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吉林省长春外国语学校2015届高三上学期期中数学试卷(文科)



吉林省长春外国语学校 2015 届高三上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题四个选项中,只有一项正确. x 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|1≤2 <4},则 A∩B=() A.{﹣1, 0,1} B.{0,1,2} C.{0,1} D.{1,2] 2. (5 分)“a=0 是

f(x)= A.充分不必要条件 C. 充要条件 为奇函数“的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x0

3. (5 分)命题 p:?x∈R,log2x>0,命题 q:?x0∈R,2 <0,则下列命题为真命题的是() A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧q D.p∨(¬q) 4. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是区间(0,+∞)上的增函数的是() A.
0.5

B.y=x

﹣1

C.y=x

3

D.y=2

x

5. (5 分)已知 a=3 ,b=log3 ,c=log32,则() A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b
2

D.b>a>c

6. (5 分)若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.以上都不对

7. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]=()

A.

B. 2

C. 4

D.8

8. (5 分)函数 f(x)= A.(0,3) B.(0,3]

的定义域为() C.(3,+∞) D.[3,+∞)

9. (5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)+f(x)=0,且 f(x+1)=f(1﹣x) ,若 f (1)=5,则 f=() A.5 B . ﹣5 C. 0 D.3 10. (5 分)函数 y=4 +2 +1 的值域为() A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞)
x x+1

D.(﹣∞,+∞)

11. (5 分)若 f(x)为定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x +1, 则当 x∈[3,5]时,f(x)=() 2 2 2 2 A.(x+3) +1 B.(x﹣3) +1 C.(x﹣4) +1 D.(x﹣5) +1 12. (5 分)已知函数 f(x)=|x ﹣4x+3|,若方程[f(x)] +bf(x)+c=0 恰有七个不相同的实 根,则实数 b 的取值范围是() A.(﹣2,0) B.(﹣2,﹣1) C.(0,1) D.(0,2)
2 2

2

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的指定位置. 13. (5 分)f(x)= 的单调递增区间为.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

+3(a>0 且 a≠1) ,若 f(1)=4,则 f(﹣1)=.

15. (5 分)直线 ρcosθ﹣ρsinθ+a=0 与圆 的取值范围是.

(θ 为参数)有公共点,则实数 a

16. (5 分)函数 f(x)=

的零点个数为.

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (12 分)已知数列{an}是首项为 1,公差不为 0 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,Sn 是数列{bn}的前 n 项和,求证:Sn< .

18. (12 分)某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下: 观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 20 岁以下 200 400 800 20 岁以上(含 20 岁) 100 100 400 (1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的值. (2) 在支持 C 的人中, 用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体, 从这 6 人中任意选取 2 人, 求恰有 1 人在 20 岁以下的概率.

19. (12 分)如图,在几何体 ABCD﹣A1D1C1 中,四边形 ABCD,A1ADD1,DCC1D1 均为边 长为 1 的正方形. (1)求证:BD1⊥A1C1. (2)求该几何体的体积.

20. (12 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,且短轴长为 2

,F1,F2 是

椭圆的左右两个焦点,若直线 l 过 F2,且倾斜角为 45°,交椭圆于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)求△ ABF1 的周长与面积. 21. (12 分)已知函数 (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

22. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程 ρ=2sinθ,直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,

以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系; (1)求曲线 C 与直线 l 的直角坐标方程. (2)若 M、N 分别为曲线 C 与直线 l 上的两个动点,求|MN|的最小值.

