 命题p、q均为真命题   C. 命题p、q中至少有一个是真命题   D. 命题p、q中至多有一个是真命题

考点:复合命题的真假. 专题:计算题. 分析: 可知p∧q是假命题,由复合命题的真假可知:命题p,q中至少有一个是 假命题,进而可得答案. 解答: 解:由题意可知:“¬(p∧q)”是真命题,

∴p∧q是假命题, 由复合命题的真假可知:命题p,q中至少有一个是假命题, 即命题p,q中至多有一个是真命题, 故选D 点评:本题考查复合命题的真假,属基础题.   6.若函数y=x2+(2a﹣1)x+1在区间(﹣∞,2]上是减函数,则实数a的取值范 围是(  )   A. [﹣ ,+∞) B. (﹣∞,﹣ ] C. [ ,+∞) D. (﹣∞,

] 11

考点:函数单调性的性质. 专题:计算题. 分析: 由已知中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质,可以判断出函数y =x2+(2a﹣1)x+1图象的形状,分析区间端点与函数图象对称轴的关键,即可 得到答案. 解答: 解:∵函数y=x2+(2a﹣1)x+1的图象是方向朝上,以直线x=

为对称轴的抛物线 又∵函数在区间(﹣∞,2]上是减函数, 故2≤

解得a≤﹣ 故选B. 点评: 本题考查的知识点是函数单调性的性质,其中熟练掌握二次函数的图象 和性质是解答本题的关键.   7.已知p:x≥k,q: 围是(  )   A. [2,+∞) (﹣∞,﹣1) B. (2,+∞) C. [1,+∞) D. <1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 12

分析: 求出不等式q的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论 . 解答: 解:∵ <1,



﹣1=

<0,即(x﹣2)(x+1)>0,

∴x>2或x<﹣1, ∵p是q的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式之间的关系是解 决本题的关键,比较基础.   8.命题“所有能被5整除的数都是偶数”否定形式是(  )   A. 所有不能被5整除的数都是偶数   B. 所有能被5整除的数都不是偶数   C. 存在一个不能被5整除的数都是偶数   D. 存在一个能被5整除的数不是偶数

考点:命题的否定;全称命题. 专题:阅读型. 分析: 本题中所给的命题是一个全称命题,书写其否定要注意它的格式的变化 ,即量词的变化,写出它的否定命题,再对比四个选项得出正确选项 解答: 解:∵全称命题“所有被5整除的整数都是偶数”

13

∴全称命题“所有被5整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个被5整除的整 数不是偶数”, 对比四个选项知,D选项是正确的 故选D 点评: 本题考查命题的否定,解答本题关键是正解全称命题的否定命题的书写 格式,结论要否定,还要把全称量词变为存在量词.   9.以椭圆 )   A. ﹣ =1 B. ﹣ =1 C. ﹣y2=1 D. ﹣y2=1 + =1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为(  

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定椭圆的焦点、顶点坐标,可得双曲线的顶点、焦点坐标,即可求出 双曲线的方程. 解答: 解:椭 + =1的焦点坐标为(± ,0),两个顶点为(±2,0),

∴双曲线的顶点为(± ∴双曲线的方程为 故选:A. ﹣

,0),焦点坐标为(±2,0), =1.

点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础.   14

10.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A, B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是(   )

  A.

B.

C.

D.

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的定义,将三角形的面积关系转化为 可. 解答: 解:如图所示,抛物线的准线DE的方程为x=﹣1, 的关系进行求解即

过A,B分别作AE⊥DE于E,交y轴于N,BD⊥DE于E,交y轴于M, 由抛物线的定义知BF=BD,AF=AE, 则|BM|=|BD|﹣1=|BF|﹣1, |AN|=|AE|﹣1=|AF|﹣1, 则 故选:A = = = ,

15

点评: 本题主要考查三角形的面积关系,利用抛物线的定义进行转化是解决本 题的关键.   二、填空题(本大题共5题,每题5分,共计25分) 11.“p:x∈{x|x2﹣x﹣2≥0}”,“q:x∈{x|x<a}”,若¬p是q的充分不必 要条件,则a的取值范围是 a≥2 .

