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2013级数学竞赛题中客观型试题的求解策略



数学之魂——仰望夜空
我仰望夜空,有流星划过天际,发出璀 灿夺目的光芒,是那样的绚丽和迷人。 愿我的灵魂能化作那遥远的星空,凝视 着你,凝视着你…… ,用一千双眼睛。 ——高明

赠诸君语 我们的未来不是用我们今天的财 富去度量的,而是用我们今天的精神 生命去度量的。 —— 高明 18990821851

引子1
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br />数学之魂——仰望夜空

泰勒斯誉称“科学 之祖”,古希腊第一位 哲学家。相传,他晚上 走路,头望星空,看出 第二天有雨。但一不小 心,一脚踏空,掉进泥 坑,后被人救起。第二 天果然下了雨。有人讥 笑哲学家知道天上的事 情,却看不见脚下的东 西。

仰 望 夜 空 的 人

。事一人个 情个,民 ,民这族德 这族个只国 个只民有哲 民是族有学 族关才那家 是心有些黑 没眼希关格 有下望注尔 未脚。天说 来下如空, 的的果的一

仰 望 夜 空 的 人

仰望星空
——温家宝

我仰望星空,它是那样寥廓而深邃; 那无穷的真理,让我苦苦地求索追随。 我仰望星空,它是那样庄严而圣洁; 那凛然的正义,让我充满热爱、感到敬畏。 我仰望星空,它是那样自由而宁静; 那博大的胸怀,让我的心灵栖息依偎。 我仰望星空,它是那样壮丽而光辉; 那永恒的炽热,让我心中燃起希望的烈焰、响起春雷。

仰望夜空

仰望夜空——教育发展
国家中长期教育改革和发展规划纲要(20102020年) 对教育的要求决定

第十七章加强教师队伍建设 (五十一)建设高素质教师队伍。教育大计, 教师为本。有好的教师,才有好的教育。提高 教师地位,维护教师权益,改善教师待遇,使 教师成为受人尊重的职业。严格教师资质,提 升教师素质,努力造就一支师德高尚、业务精 湛、结构合理、充满活力的高素质专业化教师 队伍。

(五十三)提高教师业务水平。完善培养培训体 系,做好培养培训规划,优化队伍结构,提高 教师专业水平和教学能力。通过研修培训、学 术交流、项目资助等方式,培养教育教学骨干 、“双师型”教师、学术带头人和校长,造就 一批教学名师和学科领军人才。

引子2
数学境界

“ ”有 境 界 自 成 高 格

做学问的三大境界
在百 灯度 火, 境 阑蓦 界 珊然 三 处回 。首 众 ,里 那寻 人他 却千

不 悔 ,境 为界 伊二 消 得衣 人带 憔渐 悴宽 。终

天碧 涯树 路, 境 。独 界 上一 高 楼昨 ,夜 望西 尽风 凋

学好、教好数学的三个境界
境界1、诗人的意境 ——丰富的想象力和创造力
数学是一首诗,充满想象、智慧、创造、和谐、 挑战;数学是一首最高的诗,蕴含着灵感、激情 与力量。

“一个数学家,如果他不再某种程度上成为一个 诗人,那么他就永远不可能成为一个完美的数学 家。” _______Weiersterass

“数学发明创造的动力不是知识,而是想象 力的发挥”。 _____德.摩根

“想象力比知识更重要,因为知识是有限 的,而想象力概括着世界的一切,推动着进 步,而且是知识进化的源泉”。 ———爱因斯坦

想象是人类最美丽的翅膀
案例1、人类最豪迈的想象——
给我一个支点,我可以撬动地球。 ——阿基米德

法国哲学家 沃尔泰评论 阿基米德说: “Archimed es 头脑中的 想象力要超 过Homer (荷马)。”

