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3.2.2函数模型的应用实例



3.2.2 函数模型的应用实例

一、新课引入
到目前为止,我们已经学习了哪些常用函数? 一次函数

y ? ax ? b
2
x

二次函数
指数函数

y ? ax ? bx ? c

(a≠0)

y ? a (a

? 0, 且a ? 1)

对数函数 幂函数

y?x

y ? log x(a ? 0, 且a ? 1)
a

a

大家首先来看一个例子
邮局规定,邮寄包裹,在5千克内每千克5元, 超过5千克的超出部分按每千克3元收费,邮费与邮寄包 裹重量的函数关系式为____.

( x ? 5) ?5 x f(x)= ? ?25 ? 3( x ? 5)

( x>5)

从中可以知道,函数与现实世界有着紧密的联系, 有着广泛应用的,那么我们能否通过更多的实例来感 受它们的应用呢?若能的话,那么如何在实际问题中 建立函数模型呢?

例3:一辆汽车在某段路程中的行驶速 度与时间的关系如图: (1) 求图 90 y 中阴影部 90 80 75 80 分的面积, 65 70 并说明所 60 50 50 求面积的 40 实际含义。
30 20 10

x
1 2 3 4 5

(2)假设这辆汽车的里程表在行驶这段 路程前的读数为2004km,试建立汽车行 驶这段路程时汽车里程表读数 s km与时 间 t h的函数解析式,并作出相应的图像。
90 80 70 60 50 40 30 20 10

y

x
t

1

t

2

3

4

5

(2)解:
? 50t ? 2004 ? 80( t ? 1) ? 2054 ? ? S ? ?90( t ? 2) ? 2134 ?75( t ? 3) ? 2224 ? ? ?65( t ? 4) ? 2299 0? t ?1 1? t ? 2 2?t ? 3 3?t ?4 4?t ?5

y
2400 2300 2200 2100 2000 .

分段函数是刻画现实 世界的重要模型

.
. .

.
.
x
1 2 3 4 5

解决应用题的一般程序是: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺 数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用 数学知识,建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论, 还原为实际问题的意义.

例4:人口问题是当今世界各国普遍关注 的问题。认识人口数量的变化规律,可以 为有效控制人口增长提供依据。早在1798 年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然 状态下的人口增长模型:

y ? y0 e

rt

y0表示t =0时的人 其中t表示经过的时间, 口数,r表示人口的年平均增长率。

下面是1950~1959年我国的人口数据资料:
19501951 19521953195419551956195719581959
55196 56300 57482587966026661456628286456365994 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这 一时期的人口增长率(精确到0.0001),用马尔萨 斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口 增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否 相符; (2)如果按表中数据的增长趋势,大约在哪一年 我国的人口达到13亿?

解:(1)设1951~ 1959 年 的 人 口 增 长 率 分 别r 为 1, r2 ,?, r9 ,由 55196 (1 ? r1 ) ? 56300 , 可 得1951 年的人口增长率 r1 ? 0.0200 . 同理可得 ,

r2 ? 0.0210 , r3 ? 0.0229 , r4 ? 0.0250 , r5 ? 0.0197 , r6 ? 0.0223 , r7 ? 0.0276 , r8 ? 0.0222 , r9 ? 0.0184 .
于是,1951~1959年期间,我国人口的年平均增长率为
令y0 ? 55196 ,则 我 国 在 1951~ 1959年 期 间 的 人 口 增长模型为 y ? 55196 e 0.0221 t , t ? N .

r ? (r1 ? r2 ? ?? r9 ) ? 9 ? 0.0221

根据上表的数据作出散 点图, 并作出函数 y ? 55196 e
y 70000

0.0221t

(t ? N )的图象(下图).

65000
60000 55000 50000 0 1 2 3 4 5 8

6

7

9

t

由上图可以看出,所得模型与 1950~1959年的实际人中数据基本吻合.

(2)将y=1300000代入
0.0221t, y=55196e如果不实行计划生育,而让

人口自然增长,今天我国将 由计算机可得: 面临难以承受的人口压力!

t≈38.76
这就是说按照这个增长趋势,那么大约 在1950年后的第39年(即1989年),我国的 人口就已经达到13亿。

用已知的函数模型 解题的一般过程 :
解 模 验 模 用 模

例5 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定 成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日 均销售量的关系如表所示: 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480 440 400 360

320 280 240

请根据以上数据作出分析,这个经营 部怎样定价才能获得最大利润?

分析:由表中信息可知①销售单价每增加1元,日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好?

解:设在进价基础上增加x元后,日均经营利 润为y元,则有日均销售量为

480-40(x-1)=520-40x

(桶)

而 x ? 0, 且520 ? 40x ? 0,即0 ? x ? 13
y ? (520? 40x) x ? 200 ? ?40x 2 ? 520x ? 200 ? ?40( x ? 6.5)2 ? 1490

?当x ? 6.5时,y有最大值

? 只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润。

自己建立函数模型解题的一般过程 :
选 模 解 模 验 模 用 模

例6 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表
身高 60 /cm 体重 /kg
6.13

70
7.90

80
9.99

90
12.15

100
15.02

110
17.50

120
20.92

130
26.86

140 150 160
31.11 38.85 47.25

170
55.05

(1)根据表所提供的数据,能否建立恰当的函数模型,使它 能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高 x cm 的函数关系?试写出这个函数模型的解析式. (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖, 低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175cm ,体重 为78kg 的在校男生的体重是否正常?

60 y 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 60

70

80

90

x 100 110 120 130 140 150 160 170

60 y 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 x 170

给出数据建模的程序
收集数据

画散点图
选择模型
不 符 合

求解模型
检验模型

使用模型

注意点:
1.在引入自变量建立目标函数解决函数应 用题时,一是要注意自变量的取值范围,二 是要检验所得结果,必要时运用估算和近似 计算,以使结果符合实际问题的要求. 2.在实际问题向数学问题的转化过程中,要 充分使用数学语言,如引入字母,列表,画 图等使实际问题数学符号化. 3.对于建立的各种数学模型,要能够模型识 别,充分利用数学方法加以解决,并能积累 一定数量的典型的函数模型,这是顺利解决 实际问题的重要资本.





本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题,要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤.函数的应用问题是高考中的热 点内容,必须下功夫练好基本功.本节涉及 的函数模型有:一次函数、二次函数、分段 函数及较简单的指数函数和对数函数.其 中,最重要的是二次函数模型.

作 业
P107B组:1.2

课后练习
1.一家旅社有100间相同的客房,经过一段时间的经营实践,旅 社经理发现,每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系: 每间每天房价 20元 18元 16元 65% 75% 85% 住房率 要使每天收入达到最高,每间定价应为(

14元 95%
) C

A.20元 B.18元 C.16元 D.14元 2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个, 已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了取得最 大利润,每个售价应定为( )A
A.95元 B.100元 C.105元 D.110元

3.某纯净水制造厂在净化水的过程中,每 增加一次过滤可减少水中杂质20%,要 使水中杂质减少到原来的5%以下,则至 少需要过滤的次数为( C ) (参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771) A.5 B.10 C.14 D.15

4.有一批材料可以建成200m的围墙,如 果用此材料在一边靠墙的地方围成一块 矩形场地,中间用同样的材料隔成三个 面积相等的矩形(如下图所示),则围 成的矩形最大面积为 ________m2 (围墙厚度不计).
2500



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