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析: 求出p的等价条件,利用充分不必要条件的定义建立,建立条件关系即可 求实数a的取值范围. 解答: 解:由x2﹣x﹣2≥0得x≥2或x≤﹣1,即p:x≥2或x≤﹣1,¬p:﹣1<x <2. 若¬p是q的充分不必要条件, 则{x|﹣1<x<2}?{x|x<a}, 即a≥2, 故答案为:a≥2. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查学生的推理能力.利用 不等式的性质是解决本题的关键. 16

  12.已知双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的

焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2, ﹣1),则双曲线的焦距为 2  .

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由已知方程即可得出双曲线的左顶点、一条渐近线方程与抛物线的焦点 、准线的方程,再根据数量关系即可列出方程,解出即可. 解答: 解:∵双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的左顶点(﹣a,0)与抛物线y2

=2px(p>0)的焦点F

的距离为4,∴



又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(﹣2,﹣1),∴渐近线 的方程应是 ,而抛物线的准线方程为 ,因此 ,



联立得

,解得





=2

. .

故双曲线的焦距为 故答案为 .

17

点评:熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键.   13.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使体积是27π,且用料最省,则圆柱的底 面半径为 3 .

考点:函数最值的应用. 专题:应用题. 分析: 设圆柱的高为h,半径为r则由圆柱的体积公式可得,πr2h=27π,即 ,要使用料最省即求全面积的最小值,而S全面积=πr2+2πrh=

=

(法一)令S=f(r),结合导数可判断函数f(r)的单调性,进而可求函数取 得最小值时的半径 (法二):S全面积=πr2+2πrh= 求用料最小时的r 解答: 解:设圆柱的高为h,半径为r = ,利用基本不等式可

则由圆柱的体积公式可得,πr2h=27π

S全面积=πr2+2πrh= (法一)令S=f(r),(r>0) =

=

令f′(r)≥0可得r≥3,令f′(r)<0可得0<r<3 18

∴f(r)在(0,3)单调递减,在[3,+∞)单调递增,则f(r)在r=3时取得 最小值 (法二):S全面积=πr2+2πrh= =

=

=27π

当且仅当

即r=3时取等号

当半径为3时,S最小即用料最省 故答案为:3 点评: 本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解,解答应用试题 的关键是要把实际问题转化为数学问题,根据已学知识进行解决.   14.过抛物线y2=4x焦点的直线l的倾斜角为 ,且l与抛物线相交于A、B两点,

O为原点,那么△AOB的面积为 

 .

考点:抛物线的应用. 专题:计算题. 分析: S△AOB= ,其中d为l到AB的距离,或者把△AOB分成△OFA与OFB,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则S△AOB= OF|y1﹣y2|.

19

解答: 解:抛物线y2=4x焦点F(1,0),l的方程为y=tan (x﹣1),即y=

(x﹣1),与抛物线方程y2=4x联立消去x得y2﹣

y﹣4=0,得y2﹣

﹣4=0

,则S△AOB=S△OFA+S△OFB= OF|y1﹣y2|= OF

= ×1×

=



故答案为: 点评:



本题三角形借助于抛物线这一特殊背景出现,因此若考虑到抛物线的定 义,便会得出如上的解答过程.当然用S△AOB= 完全可以.   15.椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P使 ,其中d为l到AB的距离也

线段PF1与以椭圆短轴为直径的圆相切,切点恰为线段PF1的中点,则该椭圆的 离心率为   .

