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河北省张家口市万全中学学高二数学下学期期中试题理-精


万全中学第二次月考数学试卷(理科)
满分 150 分 题号 得分 一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1. i 是虚数单位,若 z=(i+1)i,则|z|等于( A. 2 C. 1 一 二 三 总分

) B.

D. 2. 某数学家观察到: +1=5;
*

+1=17;

+1=257;

+1=65537 于是该

数学家猜想:任何形如

+1(n∈N )都是质数,请判断该数学家的推理方式并对该

结论给出正误判断( ) A. 类 比 推 理 推 理 结 果 正 确 B. 类比推理推理结果错 误 C. 归 纳 推 理 推 理 结 果 正 确 D. 归纳推理推理结果错 误 3. 设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数 f′( x)

的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

1

已知随机变量 X~N(0,σ ) ,且 P(-2≤X≤0)=0.3,则 P(X>2)=( ) 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 给四面体 ABCD 的六条棱分别涂上红,黄,蓝,绿四种颜色中的一种,使得有 公共顶点的棱所涂的颜色互不相同,则不同的涂色方法共有( ) A. 96 B. 144 C. 240 D. 360 2 6. 由曲线 y=x -1,直线 x=0,x=2 和 x 轴围成的封闭图形的面积(如图)可表示 4. A.

2

为(



A. dx



x

2

-1



B. |dx

|



x

2

-1



C. | dx|



x

2

-1



D.

(x -1)dx+

2

(x -1)dx

2

7. 北京某小学组织 6 个年级的学生外出参观包括甲博物馆在内的 6 个博物馆, 每 个年级任选一个博物馆参观,则有 且只有两个年级选择甲博物馆的方案有( ) 2 4 A. A ×A 6 5 种 2 4 B. A ×5 6 种 2 4 C. C ×A 6 5 种 2 4 D. C 6 ×5 8. 已知函数 f(x)= x +lnx,? x 0∈[1,e],使不等式 f(x)≤m,则实数
2
2

m 的取值范围( A. m≥1+

) B. m C. m≥1

D. m≥1+e 9. 在高三(1)班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位 男生.如果 2 位男生不能连续出场,且女生甲不能排在第一个,那么出场顺序的排法种 数为( ) A. 24 B. 3 6 C. 48 D. 60 10. 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x) >2x+4 的解集为( ) A. (-1,+∞) B. (-∞, -1 ) C. ( 2 , +∞) D. (-∞,-2) 11. 若集合 A 1,A 2 满足 A 1∪A 2=A,则称(A 1,A 2)为集合 A 的一个分拆,并 规定:当且仅当 A 1=A 2 时, (A 1,A 2) 与(A 2,A 1)为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={a 1,a 2}的不同分拆种数是( ) A. 8 B. 9 C. 16 D. 18 2 12. 若函数 f(x)=2x ﹣lnx 在其定义域内的一个子区间(k﹣1,k+1)内不是 单调函数,则实数 k 的取值范围是( ) A. [1,+∞) B. [1, ) 2) D. [ C. [1 ,2) ,

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 2 13. 已知(1+i) =a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位) ,则 a+b= ______ . x x x 14. 已知点 A(x 1,a 1) ,B(x 2,a 2)是函数 y=a (a>1)的图象上任意不 同两点,依据图象可知,线段 AB 总是位于 A、B 两点之间函数图象的上方,因此有结论 成立.运用类比思想方法可知,若点 A(x 1,sinx 1) ,B(x 2,sinx )的图象上任 意不同两点,则类似地有 ______ 成立. 2)是函数 y=sinx(x∈(0,π ) -3x 15. 曲线 y=e +1 在点(0,2)处的切线方程为 ______ . 16. 从 1,2,3,4,5,6,7 中任取两个不同的数,事件 A 为“取到的两个数的 和为偶数”,事件 B 为“取到的两个数均为偶数“,则 P(B|A)= ______ . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17.

(本小题满分 10 分)已知 a、 b、 c∈R



,求证:

3

18. 已知 n∈N ,在(x+2) 的展开式中,第二项系数是第三项系数的 . (本 小题满分 12 分) (1)求 n 的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; n 2 n (3)若(x+2) =a 0+a 1(x+1)+a 2(x+1) +?+a n(x+1) ,求 a 0+a 1+?+a n 的值. 2 x 19. 已知函数 f(x)=(x +ax+b)?e ,其中 e 是自然对数的底数.函数 f(x) 在 和 处取得极值. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[-1,2]上的最大值与最小值. 20. 盒子中装有大小相同的 10 只小球,其中 2 只红球,4 只黑球,4 只白球.规 定:一次摸出 3 只球,如果这 3 只球是同色的,就奖励 10 元,否则罚款 2 元. (本小题 满分 12 分) (I)若某人摸一次球,求他获奖励的概率; (II)若有 10 人参加摸球游戏, 每人摸一次, 摸后放回, 记随机变量 ξ 为获奖励的人数, (i)求 P(ξ >1)(ii)求这 10 人所得钱数的期望. (结果用分数表示, 参考数据: ( ) 21. 已知罗坊会议纪念馆对每日参观人数量拥挤等级规定如表: (本小题满分 12 分) 参观人数 量 拥挤等级 0~50 优 3 良 51~100 101~150 151~200 201~300 >300 ) ≈
10