吉林省长春外国语学校 2015 届高三上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.每小题四个选项中,只有一项正确. x 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|1≤2 <4},则 A∩B=()

A.{﹣1,0,1}

B.{0,1,2}

C.{0,1}

D.{1,2]

考点: 交集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题可先对集合 B 进行化简,再利用交集运算的法则求出集合 A、B 的交集,得本 题结论. 解答: 解:∵集合 B={x|1≤2 <4}, ∴B={x|0≤x<2}, ∵集合 A={﹣1,0,1,2}, ∴A∩B={0,1}. 故选 C. 点评: 本题考查了集合的交集运算,本题难度不大,属于基础题. 2. (5 分)“a=0 是 f(x)= A.充分不必要条件 C. 充要条件 为奇函数“的() B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 函数的性质及应用;简易逻辑. 分析: 先求 f(x)的定义域,然后 a=0 时求出 f(x) ,并容易判断此时 f(x)的奇偶性;而 由 f(x)是奇函数,便有 f(﹣x)=﹣f(x) ,所以能够求出 a=0,这样便可得到“a=0”是“f(x) = 为奇函数”的什么条件. ;

解答: 解: (1)f(x)的定义域为{x|x≠±1},若 a=0,f(x)= ∴f(﹣x)= ∴f(x)是奇函数; a=0 是 f(x)= (2)若 f(x)= f(﹣x)= ∴a=﹣a; ∴a=0; ∴“a=0”是“f(x)= 为奇函数”的必要条件; 为奇函数“的充要条件. = 为奇函数的充分条件; 是奇函数,则: ; ;

综合(1) (2)得“a=0“是“f(x)=

故选 C. 点评: 考查奇函数的定义,判断一个函数是否为奇函数的方法,以及充分条件、必要条件、 充要条件的概念.

3. (5 分)命题 p:?x∈R,log2x>0,命题 q:?x0∈R,2 <0,则下列命题为真命题的是() A.p∨q B.p∧q C.(¬p)∧q D.p∨(¬q) 考点: 复合命题的真假;特称命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 判断命题 P 与 q 的真假,然后判断选项的正误. 解答: 解:命题 p:?x∈R,log2x>0,是假命题;¬p 是真命题; x0 命题 q:?x0∈R,2 <0,是假命题;¬q 是真命题; 所以 p∨q 是假命题;p∧q 是假命题; (¬p)∧q 是假命题;p∨(¬q)是真命题. 故选:D. 点评: 本题考查命题的真假的判断与应用,基本知识的考查. 4. (5 分)下列函数中,既是奇函数又是区间(0,+∞)上的增函数的是() A. B.y=x
﹣1

x0

C.y=x

3

D.y=2

x

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 常规题型;计算题. 分析: 定义域为[0,+∞)不关于原点对称, ;y=x
﹣1

为(0,+∞)上减函数;对于 y=2 ,

x

是指数函数;y=x3 是幂函数,指数大于零为增函数;又 f(﹣x)=f(x) . 解答: 解: 定义域为[0,+∞) ,不关于原点对称,不具有奇偶性;y=x
x 3
﹣1

为(0,+∞)

上减函数;对于 y=2 ,是指数函数,不具有奇偶性;y=x 是幂函数,指数大于零为增函数; 又 f(﹣x)=f(x)所以是奇函数. 故选 C 点评: 本题主要考查一些基本函数的单调性和奇偶性,要作为结论记牢并灵活运用.
0.5

5. (5 分)已知 a=3 ,b=log3 ,c=log32,则() A.a>c>b B.a>b>c C.c>a>b D.b>a>c

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用对数函数的单调性即可得出. 解答: 解:∵a=3 >1,b=log3 <0,0<c=log32<1, ∴a>c>b. 故选:A. 点评: 本题考查了对数函数的单调性,属于基础题. 6. (5 分)若 a,b,c 成等比数列,则函数 y=ax +bx+c 的零点个数为() A.0 B. 1 C. 2 D.以上都不对
2 0.5

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 2 2 分析: 根据等比中项的性质得 b =ac>0,再判断出方程 ax +bx+c=0 的判别式△ =b ﹣4ac= ﹣3ac<0,即可得到结论. 2 解答: 解:因为 a,b,c 成等比数列,所以 b =ac>0, 2 2 则方程 ax +bx+c=0 的判别式△ =b ﹣4ac=﹣3ac<0, 所以此方程没有实数根, 2 即函数 y=ax +bx+c 的零点个数为 0 个, 故选:A. 点评: 本题考查等比中项的性质,函数的零点与方程的根的关系,注意判断式子的符号.