考点:椭圆的简单性质. 专题:计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设线段PF1的中点为M,另一个焦点F2,利用OM是△F1PF2的中位线,以及椭 圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长,使用勾股定理求离心率. 20

解答:

解:设线段PF1的中点为M,另一个焦点F2,

由题意知,OM=b,又OM是△F1PF2的中位线, ∴OM= PF2=b,PF2=2b,由椭圆的定义知 PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b,

又 MF1= PF1= (2a﹣2b)=a﹣b,又OF1=c, 直角三角形OMF1中,由勾股定理得:(a﹣b)2+b2=c2,又a2﹣b2=c2, 可得2a=3b,故有4a2=9b2=9(a2﹣c2),由此可求得离心率 e= = ,

故答案为: 点评:



本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线和圆相切的条件,考查运 算能力,属于中档题.   三、解答题(75分) 16.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左.右焦点为F1、F2,离心率为e.直

线l:y=ex+a与x轴.y轴分别交于点A、B,M是直线l与椭圆C的一个公共点,P是 点F1关于直线l的对称点,设 (Ⅰ)证明:λ=1﹣e2; (Ⅱ)确定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形. =λ .

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:证明题;综合题. 分析: (Ⅰ)因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B的坐

21

标分别是(﹣ ,0)(0,a).由题设知点M的坐标是(﹣c,

).由



得(﹣c+ ,

)=λ( ,a).从而解得λ=1﹣e2.

(Ⅱ)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角,要使△PF1F2为等腰三角 形,必有 |PF1|=c.由题设知当λ= 时,△PF1F2为等腰三角形. 解答: 解:(Ⅰ)因为A、B分别是直线l:y=ex+a与x轴、y轴的交点,所以A、B 的坐标分别是(﹣ ,0)(0,a).





.这里c=



所以点M的坐标是(﹣c,

).由



得(﹣c+ ,

)=λ( ,a).



.解得λ=1﹣e2.

(Ⅱ)因为PF1⊥l,所以∠PF1F2=90°+∠BAF1为钝角, 要使△PF1F2为等腰三角形,必有|PF1|=|F1F2|,即 |PF1|=c. 设点F1到l的距离为d, 由 |PF1|═d= = =c,



=e.

22

所以e2= ,于是λ=1﹣e2= .

即当λ= 时,△PF1F2为等腰三角形. 点评: 本题考查直线和圆锥曲线的综合问题,解题时要认真审题,仔细求解, 合理地运用公式.   17.已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,点A(

0,﹣2),直线AF的斜率为 (1)求椭圆C的方程;

,O为坐标原点.

(2)设过点A的直线与C相交于P、Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的离心率以及直线的斜率,求出椭圆的几何量,然后求椭 圆C的方程; (2)由设直线的斜率为k,方程为y=kx﹣2,联立直线与椭圆方程,通过△=16 (4k2﹣3)>0,求出k的范围,设P(x1,y1),Q(x2,y2),利用韦达定理,

23

求出|PQ|,坐标原点O到直线的距离,得到S△OPQ的表达式,利用换元法以及基 本不等式,通过面积的最大值,求出k的值,得到直线方程. 解答: 解:(1)设F(c,0),由题意kAF= ,

∴c=

,又∵离心率 =

,∴a=2,

∴b=

=1,椭圆C的方程为

;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分) (2)由题意知,直线的斜率存在,设直线的斜率为k,方程为y=kx﹣2, 联立直线与椭圆方程: ,化简得:(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,

由△=16(4k2﹣3)>0,∴k2> , 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= 分) ∴|PQ|= = , ,x1x2= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6

坐标原点O到直线的距离为d=



S△OPQ=

?

?