案例2 诗词与数学意境 黄 鹤 楼 送 孟 浩 然 之 广 陵

案例3 诗词与数学意境

在陈子昂看来,以他自 己为原点,前不见古人指 时间可以延伸到负无穷大, 后不见来者则意味着未来 的时间是正无穷大。

数学是一首诗, 抽象而又具体; 数学是一幅画, 妙在似与不似之间。

仰 望 夜 空 的 古 代 诗 人

案例4 诗词与数学意境
登鹳雀楼

白日依山尽, 黄河入海流。
欲穷千里目, 更上一层楼。

诗词与数学情境

诗词与数学意境

案例5 诗词与数学意境

只在此山中,云深不知处
只在此山中,云深不知处

抽屉原理:M个苹果放在N个抽 屉里(M>N),那么一定存在 一个抽屉,其中至少有两个苹 果。

案例6 诗词与数学意境

白居易《赋得古原草送别》

离离原上草, 野火烧不尽,

一岁一枯荣。 春风吹又生。

“一岁一枯荣”的函数模型

境界2——创新的精神和意识
“创新是一个民族的灵魂,是国家兴旺发 达的不竭动力,也是一个政党永葆青春 的源泉”。 ——江泽民

案例1 圆的面积

伟大的类比(创新)——开普勒

拆分——组合

案例2 命题“等腰三角形两底角相等”的 证明
常规证明:添加辅助线 创新证明:“一分为二”

案例3 椭圆的面积与切线方程

案例4 丑陋的证明——完美的演绎

案例5(创新型问题)——牛羊同船问题 今有船载有牛37头,羊57只,问船长 年龄多大? 答案:20岁。已具备小学文化水平。 答案:94岁。拉出教室,痛打一顿。

案例6 天上掉下个林妹妹
熟悉知识:完全平方公式

创新看法:

(余弦定理)

境界3——积极参与教学活动(落脚点)
矮做 子行 。动 的 巨 人 , 不 做 语 言 的 “ 探 索 是 数 学 的 生 命 布线 鲁” 纳。 的用 时 间 去的 做时 。间 去 想 , 斯用 泰 纳 按 时 完 成 任 务 、 积 极 思 考 。 参 与 课 后 活 动 、 资 料 收 集 ;

参 与 课 堂 教 学 , 师 生 共 做 ;

2/3

——

——

1/3

中学数学解题研究

?

从教学内容看,普通学科课有较稳定的教学 内容,选择的知识主要是学术理性知识,教 材有严密的、科学的编排体系。而活动课、 研究课的教学内容、选择的知识主要是现实 有用的经验性知识,具有较强的实践性。

?

从施教方式看,普通学科注重的是学生在教师指导 下,以简约的方式学习人类千百年来积累下来的知 识精华,并经过反复练习和巩固。它主要采用班级 授课制,以课堂教学为主,以教师传授知识为主, 教师居于主导地位。而活动课、研究课侧重的是学 生个体实践,直接体验和感受,它的教学组织形式 灵活多样,不受课堂限制(讲练结合)。可以是班 级的,也可以是小组的,个别的和群众性的;可以 在课内,也可以在课外,也可以走向社会。它以学 生的独立自主活动为主,教师起引导作用。

题记—— 更高、更快、更强、更准、更简
数学不是音乐,但它能激发和抚慰情怀; 数学不是绘画,但它令人赏心悦目,神情向往;

数学不是诗歌,但它使人动人心弦,沁人心脾;
数学不是体育,但它具有很强的竞技性和技巧性。

英国大文豪萧 伯纳曾说:“如果 你有一个苹果,我 也有一个苹果,我 们交换的话,我们 都只有一个苹果; 如果你有一种思想, 我也有一种思想, 我们交换的话,我 们都有两种思想。”

何为解题策略?
所谓解题策略,是指主体解题时宏观上采
取的方针、原则和方案.

从方法论上来分析,方法是有层次性的,
解题策略是最高层次的解题方法,是解题中带

有普遍适用性(普适性)的方法.

