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东海高级中学高二数学(下)期末模拟试题一



东海高级中学高二数学(下)期末模拟试题一
一、 选择题(5×12=60 分)
1、函数 f ( x) ?

2 3 x ? 2 x ? 1 在区间[0,1]上是( 3



(A)单调递增的函数. (C)先减后增的函数 .

(B)单调递减的函数. (D)先增后减的函数.

/>
2、.设两个独立事件 A 和 B 都不发生的概率为

1 ,A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发 9
) (C)

生的概率相同,则事件 A 发生的概率 P(A)是( (A)

2 9

(B)

1 18

1 3


(D)

2 3
丙 9 5.7 丁 8 6.4

3、甲、乙、丙、丁四名射击选手在 选拔赛中所得的平均环数 x 及其 方差 S 如下表所示,则选送 参加决赛的最佳人选是( (A)甲 (B)乙 ) (C)丙
2

乙 9 6.2

x
S2
(D) 丁

8 5.7

4、若记地球的半径为 R,则赤道上两地 A、B 间的球面距离为 B 两地的球面距离均为

?
2

R ,北半球的 C 地与 A、

?
3

R ,则 C 地的纬度为( )

(A)北纬 45° (B)北纬 60° (C)北纬 30° (D)北纬 75° n 5、 设二项式 (3x+1) 的展开式的各项系数和为 an, 展开式中 x2 的系数为 bn。 若 an+bn=310, 则 n 等于( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 6、 一个容量为 20 的样本数据, 分组后, 若组距与频数如下: (10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40, 50),5;(50, 60),4;(60,70),2;则样本在区间(10,50)内的频率是( ) (A)0.05 (B)0.25 (C)0.50 (D)0.70 7、若 ab<0,且 a+b=1,二项式(a+b)9 按 a 的降幂展开后,其第二项不大于第三项,则实数 a 的取值范围为( ) (A)(-∞,0) (B) [ ,+∞)

4 5

(C)(-∞, ]

4 5

(D)(1,+∞)

8、在棱长为 2R 的无盖立方体容器内装满水,先将半径为 R 的球放入水中,然后再放入一 个球,使它完全浸入水中,要使溢出的水量最大,则此球的半径是( )

3 ?1 R 2 9、 已知函数,f ( x ) ? 2 3 ? 1 2 ? m (m 为常数)图像上点 A 处的切线与直线 x 一 y+3=0 x x
(A) ( 3 ? 1) R (B) (C) (2 ? 3 ) R (D)
2

2? 3 R 2

的夹角为 45 。则点 A 的横坐标为(

o

)

(A) 0

(B) 1

(C) 0 或

1 6

(D) l 或

1 6

10、若α 、β 是两个平行平面,其中α 上有 4 个点,β 上有 3 个 点,从中任取 5 个点,则能构成四棱锥的最大概率是( )

1 5 6 (C) (D) 3 7 7 P 到面 ABC 的 11、 已知 P 是正四面体 S ? ABC 的面 SBC 上一点, 距离与到点 S 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )
(A) (B) (A) 圆 (B)椭圆 (C) 双曲线 (D)抛物线

1 7

S

P A B C

12、如图,在一个田字形区域 A、B、C、D 中栽种观赏植物,要求同 一区域中种同一种植物.相邻两区域中种不同的植物(A 与 D、B 与 C 不为相邻)现 有 4 种不同的植物可供选择,则不 同的种植方案有( ) (A)24 种 (B)36 种 (C) 48 种 (D) 84 种

A C

B D

二、 填空题(4×4=16 分)
13、某中学有高一学生 400 人,高二学生 300 人,高三学生 300 人,现通过分层抽样抽取 一样本容量为 n 的样本,已知每个学生被抽到的概率为 0.2,则 n ? __ __. 14、设(1+x) = a0 +
n

a1 x+ a2 x

2

+

a3 x +……+ an x.若 a2 ? 1 .则 n=
3

a

3

3



15、已知 x ? R ,奇函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 在 [1, ??) 上单调.则字母 a, b, c 应满足 的条件是 .

16、下图是某企业 2000 年至 2003 年四年来关于生产销售的一张统计图表 (注: 利润=销 售额-生产成本). 对这四年有以下几种说法: (1) 该企业的利润逐年提高; (2) 2000 年—2001 年该企业销售额 增长率最快; (3) 2001 年—2002 年该企业生产成 本增长率最快; (4) 2002 年—2003 年该企业利润增 长幅度比 2000 年—2001 年利润增长 幅度大. 其中说法正确的是 .

