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高中数学人教A版必修1课件:本章整合1



本章整合

-1-

概念:元素、集合、空集、全集 性质:确定性、互异性、无序性 表示法:自然语言表示、字母表示、描述法、列举法、Venn 图、数轴 元素与集合 集合 关系 集合与集合 属于(∈) 不属于(?) 包含( ? ) 真包含(?) 相等( = )

互不包含: ? ,且 ? 交集:? = {|∈,且∈ } 运算 并集:? = {|∈,或∈ } 补集:? = {|∈,且?}

定义:数集中的每个元素在数集 中均有唯一的元素与之对应 三要素:定义域、对应关系、值域 表示法:解析法、列表法、图象法 函数 单调性 性质 最值 增函数:区间内任意 1 < 2 ,总有( 1 ) < (2 ) 减函数:区间内任意 1 < 2 ,总有( 1 ) > (2 )

最大值(0 ):定义域内任意,有 () ≤ (0 ) 最小值(0 ):定义域内任意,有 () ≥ (0 ) 奇函数:定义域内任意,总有(-) = -() 偶函数:定义域内任意,总有(-) = ()

奇偶性

映射:对于集合中的每一个元素,在集合中总有唯一的一个元素与之对应

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题一 判断两个集合间的关系 两个集合间的关系可分类如下:

包含关系 真包含(真子集) 两个集合间的关系 (子集) 相等 互不包含
集合间的基本关系已经渗透到高中数学的各个章节,特别是与函 数、方程、不等式等联系密切.判断两个集合间关系的步骤:(1)首 先化简各个集合,明确所给集合中的元素;(2)依据子集、真子集、 集合相等的定义来确定两个集合间的关系.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用1能正确地表示集合M={-1,0,1}和集合N={x|x2+x=0}之间关 系的Venn图是( )

提示:先化简集合N,再作判断. 解析:由N={x|x2+x=0}={-1,0}, 得N?M,故选B. 答案:B

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用2若集合P={x|y=x2},Q={y|y=x2},则必有 ( ) A.P?Q B.P?Q C.P=Q D.Q?P 提示:与函数y=f(x)有关的集合的含义如下表所示:
集合 {x|y=f(x)} {y|y=f(x)} {(x,y)|y=f(x)} 含义 函数 y=f(x)的定义域 函数 y=f(x)的值域 函数 y=f(x)的图象上的点构成的集合

解析:集合P是函数y=x2的定义域,则集合P=R;集合Q是函数y=x2 的值域,则集合Q={y|y≥0}, 所以Q?P. 答案:D

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题二 集合的运算 集合的运算主要是指求集合的交集、并集和补集等,在进行集合 的运算时,首先要明确元素是什么,全集是什么,保证所有元素都是 全集中的元素.根据所给集合的不同表示形式,常常借助于数轴或 Venn图进行运算.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用1设集合A={x|x<-2,或x≥3},B={x|0≤x≤4,且x∈Z},则(?RA)∩B 等于( ) A.{x|0≤x<3} B.{x|0<x≤3,且x∈Z} C.{0,1,2,3} D.{0,1,2} 解析:∵A={x|x<-2,或x≥3}, ∴?RA={x|-2≤x<3}. 又B={x|0≤x≤4,且x∈Z}, ∴B={0,1,2,3,4}.∴(?RA)∩B={0,1,2}. 答案:D

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 2 已知集合 M={x|y= 1 + },N= = 等于( ) A.{x|x>-1} C.{x|x<-2,或 x≥- 1} 合 N 表示函数 y= M,N,如图所示 , B.{x|x<-2} D.{x|-2<x<-1}

1 -2-

, 则M∪N

解析 :集合 M 表示函数 y= 1 + 的定义域,则 M={x|x≥-1};集
1 的定义域,则 -2-

N={x|x<-2}.用数轴表示集合

所以 M∪N={x|x<-2,或 x≥-1}. 答案 :C

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题三 求函数最值的方法 函数的最值是函数在整个定义域上的性质,是函数的整体性质, 是高考中常见的题型,其常见的求法有直接法、观察法、单调性法、 图象法、换元法等. (一)直接法 求反比例函数、一次函数、二次函数的最值时,常利用这些函数 的性质和图象,直接写出最值,这种求最值的方法称为直接法. 特别地,求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最值时, 通常是画出二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[m,n]上的图象,借助函 数最值的几何意义写出最值,即图象上最高点的纵坐标是函数的最 大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用1函数f(x)=-2x+1在[-2,1]上的最大值是 ,最小值 是 . 解析:函数f(x)=-2x+1在[-2,1]上是减函数,则最大值是f(-2)=5,最 小值是f(1)=-1. 答案:5 -1

应用 2 函数 f(x) = 在[1,4]上的最大值是 是
1 . 2

2

,最小值 f(1)=2,最小

. 解析 :函数 f(x) =
2 在[1,4]上是减函数,则最大值是

值是 f(4) = 答案 :2

1 2

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用3函数f(x)=-x2+2x+2在区间[0,3]上的最小值是 最大值是 . 解析:函数f(x)=-x2+2x+2在区间[0,3]上的图象如图所示,

,

所以f(x)的最小值是f(3)=-1,最大值为f(1)=3. 答案:-1 3

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

当函数的解析式中含有 x2 或|x| 或 时, 通常利用常见的结论

应用 函数 y= ? 2 的最小值是 解析: ∵ ≥0,∴y = ? 2≥-2,

.