=

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(8分) 令t= (t>0),则 S△OPQ= = ,

24

∵t+

,当且仅当t= ,即t=2时等号成立,

∴S△OPQ≤1,故当t=2,即

,k2= > ,

∴k=±

时,△OPQ的面积最大,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 此时直线的方程为:y=± ﹣﹣(12分) 点评: 本题考查椭圆的方程的求法,直线与椭圆的方程的综合应用,考查分析 问题解决问题的能力.   18.已知F1,F2分别为椭圆的上、下焦点,F1是抛物线C1:x2=4y的焦点,点M是 C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|= (1)求椭圆C1的方程; (2)与圆x2+(y+1)2=1相切的直线l:y=k(x+t),kt≠0交椭圆C1于A,B,若 椭圆C1上一点P满足 + =λ ,求实数λ的取值范围. x﹣2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 25

专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用抛物线的方程和定义即可求出点M的坐标,再利用椭圆的定义 即可求出; (2)根据直线与圆相切则圆心到直线距离等于半径,可得k= ,联立直线

与椭圆方程,结合椭圆上一点P满足 出实数λ的取值范围. 解答:

+



,可得到λ2的表达式,进而求

解:(Ⅰ)由题知F1(0,1),所以a2﹣b2=1,

又由抛物线定义可知MF1=yM+1= ,得yM= ,

于是易知M(﹣

, ),从而MF1=

= ,

由椭圆定义知2a=MF1+MF2=4,得a=2,故b2=3, 从而椭圆的方程为 + =1; + =λ 知,

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则由 x1+x2=λx0,y1+y2=λy0,且 + =1,①

又直线l:y=k(x+t),kt≠0与圆x2+(y+1)2=1相切,所以有

=1,

由k≠0,可得k=

(t≠±1,t≠0)②

又联立

消去y得(4+3k2)x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0,

且△>0恒成立,且x1+x2=﹣

,x1x2=



26

所以y1+y2=k(x1+x2)+2kt= , 代入①式得 +

,所以得P(





=1,所以λ2=



又将②式代入得,λ2=

,t≠0,t≠±1,

易知(

)2+

+1>1,且(

)2+

+1≠3,

所以λ2∈(0, )∪( ,4),

所以λ的取值范围为{λ|﹣2<λ<2且λ≠0,且λ≠± 点评:

}.

熟练掌握圆锥曲线的定义和性质、向量相等、直线与圆锥曲线的相交问 题及根与系数的关系是解题的关键.本题需要较强的计算能力,注意分类讨论 的思想方法应用.   19.已知椭圆C1: +x2=1(a>1)与抛物线C :x2=4y有相同焦点F1.

(Ⅰ)求椭圆C1的标准方程; (Ⅱ)已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2,且与抛物线C2相切于第一象限的点A ,设平行l1的直线l交椭圆C1于B,C两点,当△OBC面积最大时,求直线l的方程 .

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的关系. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 27

分析: (Ⅰ)求出抛物线的F1(0,1),利用椭圆的离心率,求出a、b即可求 解椭圆方程. (Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线l1的斜率必存在,联立方程组,利用相 切求出k,然后利用直线的平行,设直线l的方程为y=x+m联立方程组,通过弦长 公式点到直线的距离求解三角形的面积,然后得到所求直线l的方程. 解答: 解:(Ⅰ)∵抛物线x2=4y的焦点为F1(0,1),

∴c=1,又b2=1,∴ ∴椭圆方程为: +x2=1. …(4分)

(Ⅱ)F2(0,﹣1),由已知可知直线l1的斜率必存在,

设直线l1:y=kx﹣1 由 消去y并化简得x2﹣4kx+4=0

∵直线l1与抛物线C2相切于点A. ∴△=(﹣4k)2﹣4×4=0,得k=±1.…(5分) ∵切点A在第一象限. ∴k=1…(6分) ∵l∥l1 ∴设直线l的方程为y=x+m 由 ,消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0,…(7分)

△=(2m)2﹣12(m2﹣2)>0, 28

解得

. ,

设B(x1,y1),C(x2,y2),则

.… (8分) 又直线l交y轴于D(0,m) ∴ 分) = …(10



,即

时,

.…(11分)

所以,所求直线l的方程为 点评:

.…(12分)

本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质,考查直线与圆锥曲线的位置 关系,考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想.   20.已知F1、F2分别是椭圆 + =1的左、右焦点,曲线C是坐标原点为顶点,

以F2为焦点的抛物线,过点F1的直线l交曲线C于x轴上方两个不同点P、Q,点P 关于x轴的对称点为M,设 =

(Ⅰ)若λ∈[2,4],求直线L的斜率k的取值范围; (Ⅱ)求证:直线MQ过定点.