(注:把你认为正确的说法序号都填上).

三、解答题
17(12 分)A 袋中有 1 张 10 元 1 张 5 元的钱币,B 袋中有 2 张 10 元 1 张 5 元的钱币,从 A 袋中任取一张钱币与 B 袋任取一张钱币互换,这样的互换进行了一次. 求 (1) A 袋中 10 元钱币恰是一张的概率; (2)A 袋中 10 元钱币至少是一张的概率. 18(12 分)、某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人 数及频率如下表: 0~6 7~12 13~18 19~24 25~30 人数 31 人以上 0.1 0.15 0.25 0.20 0.20 0.1 频率 (I)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约是多少? (II)全线途经 10 个停靠点,若有 2 个以上(含 2 个) ,乘客人数超过 18 人的概率大于 0.9,公交公司就要考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗? 19(12 分) 、已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? ax ? 2 3 2
5 , 6

(1)若函数 f(x)在(-∞,+∞)上恒为单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数 f(x)的两个极值点, 若直线 AB 的斜率不小于-

求实数 a 的取值范围. 20(12 分) 、已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AB ? AC , D 是 BC 中点, F 为棱 BB1 上一 点,且 BF ? 2FB1 , BF ? BC ? 2a . (1) 求证: C1F ? 平面 ADF; (2) 若 AB ?

5a, 试求出二面角 D—AF—B 的正切值.

21(12 分) 、一根水平放置的长方形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比,与它的厚度 d 的平方成正比,与它的长度 l 的平方成反比。 (1)将此枕木翻转 90 (即宽度变为了厚度) ,枕木的安全负荷变大吗?为什么? (2)现在一根横断面为半圆(半圆的半径为 R) ,用它来截取成长方形的枕木,其长 度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?
?

l d

a

22(14 分) 、已知在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 D1D、BD 的中点,G 在棱 CD 上。 (1)求证:EF⊥B1C;

51 ,试确定 G 点的位置; 17 (3)在(2)的结论下,求二面角 F—EG—C1 的大小(用反三角函数表示) 。
(2)若 EF 与 C1G 所成角的余弦值为
D1 A1 E D A F G B C B1 C1

答 案
一、选择题
BDCAB DDCCD 14、11; BD 15、a=c=0,b≤0; 16、 (2) 、 (3) 、 (4).

二、填空题
13、200;

三、解答题
17、解: (1)A 中 2 张钱币取 1 张,有 2 种情况, B 中 3 张钱币取 1 张,有 3 种情况, ∴互换一次有 2?3 = 6 种情况, 其中 10 元币恰是一张的情况有 3 种, ∴A 袋中 10 元钱币恰是一张的概率为 P1 = (2)A 袋中恰有一张 10 元币的概率为 P1 =

1 . 2

1 ; 2

A 袋中恰有两张 10 元币的概率为 P2 =

1 ; 3 1 1 5 + = . 3 2 6

∴ A 袋中 10 元钱币至少是一张的概率 P = P1 + P2 = 另解:. A 袋中恰有 0 张 10 元币的概率为 P0 = ∴A 袋中 10 元钱币至少是一张的概率 P = 1 – P0 =

1 , 6

5 . 6

18、解: (Ⅰ)每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约为 0.1+0.15+0.25+0.2=0.7 (Ⅱ)从每个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率为 0.20+0.20+0.1=0.5

途经 10 个停靠点,没有一个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率为

1 0 1 0 C10 ( ) (1 ? )10 2 2
途经 10 个停靠点,只有一个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率

1 1 1 1 C10 ( ) (1 ? )9 2 2
所以,途经 10 个停靠点,有 2 个以上(含 2 个)停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概 率 P=1- C10 ( ) (1 ? ) -C 1 10 (
0 0 10

1 2

1 2

1 1 1 5 973 ? 0.9 ) (1- )9=1- 10 ? 9 = 2 2 2 2 1024

∴该线路需要增加班次。 答: (Ⅰ)每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约为 0.7 (Ⅱ) 该线路需要增加班次.

1 3 1 2 x ? ax ? ax ? 2 为 R 上的单调函数, 3 2 2 ∴ f ?( x) ? x ? ax ? a ? 0 对 (??, ??) 恒成立,
19、解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ∴ ? ? a ? 4a ? 0 ,即 a ? [0,4]
2

(若 a ?(0,4) ,扣 1 分)

(Ⅱ)∵ x1 , x 2 为函数 f ( x) 的极值点, ∴△= a2 ? 4a ? 0, 即 a ? 4, 或 a ? 0; 且 x1 ? x2 ? ?a, x1 x2 ? a .