*

n

轻度拥挤 中度拥挤

重度拥挤 严重拥挤

该 纪 念 馆 对

月 份 的 参 观 人 数 量 作 出 如 图 的 统 计 数 据 :

(1)某人 3 月份连续 2 天到该纪念馆参观,求这 2 天他遇到的拥挤等级均为良的概率; (2)从该纪念馆 3 月份参观人数低于 100 人的天数中随机选取 3 天,记这 3 天拥挤等 级为优的天数为 ξ ,求 ξ 的分布列及数学期望.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= 数) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 a=1,函数 g(x)=(x-m)f(x)数,求整数 m 的最大值. e
2x

e -ax(a∈R,e 为自然对数的底

2x

+x +x 在区间(0,+∞)上为增函

2

4

万全中学第二次月考数学试卷 【答案】 1. 6. 11. 13. 14. 15. 16. B 5. B 10. B 2 A 12. B A 7. D 8. B 9. D 2. D 3. C 4. B

3x+y-2=0

17.

而这显然是成立的.

所以

成立.

18. 解: (1)由题得 解得 n=6. (4 分)

, (2 分)

(2)由(1)知,二项式系数最大的值为 . (8 分) ( 3) (10 分) 令 x=0, (11 分) 得 . (12 分)

,为第四项, (6 分)



5

19. 解: (Ⅰ)∵f(x)=(x +ax+b)?e , x 2 x 2 x ∴f'(x)=(2x+a)e +(x +ax+b)e =[x +(2+a)x+(a+b)]e , ∵f(x)在 和 处取得极值,

2

x

∴ ∴a=-3,b= ;



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,函数在[-1,减,

]、[

,2]上单调递增,[-



]上单调递

∵f(-1)= (1+3+

)?e

-1

=

,f(-

)=4

,f(

)=0,f(2)=



∴函数 f(x)在区间[-1,2] 上的最大值为

,最小值为 0.

20.

解:(I)由题意利用古典概型的随机事件的概率公式可得: 服 从



(II)(i) 由 题 意 ξ

, 有二 项分布 及对立 事件 ,则

(ii)设 η 为在一局中的输赢,则 ∴ .



21. 解: (1)记“这 2 天他遇到的拥挤等级均为良”为事件 A, 此人 3 月份连续 2 天到该纪念馆参观的所有结果共有 30 种,其中这 2 天他遇到的拥挤 等级均为良的结果有 4 种: ∴P(A)= = . (2)由题意 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,从该纪念馆 3 月份参观人数低于 100 人的 天数为 16,其中拥挤等级均为优的天为 5,

P (ξ =0) =

=

, P (ξ =1) =

=

, P (ξ =2) =

=

, P (ξ =3)

=

=



∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3
6

P

E(ξ )= +1× +2× +3× = . 2x 22. 解: (Ⅰ)定义域为(-∞,+∞) ,f′(x)=e -a, 当 a≤0 时,f′(x)>0,所以 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数;?(2 分) 当 a>0 时,由 f′(x)=0 得 当 所以 f(x)在 时 f ′(x)>0, 为减函数,在 为增函数.?(4 分) , ,且当 时,f′(x)<0,

(Ⅱ)当 a=1 时, 若 g(x)在区间(0,+∞)上为增函数, 2x 则 g′(x)=(x-m) (e -1)+x+1≥0 在(0,+∞)恒成立, 即 在(0,+∞)恒成立,



,x∈(0,+∞) ;?(6 分)
2x

,x∈

(0,+∞) ;令 L(x)=e

-2x-3,
2

可知 ,L(1)=e -5>0, 2x 又当 x∈(0,+∞)时 L′(x)=2e -2>0, 2x 所以函数 L(x) =e -2x-3 在 x∈(0,+∞)只有一个零点,?(8 分) 设为 a,即 e =2 a+3,且 ; 由上可知当 x∈(0,a)时 L(x)<0,即 h′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时 L(x) >0,即 h′(x)>0, 所以 分)
2a 2a

,x∈(0,+∞) ,有最小值

,?(10

将 e =2a+3 代入上式可得 h (a) = , 又因为 a 由于 m≤h(x)恒成立,所以 m≤h(a) ,又因为 m 为整数, 所以 m≤1,所以整数 m 的最大值为 1.?(12 分)

, 所以 h (a)



7



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