考点:三点共线;圆锥曲线的综合. 29

专题:计算题. 分析: (I)求出曲线C的方程,把PQ的方程 x=my﹣1 及

(m>0)代入曲线C的方程 化简可得 y2﹣4my+4=0,利用根与系数的关系 = ,可得 =λ+ (II)根据 (1,0 ). 解答: 解:(I)令P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意,可设抛物线方程为 y2=2px 由椭圆的方程可得F1 (﹣1,0),F2 (1,0 )故p=2,曲线C的方程为 y2=4x, 由题意,可设PQ的方程 化简可得 y2﹣4my+4=0, ∴y1+y2=4m,y1y2=4. 又 =λ+ 又 = ,∴x1+1=λ(x2+1),y1=λy2, x=my﹣1 (m>0).把PQ的方程代入曲线C的方程 ﹣ +2=4m2,据λ∈[2,4],求得直线L的斜率 的范围. F2

=0,可得 M、Q、F2三点共线,故直线MQ过定点

+2=4m2.λ∈[2,4],∴2+ ≤λ+

≤4+ , ≤m2≤



∴ ≤ ≤

∴直线L的斜率k的取值范围为[ ,

].

(II)由于P,M关于X轴对称,故M(x1,﹣y1), ∵ ﹣ = + = =0, F2 (1,0 ).

∴M、Q、F2三点共线,故直线MQ过定点

30

点评: 本题考查椭圆、抛物线的标准方程、简单性质,三点共线的条件,根据 题意,得到2+ ≤λ+   21.已知函数f(x)= +ax,x>1. ≤4+ ,是解题的关键.

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上单调递减,求实数a的取值范围; (Ⅱ)若a=2,求函数f(x)的极小值; (Ⅲ)若存在实数a使f(x)在区间( 同的极值点,求n的最小值. )(n∈N*,且n>1)上有两个不

考点:利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的导数,利用f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上恒成立, 得到a的表达式,利用函数的最小值求出a的范围. (Ⅱ)通过a=2,化简函数的解析式,求出函数的导数,利用导数的符号,判断 函数的单调性,求出极小值. (Ⅲ)判断aln2x+lnx﹣1=0在 上有两个不等实根,法一:构造函数

,推出

,求出n的最小值.法二:利用

31

,推出a的表达式,列出

然后求解n的最

小值. 解答: 解:(Ⅰ) (本小题满分13分) ,由题意可得f′(x)≤0在x∈(1,+∞)上

恒成立;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(1分) ∴ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(2分) ∵x∈(1,+∞),∴lnx∈(0,+∞),﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3分) ∴ 时函数t= 的最小值为 ,

∴ (Ⅱ)

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4分)

当a=2时, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(5分) 令f′(x)=0得2ln2x+lnx﹣1=0, 解得 或lnx=﹣1(舍),即

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣(7分) 当 时,f′(x)<0,当 时,f′(x)>0 32

∴f(x)的极小值为

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8分) (Ⅲ)原题等价于f′(x)=0在 等的实数根; 由题意可知 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9分) 即aln2x+lnx﹣1=0在 上有两个不等实根.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,且n>1)上有两个不

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10分) 法一:令 ,g(u)=au2+u﹣1

∵g(0)=﹣1<0,根据图象可知:

,整理得



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分) 即 ,解得n>2,

∴n的最小值为3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13分) 法二: 令 , ﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11分) 33

由题意可知

解得

解得n>2,∴n的最小值为3.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(13分) 点评: 本题考查函数的单调性以及函数的极值,构造法的应用,考查转化思想 以及计算能力.

34



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