∴函数 y= ? 2 的最小值是-2.
答案:-2

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(三)单调性法 若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则函数f(x)在区间[a,b]上的最 大值是f(b),最小值是f(a);若函数f(x)在区间[a,b]上是减函数,则函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值是f(a),最小值是f(b).

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 已知函数 f(x) =

2-1 ,x∈[3,5]. +1

(1)判断 f(x)在区间[3,5]上的单调性,并加以证明; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解 :(1)f(x)在区间 [3,5]上单调递增 .证明如下 : f(x) =
2-1 +1

=

2(+1)-3 = +1 3 1 +1

2?

3 , +1 3 2 +1

任取 x1,x2∈[3,5],且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2) = 2? 2-

3 3 3(1-2) = ? = . 2 + 1 1 + 1 (1 + 1)(2 + 1)

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

∵x1,x 2∈ [3,5], ∴x1+1>0,x2+ 1>0,即 (x1+1)(x2+1)>0. 又 x1<x2,∴x 1-x2<0. ∴f(x1)<f(x2).
2-1 ∴f(x) = +1 在区间[3,5]上单调递增 . 2×3-1 5 (2)由 (1)知 ,f(x)min=f(3) = = ; 3+1 4 2×5-1 3 f(x)max=f(5) = = . 5+1 2

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(四)图象法 利用图象法求函数f(x)最值的步骤: (1)画出函数f(x)的图象; (2)观察图象,找出图象的最高点和最低点; (3)写出最值,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标 是函数的最小值.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用求函数f(x)=x2-2x-3,x∈[-2,2]的最值. 提示:画出函数的图象,确定图象上的最高点和最低点. 解:画出函数f(x)的图象,如图所示.

由于f(-2)=5,f(1)=-4, 观察图象可知函数f(x)的最大值是5,最小值是-4.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

(五)换元法 求形如 f(x)=ax2m+bxm+c(a≠0)或 f(x)=ax+ + + (ab≠0)的 函数的最值时,设 xm=t或 + = , 利用换元法转化为求二次函数的最值问题, 这种求函数最值的方法称为换元法 , 此时要注意换元后的函数定义域的变化情况.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用1求函数y=x4+2x2-2的最小值. 提示:由于x4的指数是x2的指数的2倍,则可利用换元法转化为求 二次函数的最小值. 解:设x2=t,则y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0. ∵函数y=(t+1)2-3在[0,+∞)内是增函数, ∴当t=0时,y取最小值-2. ∴函数y=x4+2x2-2的最小值是-2.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 2 求函数 y=x+ 1-2 ? 1 的最大值 . 提示 :可设 1-2 = , 将原函数转化为二次函数,再求二次函数 的最大值 .
1 解 : 设 1-2 = , 则t≥0,x = (1-t2), 2 1 1 1 1 2 ∴y= 2 (1-t )+t-1= ? 2 2+t? 2 = ? 2 (t-1)2,t≥0.∵函数 1 y=? ( t-1)2 在 [0,1]上是增函数 ,在 [1,+∞)内是减函数 ,∴当 t=1 时 ,y 取 2

最大值 0,即函数 y=x+ 1-2 ? 1 的最大值是0.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题四 函数的单调性 判断或证明函数f(x)的单调性的方法: 1.定义法 用定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是: (1)在所给区间上任取两个变量x1,x2,且x1<x2; (2)比较f(x1)与f(x2)的大小,通常用作差法,先作差,再将差变形,变 形的方法有通分、分解因式等,变形应以能够判断差的符号为目的; (3)归纳结论. 2.图象法 画出函数f(x)的图象,借助图象和函数单调性的几何意义来判断. 此法适用于选择题和填空题.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 已知函数 f(x)=x? + 在( 1,+∞)内是增函数,求实数 a 的 取值范围. 解 :设 x1,x2 是 (1,+∞)内的任意两个实数,且 x1<x2.



2

∵函数 f(x)在 (1,+∞)内是增函数,
∴f(x1)-f(x2)=x1 ? + 2 ? 2 - + 2 1 2 =(x1-x2) 1 + < 0. 1 2 又 x1-x2<0,∴ 1 + > 0, 即a>-x1x2. 1 2

∵1<x1<x2,∴x 1x2>1,-x1x 2<-1. ∴a≥-1,
即 a 的取值范围是 [-1,+∞).