就解题的本原而言,一切策略 的基本出发点是在于变换和化归。

变换即把面临的 问题转化为一个或几 个易于解答的问题, 通过对转化后的问题 的考察和解决,发现 原问题的解题思路, 最终达到解决原题的 目的。

应用化归方法解题的一般程序
已经解决的或 比较容易解决 的问题 **

待解决或未 解决的问题

转化

问题 *

再转化 直至归结为

解答原问题

解答问题 *

解答问题 **

常用的解题策略主要有:
熟悉化策略 直观化策略 一般化策略 简单化策略 特殊化策略 整体化策略

间接化策略

常用的解题途径 常用的解题 途径与技巧

数学解题研究—— 数学客观型试题的解题口诀
解题口诀:

1、莫道猜字不禁风,合理预测建奇功 无中生有计无穷,合情猜测理相容
2、有穷无穷紧相连,静点美名天下传

3、代数问题几何攻,数形结合两相通
4、强攻无计弱开路,转换视觉目标注 5、特殊探路把门敲,化繁为简层次高

6、结构类型变换多,辅元引入 唱赞歌

7、概念问题不一般,关键环节定义牵

无招胜有招的境界
讲策略的目的是通过具体例题的解答 (招数),体会到解答之外的“剑意”,然 后在这个“剑意”的指挥下随心所欲使出来 的招数都能克敌制胜。 招数是具体的,“剑意”就是具体例 子中所蕴藏的共同点,就是抽象。具体招数 是“有招”,抽象的“剑意”是“无招”, 通过“有招学无招”,再由无招演变出无穷 多招数去解决问题,这就是“无招胜有招”。

1、莫道猜字不禁风,合理预测建奇功 无中生有计无穷,合情猜测理相容 策略一 合理预测法:依据题目中的信息 特征,通过对试题条件及结论的深刻分析, 先进行初步预测结果,再逐步验证,是解决 问题的常用思路。 信息特征:数量特征、结构特征、关系特征、 图形特征、命题特征。

策略一之哲学依据
《道德经》之《道经》第一章 天地之始 道可道,非常道。名可名,非常名。 无,名天地之始也。有,名万物之母。 故常无,欲以观其妙。常有,欲以观其徼。 此两者同出而异名,同谓之玄,玄之又玄, 众妙之门。

《道德经》之《道经》第四十章 虚中生有

反者,道之动。弱者,道之用。 天下万物生于有,有生于无。
译文:发展是道之运动的内在动力,坚 守柔弱是道的运动法则的具体运用。天下 万物是从有中产生,有又从无中产生。

无中生有——合情预测

无中生有是指依据题目的信息特征,通 过对试题条件、结论的深刻分析,先预测其结 论具有某种特殊性,再根据研究对象的特征, 逐步论证,逐步调整。“无”与“有”是相互 矛盾而又相互依存的,“有”蕴涵在“无”中, “无”可以创造出“有”。 “无”孕育着不 见踪影又无法寻觅,从整体到分散,再由分散 聚为整体,包含一切变化。

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无中生有中的“无”指的是“虚”、“假”, 有指的是真和实。“无”是迷惑解题的假象, “有”则是假象掩盖下的真实企图。 无中生有就是虚虚实实,虚实互变,变假为真, 变无为有,掌握解题的主动权。 关键在于真假要有变化,虚实必须结合,一假 到底,难以解题。

例题讲解
例 1、设 x, y, z 为正实数,且满足 x ? y ? z ? 1 , 则 x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 的最小值为 。

例 2、设 x, y, z 为正实数,且满足 x yz ? y zx ? z xy ? 1 , 则 x ? y ? z 的 最小值为 。

例 3、 四面体 P ? ABC 的 6 条棱长的和为 l , 且 ?APB ? ?BPC ? ?CPA ? 900 , 则四面体的体积的最大值是 。

x 2 ? y 2 ? 2( x ? 1)(1 ? y) 例 4、若实数 x, y 满足1 ? cos (2 x ? 3 y ? 1) ? ,则 xy 的 x ? y ?1
2

最小值是



例 5 设 a, b, c 为 正 实 数 , 且 满 足 a ? b ? c ? 1 , 则 (1 ? 为 。

1 1 1 )(1 ? )(1 ? ) 的 最 小 值 a b c

a4 b4 c4 例 6 设 a, b, c 为正实数,且满足 a ? b ? c ? 1 ,则 的最小 ? ? 2 2 2 b(1 ? b ) c(1 ? c ) a(1 ? a )
值为 。

例 7 、 设 a, b, c 为 正 数 , 且 满 足 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8 , 则 abc ? 为 。