7. (5 分)已知函数 f(x)=

,则 f[f( )]=()

A.

B. 2

C. 4

D.8

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据对数的运算法则可求出 f[f( )]的值,从而可将 f(f(4) )从内向外去除括号, 求出所求. 解答: 解:由题意可得:函数 f(x)= ,

所以 f( )=log2 =﹣1 ∴f(﹣1)=2 = , 故选 A. 点评: 本题主要考查了函数求值,解决此类问题的关键是熟练掌握对数的有关公式,并且 加以正确的运算,属于基础题.
﹣1

8. (5 分)函数 f(x)= A.(0,3) B.(0,3]

的定义域为() C.(3,+∞) D.[3,+∞)

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由条件利用对数函数的单调性和特殊点,解对数不等式求的 x 的范围. 解答: 解: 由于函数 f (x) = , 可得 log3x﹣1>0, 即 log3x>log33, 解得 x ,

故选:C. 点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,对数不等式的解法,属于基础题. 9. (5 分)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)+f(x)=0,且 f(x+1)=f(1﹣x) ,若 f (1)=5,则 f=() A.5 B . ﹣5 C. 0 D.3 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意求出函数的周期,转化 f 为已知函数定义域内的自变量,然后求值. 解答: 解:∵定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(﹣x)+f(x)=0, ∴f(﹣x)=﹣f(x) , ∵f(x+1)=f(1﹣x) , ∴f(x+2)=f[(x+1)+1]=f[1﹣(x+1)]=f(﹣x)=﹣f(x) , 即 f(x+2)=﹣f(x) , f(x+4)=﹣f(x+2) , ∴f(x+4)=f(x) , ∴函数的周期为 4, ∴f=f(4×504﹣1)=f(﹣1)=﹣f(1) , ∵f(1)=5, ∴f=﹣5. 故选:B. 点评: 本题考查函数的奇偶性、周期性的应用,函数值的求法,考查计算能力.本题难度 不大,属于基础题. 10. (5 分)函数 y=4 +2 +1 的值域为() A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞)
x x+1

D.(﹣∞,+∞)

考点: 函数的值域;二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=2 >0,可得 y=(t+1) ,再根据根据 t+1∈(1,+∞) ,利用二次函数的性质求 得 y 的值域. x 2 2 解答: 解:令 t=2 >0,可得 y=t +2t+1=(t+1) , 2 根据 t+1∈(1,+∞) ,可得(t+1) >1,即 y>1, 故选:B. 点评: 本题主要考查指数函数的值域,二次函数的性质,体现了转化的数学思想,属于基 础题. 11. (5 分)若 f(x)为定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x) ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x +1, 则当 x∈[3,5]时,f(x)=() 2 2 2 2 A.(x+3) +1 B.(x﹣3) +1 C.(x﹣4) +1 D.(x﹣5) +1 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.
2 x 2

分析: f(x)是个周期为 2 的周期函数,且是个偶函数,先求当 x∈[﹣1,0]时, f(x)的 表达式;再求当 x∈[3,5]时的表达式. 解答: 解:由题意知,函数 y=f(x)是周期为 2 的周期函数,且是偶函数, ∴f(x)=f(﹣x) 2 ∵当 x∈[0,1]时,f(x)=x +1, 2 2 当 x∈[﹣1,0]时,f(x)=f(﹣x)=(﹣x) +1)=x +1, 2 ∴当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=x +1, 当 x∈[3,5]时,x﹣4∈[﹣1,1] 2 ∴f(x)=f(x﹣4)=(x﹣4) +1, 故选:D. 点评: 本题考查的知识点是函数的奇偶性和函数的周期性,其中根据函数的奇偶性,求出 函数的解析式是解答的关键. 12. (5 分)已知函数 f(x)=|x ﹣4x+3|,若方程[f(x)] +bf(x)+c=0 恰有七个不相同的实 根,则实数 b 的取值范围是() A.(﹣2,0) B.(﹣2,﹣1) C.(0,1) D.(0,2) 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 画出 f(x)的图象,根据方程[f(x)] +bf(x)+c=0 恰有七个不相同的实根,可判 2 断方程[f(x)] +bf(x)+c=0 恰有七个不相同的实根,再运用根的存在性定理可判断答案. 解答: 解:
2 2