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

专题五 函数的奇偶性 判断函数的奇偶性的方法: 1.定义法 用定义法判断函数奇偶性的步骤:先求函数的定义域,当定义域 不关于原点对称时,此函数既不是奇函数也不是偶函数;当定义域 关于原点对称时,再判断f(-x)与f(x)的关系: (1)当f(-x)=f(x)时,此函数是偶函数; (2)当f(-x)=-f(x)时,此函数是奇函数; (3)当f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)时,此函数既是奇函数也是偶函数; (4)当f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x)时,此函数既不是奇函数也不是偶函数.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

2.图象法 画出函数f(x)的图象,依据下列结论写出函数f(x)的奇偶性:如果函 数f(x)的图象关于原点对称,那么函数f(x)是奇函数;如果函数f(x)的 图象关于y轴对称,那么函数f(x)是偶函数;如果函数f(x)的图象关于 原点和y轴均对称,那么函数f(x)既是奇函数也是偶函数;如果函数f(x) 的图象关于原点和y轴均不对称,那么函数f(x)既不是奇函数也不是 偶函数.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用 1 已知函数 f(x) =

2 +2 是奇函数 , 且f(2) 3+

=

5 , 求实数a,b 3

的值. 提示 :由于函数 f(x)是奇函数 ,则函数 f(x)的定义域关于原点对称, 以此确定 b 的值 ,再利用 f(2) =
5 求得a 3

的值 .
3

解 :∵f(x)是奇函数 ,∴函数 f(x)的定义域 ≠ 关于原点对称,∴b=0. 又 f(2) = , ∴
5 3 4+2 6 5 3

= , 解得a=2.

专题一

专题二

专题三

专题四

专题五

应用2已知定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若 f(1-m)<f(m),求实数m的取值范围. 提示:应用函数f(x)的奇偶性,将变量1-m和m转化到同一个单调区 间[0,2]上,再借助函数的单调性去掉“f”,转化为关于m的不等式组. 解:∵函数f(x)是偶函数,∴f(x)=f(|x|). ∴f(1-m)=f(|1-m|),f(m)=f(|m|).

-2 ≤ 1- ≤ 2, 1 ∴原不等式等价于 -2 ≤ ≤ 2, 解得-1≤m< 2. |1-| > ||.

∴实数 m 的取值范围是 -1, 2 .

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1(2015· 广东高考)若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( A.{0,-1} B.{1} C.{0} D.{-1,1} 解析:因为M,N的公共元素只有1,所以M∩N={1}. 答案:B

)

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2(2015· 四川高考)设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则 A∪B=( ) A.{x|-1<x<3} B.{x|-1<x<1} C.{x|1<x<2} D.{x|2<x<3} 解析:如图所示,把集合A,B在数轴上表示出来.

所以A∪B={x|-1<x<3}. 答案:A

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3(2015· 天津高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},集合 B={1,3,4,6},则集合A∩(?UB)= ( ) A.{3} B.{2,5} C.{1,4,6} D.{2,3,5} 解析:∵?UB={2,5},A={2,3,5},∴A∩(?UB)={2,5}.故选B. 答案:B

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4(2015· 课标全国Ⅱ高考)已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(x1)(x+2)<0},则A∩B=( ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{0,1,2} 解析:∵B={x|-2<x<1},∴A∩B={-1,0}. 答案:A

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5(2015· 课标全国Ⅱ高考)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=( ) A.(-1,3) B.(-1,0) C.(0,2) D.(2,3) 解析:由题意,得A∪B={x|-1<x<3},即A∪B=(-1,3). 答案:A

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6(2015· 课标全国Ⅰ高考)已知集合 A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以 A∩B={8,14}.故选D. 答案:D

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7(2014· 课标全国Ⅰ高考)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇 函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析:由于f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,于是f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x).f(x)g(-x)=-f(x)g(x)=-[f(x)g(x)],因此f(x)g(x)是奇函数,故A错;|f(-x)|g(x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),因此|f(x)|g(x)是偶函数,故B错;f(-x)|g(-x)|=f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|],因此f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确;|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,因此|f(x)g(x)|是偶函数,故D错. 答案:C

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8(2015· 江苏高考)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元 素的个数为 . 解析:A∪B={1,2,3}∪{2,4,5}={1,2,3,4,5},即A∪B中元素的个数是5. 答案:5

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9(2015· 湖南高考)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3},B={1,3,4},则 A∪(?UB)= . 解析:?UB={2},A∪(?UB)={1,2,3}. 答案:{1,2,3}

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10(2015· 课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则 a= . 解析:由题意知f(-1)=4,得-a+2=4, ∴a=-2. 答案:-2

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11(2014· 课标全国Ⅱ高考)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0, 若f(x-1)>0,则x的取值范围是 . 解析:∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴f(x-1)>0可化为f(|x-1|)>f(2). 又f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|x-1|<2,解得-2<x-1<2, 即-1<x<3. 答案:(-1,3)

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12(2014· 课标全国Ⅱ高考)已知偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对 称,f(3)=3,则f(-1)= . 解析:∵f(x)为偶函数, ∴f(-1)=f(1). 又f(x)的图象关于直线x=2对称, ∴f(1)=f(3). ∴f(-1)=3. 答案:3



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