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 2 1 ? ( x1 ? x2 2 ? x1 x2 ) ? a( x ? x) ? a x2 ? x1 3 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 5 2 = [( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ] ? a( x1 ? x 2 ) ? a ? (a ? a) ? a ? a ? ? a ? a ? ? 3 2 3 2 6 3 6 2 化简得 a ? 4a ? 5 ? 0, 即 ?1 ? a ? 5. ∴ ?1 ? a ? 0, 或4 ? a ? 5. 20、解: (1) ∵ AB ? AC , F 为棱 BB1 上一点, ∴AD⊥BC, k AB ?
又∵直三棱柱 ABC-A1B1C1, ∴BB1⊥底面 ABC, ∴BB1⊥AD, ∴AD⊥平面 BC1, 在 Rt△DBF 和 Rt△FB1C1 中,

BF 2a BF B1C1 ? ? 2, ? , ∴Rt△DBF∽Rt△FB1C1, DB a DB B1 F
∴∠BDF=∠B1FC1, 又∠BDF+∠BFD=90°, ∴∠B1FC1+∠BFD=90°, ∴DF⊥C1F, ∴C1F⊥平面 ADF. (2) 过 B 作 BE∥C1F, 交 DF 于 H, 则 BH⊥平面 ADF,过 H 作 HG⊥AF 交 AF 于 G 点, 连结 BG, 则 BG⊥AF,则∠BGH 为所求二面角的平面角,若 AB=

5a, 可得 tan ? ?

3 . 4

21、解: (1)安全负荷 y1 = k ?

ad 2 da 2 ? y ? k ? 90 ( k 为正常数) ,翻转 后, 。 2 l2 l2

y1 d ? ,∴当 0<d<a 时, y1 ? y2 ,安全负荷变大;当 0<a<d 时, y2 ? y1 ,安全 y2 a 负荷变小;当 d=a 时, y1 ? y2 ,安全负荷不变。 a 2 2 2 2 2 2 (2)设截取的宽为 a,高为 d,则 ( ) + d = R ,即 a ? 4d ? 4 R 。 2 2 ∵枕木长度不变,∴ u ? ad 最大时,安全负荷最大。


u = d 2 a2 = d 2 4R2 - 4d 2 , 令 v = u 2 = 4(d 4 R2 - d 6 ) , 则 v ?= 4(4d 3 R2 - 6d 5 ) = 8d 3 (2R2 - 3d 2 ) 。
令 v ? =0,则 d ?

u 最大,即安全负荷最大。

6 6 2 3 R (d>0。舍去负)即取 d ? R 。取 a ? 2 R 2 ? d 2 ? R 时, 3 3 3 D
1

C1

22、解: (1)连接 D1B、BC1 ∵ E、F 是 D1D、BD 的中点 ∴ EF//D1B 且 EF=

A1 E D A F

B1

1 D1B 2

G B

C

又∵ D1C1⊥平面 BC1 ∴ D1B 在平面 BC1 上的射影为 BC1

∵ BC1⊥B1C,由三垂线定理知 B1C⊥D1B ∴ EF⊥B1C (2)延长 CD 至点 P,使得 DP=CG,连接 D1P、PB , ∴ D1C1 ∴ 四边形 D1C1GP 为平行四边形, 由(1)知 EF//D1B ∴ ∠PD1B 为异面直线 EF 与 C1G 所成的角,设正方体的棱长为 4,|CG|=t (0≤t≤4) 则 D1P2=16+t2,D1B2=48,PB2=16+(4+t)2 则 cos ?PD1 B ? 解得 PG

D1 P 2 ? D1 B 2 ? PB 2 16 ? t 2 ? 48 ? 16 ? (4 ? t ) 2 51 ? ? 2 2D1 P ? D1 B 17 2 16 ? t ? 4 3

t=1. ∴ 点 G 是棱 CD 接近于点 C 的四等分点

(3)取 CD 的中点 M,连接 FM,则 FM⊥CD 过 M 作 MN⊥EG 交于 N 点,连接 FN 则 FN⊥EG, ∴ ∠MNF 的补角为二面角 F-EG-C1 的平面角 MG ? ED 1 ? 2 2 13 设正方体棱长为 4,在 Rt△MNG 中,MN= ? ? EG 13 13 在 Rt△FMN 中,∠FMN=900,∴ tan∠MNF= ∴ 二面角 F-EG-C1 的大小为 ? ? arctan 13

FM ? 13 . MN



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