f(1)=f(3)=0,f(2)=1, f(x)≥0, 2 ∵若方程[f(x)] +bf(x)+c=0 恰有七个不相同的实根, 2 ∴t +bt+c=0,其中一个根为 1,另一个根在(0,1)内,

∴g(t)=t +bt+c, g(1)=1+b+c=0,g(﹣ )<0,0 <1,g(0)=c>0 方程[f(x)] +bf(x)+c=0 恰有
2

2

七个不相同的实根 ∴c=﹣1﹣b>0,b≠﹣2,﹣2<b<0, 即 b 的范围为: (﹣2,﹣1) 故选:B 点评: 本题考查了函数的性质,图形,方程的根的分布问题,属于难题. 二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡的指定位置. 13. (5 分)f(x)= 的单调递增区间为(﹣∞,1) .

考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 t=x ﹣2x﹣3,则 f(x)= 数的性质可得二次函数 t 的减区间. 解答: 解:令 t=x ﹣2x﹣3,则 f(x)=
2 2

,本题即求二次函数 t 的减区间,再利用二次函

,故本题即求二次函数 t 的减区间,

再利用二次函数的性质可得二次函数 t 的减区间为(﹣∞,1) , 故答案为: (﹣∞,1) . 点评: 本题主要考查复合函数的单调性,指数函数、二次函数的性质,体现了转化的数学 思想,属于基础题.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

+3(a>0 且 a≠1) ,若 f(1)=4,则 f(﹣1)=0.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 f(1)= +3=4,解得 a=3,由此能求出 f(﹣1) .

解答: 解:∵函数 f(x)=

+3, (a>0 且 a≠1) ,f(1)=4,

∴f(1)= ∴

+3=4,

=1,解得 a=3,

∴f(﹣1)=

+3

= = +3=0.

故答案为:0. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用.

15. (5 分)直线 ρcosθ﹣ρsinθ+a=0 与圆 的取值范围是[3﹣3 ,3+3 ].

(θ 为参数)有公共点,则实数 a

考点: 圆的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程,根据圆心到直线的距离小于或等于半 径求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:直线 ρcosθ﹣ρsinθ+a=0,即 x﹣y+a=0, 圆 (θ 为参数)化为直角坐标方程为 (x+1) +(y﹣2) =9,表示以(﹣1,
2 2

2)为圆心、半径等于 3 的圆. 由直线和圆相交可得圆心到直线的距离小于或等于半径,即 3 a≤3+3 , ≤3,求得 3﹣

故答案为: . 点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离 公式的应用,直线和圆的位置关系,属于基础题.

16. (5 分)函数 f(x)=

的零点个数为 2.

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 f(x)=0,得到方程根的个数,就是函数的零点的个数;在 x﹣2+lnx=0 时,转化 为 y=2﹣x 与 y=lnx 的图象的交点个数判断. 解答: 解:令 f(x)=0,得到 解得 x=﹣1;和 ,

令 y=2﹣x 和 y=lnx,在同一个坐标系中画出它们的图象,观察交点个数,如图

函数 y=2﹣x 和 y=lnx,x>0 时,在同一个坐标系中交点个数是 1 个,所以函数 f(x)的零点 在 x<0 时的零点有一个,在 x>0 时零点有一个,所以 f(x)的零点个数为 2; 故答案为:2. 点评: 本题考查了函数零点与对应方程的根以及函数图象的交点的关系;本题借助于图象 的交点个数以及方程的根的个数判断了函数的零点,是数形结合解题. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤. 17. (12 分)已知数列{an}是首项为 1,公差不为 0 的等差数列,且 a1,a2,a5 成等比数列 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn= ,Sn 是数列{bn}的前 n 项和,求证:Sn< .

