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4.1曲线与方程



选修 2-1

第三章

编写 蒋兴安

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课题 :§4.1 曲线与方程
学习目标: 1.了解曲线上的点集与方程的解集之间的一一对应关系; 2.掌握曲线的方程和方程的曲线的概念,会求曲线方程. 学习重点:掌握曲线的方程和方程的曲线的概念. 学习难点:掌握求曲线方程的一般步骤.

【自主学习】
一、方程与曲线 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线 C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个 二元方程的实数解建立了如下的关系: (1) (2) 那么,这条曲线叫作 都是这个方程的解; 的点都在曲线上, ,这个方程叫作 .

二、求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 P 的点 M 的集合 P={M|P(M)}; (3)用坐标表示条件 P(M) ,列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况,可 适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略步骤(2) ,直接列出曲线方程.

【预习自测】
设 A、B 两点的坐标是(-1,-1) , (3,7) ,求线段 AB 的垂直平分线的方程.

【合作探究】
探究 1 曲线与方程的概念 2 2 1.(1)判定 A(3,-4)和 B(4,5)两点是否在曲线 x +y =25 上. (2)已知点 A( 2,m)在曲线 C:x +y =5 上,求 m 的值.
2 2

探究 2 求解曲线方程 2.曲线上的点 P(x,y)到定点 A(0,-2)的距离和到定直线 y=-8 的距离之比为 1:2,求曲线方程.

3.设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程.

4.已知一座圆拱桥的跨度是 36m ,圆拱高为 6 m ,以圆拱所对的弦 AB 所在的直线 为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴, 建立直角坐标系 xOy(如图所示) , 求圆拱的方程.

y

x

【基础检测】
1. 在曲线 x -xy+2y+1=0 上的点是( A.(2,-2) B.(4,-3) 2 2.方程 x +xy=x 表示的曲线是( )
2

) C.(3,10) D.(-2,5) D.两条直线 D.y 轴和直线 y=±1

A.一个点 B.一条直线 C.一个点和一条直线 2 2 2 2 3.方程 x +(x +y -1) =0 表示的图形是( ) A.y 轴和圆 B.x 轴和圆 C.两点(0,1),(0,-1)
2 2

4. 已知 α∈[0,2π],点 P(cos α,sin α)在曲线(x-2) +y =3 上,则 α 的值为________. 5.下列结论正确的是 .(填序号)

x ①方程 =1 表示斜率为 1,在 y 轴上的截距是 2 的直线; y-2 ②△ABC 的顶点坐标分别为 A(0,3),B(-2,0),C(2,0),则中线 AO 的方程是 x=0; ③到 x 轴距离为 5 的点的轨迹方程是 y=5; ④曲线 2x2-3y2-2x+m=0 通过原点的充要条件是 m=0. 6. 动点 M 在曲线 x2+y2=1 上移动,M 和定点 B(3,0)连线的中点为 P,求 P 点的轨迹方程.



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