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出; (2)利用裂项求和即可得出. 解答: 解: (1)设数列{an}公差为 d,且 d≠0, ∵a1,a2,a5 成等比数列,a1=1 2 ∴(1+d) =1×(1+4d) 解得 d=2, ∴an=2n﹣1. (2)bn= = = ( ﹣ ﹣ ) )= (1﹣ )<

∴Sn=b1+b2+…+bn= (1﹣ )+ ( ﹣ )+…+ (

点评: 熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键.

18. (12 分)某网站针对 2014 年中国好声音歌手 A,B,C 三人进行网上投票,结果如下: 观众年龄 支持 A 支持 B 支持 C 20 岁以下 200 400 800 20 岁以上(含 20 岁) 100 100 400 (1)在所有参与该活动的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,其中有 6 人支持 A,求 n 的值. (2) 在支持 C 的人中, 用分层抽样的方法抽取 6 人作为一个总体, 从这 6 人中任意选取 2 人, 求恰有 1 人在 20 岁以下的概率. 考点: 分层抽样方法;古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)根据分层抽样时,各层的抽样比相等,结合已知构造关于 n 的方程,解方程可 得 n 值. (2)计算出这 6 人中任意选取 2 人的情况总数,及满足恰有 1 人在 20 岁以下的情况数,代入 古典概率概率计算公式,可得答案. 解答: 解: (1)∵利用层抽样的方法抽取 n 个人时,从“支持 A 方案”的人中抽取了 6 人, ∴ = ,

解得 n=40; (2)从“支持 C 方案”的人中,用分层抽样的方法抽取的 6 人中, 年龄在 20 岁以下的有 4 人,分别记为 1,2,3,4,年龄在 20 岁以上(含 20 岁)的有 2 人, 记为 a,b, 则这 6 人中任意选取 2 人,共有 =15 种不同情况,

分别为: (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,a) , (1,b) , (2,3) , (2,4) , (2,a) , (2,b) , (3, 4) , (3,a) , (3,b) , (4,a) , (4,b) , (a,b) , 其中恰好有 1 人在 20 岁以下的事件有: (1,a) , (1,b) , (2,a) , (2,b) , (3,a) , (3,b) , (4,a) , (4,b)共 8 种. 故恰有 1 人在 20 岁以下的概率 P= .

点评: 本题考查的知识点是古典概型概率计算公式,其中熟练掌握利用古典概型概率计算 公式求概率的步骤,是解答的关键. 19. (12 分)如图,在几何体 ABCD﹣A1D1C1 中,四边形 ABCD,A1ADD1,DCC1D1 均为边 长为 1 的正方形. (1)求证:BD1⊥A1C1. (2)求该几何体的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的性质. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)补全四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,得到四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体,证 出 A1C1⊥平面 BDD1;即可证出 BD1⊥A1C1; (2)用正方体的体积减去三棱锥的体积,得出几何体的体积. 解答: 解: (1)证明:连接 AC,补全四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,如图所示; ∵四边形 ABCD,A1ADD1,DCC1D1 均为边长为 1 的正方形, ∴四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 是正方体, ∴DD1⊥平面 ABCD, 又 AC?平面 ABCD,∴DD1⊥AC, ∵AC⊥BD,且 BD∩DD1=D,∴AC⊥平面 BDD1, 又∵AA1∥DD1∥CC1,且 AA1=DD1=CC1, ∴四边形 ACC1A1 是平行四边形, ∴A1C1∥AC, ∴A1C1⊥平面 BDD1; 又∵BD1⊥?平面 BDD1, ∴BD1⊥A1C1; (2)该几何体的体积是 V= ﹣ =1 ﹣ ? ?1 ?1 = .
3 2

点评: 本题考查了空间中的垂直于平行的判断与性质的问题,也考查了求空间几何体的体 积的问题,解题的关键是补全正方体,是中档题.

20. (12 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的离心率为 ,且短轴长为 2

,F1,F2 是

椭圆的左右两个焦点,若直线 l 过 F2,且倾斜角为 45°,交椭圆于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程. (2)求△ ABF1 的周长与面积. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: (1)设出椭圆 C 的标准方程,由短轴长与离心率,结合 a =b +c ,求出 b、a,即得 标准方程; (2)求出直线 AB 的方程,与椭圆的方程组成方程组,利用韦达定理得 ,计算出|y1﹣y2|,求出面积. 解答: 解: (1)∵离心率为 ,且短轴长为 2 ,





解得:



∴椭圆 C 的标准方程为



(2)设△ ABF1 的周长为 l, 则 l=|AB|+||BF1|+|AF1|=|AF2|+|BF2|+|BF1|+|AF1|=4a=8,F2(1,0) , 又∵倾斜角为 45°, ∴l 的方程为:x﹣y﹣1=0,


2



消 x 得 7y +6y﹣9=0, ∴ ∴ ∴设△ ABF1 的面积为 S, ∴S= . , = ,

∴△ABF1 的周长与面积分别为 8;



点评: 本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题,解题时应熟练地掌握圆锥曲线的几何性质, 并能灵活地应用,是基础题.

21. (12 分)已知函数 (1)当 a=0 时,求 f(x)的极值; (2)若 f(x)在区间 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)因为当函数的导数为 0 时,函数有极值,所以当 a=0 时,必须先在定义域中求 函数 f(x)的导数,让导数等于 0,求 x 的值,得到极值点,在列表判断极值点两侧导数的正 负,根据所列表,判断何时有极值. (2)因为当函数为增函数时,导数大于 0,若 f(x)在区间 在区间 上是增函数,则 f(x)

上恒大于 0,所以只需用(1)中所求导数,令导数大于 0,再判断所得不等式 上恒大于 0 即可.

当 a 为何值时,在区间

解答: 解: (1)函数的定义域为(0,+∞) ∵ 当 a=0 时,f(x)=2x﹣lnx,则

∴x,f'(x) ,f(x)的变化情况如下表 x f'(x) f(x) ∴当 (0, ) ﹣ 0 极小值 ( ,+∞) +

时,f(x)的极小值为 1+ln2,函数无极大值.

(2)由已知,得

若 a=0,由 f'(x)>0 得 若 a≠0∵函数 f(x)区间 ∴f'(x)≥0 对

,显然不合题意 是增函数 恒成立,即不等式 ax +2x﹣1≥0 对
2

恒成立



恒成立



而当

,函数

,∴实数 a 的取值范围为 a≥3.

点评: 本题考查了利用导数求函数极值以及函数单调性,属于常规题,必须掌握.

22. (10 分)已知曲线 C 的极坐标方程 ρ=2sinθ,直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,

以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系; (1)求曲线 C 与直线 l 的直角坐标方程. (2)若 M、N 分别为曲线 C 与直线 l 上的两个动点,求|MN|的最小值. 考点: 参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;直线与圆;坐标系和参数方程. 2 2 2 分析: (1) 运用代入法, 即可化直线 l 的方程为普通方程, 运用 x=ρcosθ, y=ρsinθ, x +y =ρ , 即可化曲线 C 为直角坐标方程; (2)通过直线和圆的判定方法:d,r 法,得到直线和圆相离,再由圆心到直线的距离减半径, 即为所求.

解答: 解: (1)直线 l 的参数方程

(t 为参数) ,

化为普通方程为:x﹣y﹣3=0; 2 2 曲线 C 的极坐标方程 ρ=2sinθ,化为直角坐标方程为:x +y =2y, 2 2 即圆 C:x +(y﹣1) =1. (2)圆 C 的圆心为(0,1) ,半径 r=1, 圆心到直线的距离 d= 则 d>r,直线和圆相离, 则|MN|的最小值为 . 点评: 本题考查极坐标方程和直角坐标方程、参数方程和普通方程的互化,考查直线和圆 的位置关系,考查运算能力,属于中档题. =2 ,



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