9 的最小值 abc

a3 b3 c3 例 8、设 a, b, c 为正数,且满足 abc ? 1 ,则 的 ? ? (1 ? b)(1 ? c) (1 ? c)(1 ? a) (1 ? a)(1 ? b)
最小值为 。

评注 牛顿曾说过:“没有大胆的猜想, 就做不出伟大的发现”。
合理的思维策略是解题成功的前提,根据 研究对象的特征,创造性做出“言之有理” 的预测结果,然后再进行“持之有据”的论 证。在探索解法的过程中发现了矛盾,就及 时修正预测的结果,逐步找出正确的解法。 正所谓“无中生有计无穷,合情预测理相 容”。

练习
题目:半径为 R 的圆的内接三角形面积的最大值为 题目:设正实数 a, b, c 满足 (1 ? a)(1 ? b)(1 ? c) ? 8 , 。

9 则 abc ? 的最小值为 abc



? x1 ? x 2 ? ? ? x 2012 ? 2012 ? 2 2 2 ? x1 ? x 2 ? ? ? x 2012 ? 2012 题目:设实数 x1 , x2 ,?, x2012 满足 ? , ?? ? x 2012 ? x 2012 ? ? ? x 2012 ? 2012 2 2012 ? 1
则 x1
2013

? x2

2013

? ? ? x2012

2013

?



x4 y4 z4 题目: 设实数 x, y , z 都大于 1, 则 的最小值为 ? ? 2 2 2 ( y ? 1) ( z ? 1) ( x ? 1)



x3 y3 z3 题目:设正实数 x, y , z 满足 xyz ? 1 ,则 的最 ? ? (1 ? y)(1 ? z ) (1 ? z )(1 ? x) (1 ? x)(1 ? y)
小值为 。

李白诗《黄鹤楼送孟浩然之广陵》
故人西辞黄鹤楼,烟花三月下扬州。

孤帆远影碧空尽,唯见长江天际流。 “孤帆远影碧空尽”——朋友的身影 渐渐消失在远方,而心中的情谊随着长江 水滚滚流淌。帆影尽而情未尽,言有尽而 意无穷。

杜甫《登高》
风急天高猿啸哀, 渚清沙白鸟飞回。 无边落木萧萧下, 不尽长江滚滚来。

“无边落木”与“滚滚长江” ——实无限和潜无限的数学价值
数学中的无限分为两类: 1、 “潜无限” ,例如,无限数列 a1 , a 2 , a 3 ,?, a n ,?; 2、 “实无限” ,例如,全体自然数,区间 [0,1] 中的全部实数

无边落木萧萧下的意境:实无限

从数学的眼光分析,前句展现的是“实无 限”,“无边落木”是“无限多的所有落木”, 这是一个实无限集合,一览无遗。

不尽长江滚滚来的意境:潜无限

后句则体现“潜无限”,江水“滚滚”而 来,尽管到此为止,还是有限的,却永远不会 停止。

2、有穷无穷紧相连,静点美名天下传
策略二 极端原理法; 通过最大、最小、最 远最近等特殊数量或位置的考察,从而发现问题 的解题思路(特殊引路,探求一般证题规律)

1、 以退为进——投石问路 2、动静结合——破除定势 3、李代桃僵——以小换大

动静结合——破除定势

观察、分析事物不能采用静止、孤 立的思考方法,而应从变化、发展、运动 的观点来剖析和判断。正确处理运动和静 止的辨证关系,巧妙地将动静有机结合, 破除思维定势,将问题的本质展现出来, 起到化难为易,快速解题的效果。

哲学依据 动静之机,阴阳之母。 动静之机,阴阳之母。 阴不离阳,阳不离阴。 阴不离阳,阳不离阴。 阴阳夑理,机在其中。 阴阳夑理,机在其中。 机不可设,设则不中。 机不可设,设则不中。

以退为进——投石问路 所谓以退为进就是把一个比较复杂的问 题,“退”到最简单、最原始的状态,找出 规律,把简单情形作为考察问题的起点,使 问题的解决产生一个质的飞跃,使问题进一 步深化。从“退”中逐渐创造出“进”的解 题条件,以实现“进”的目的。

李代桃僵,以小换大 李代桃僵,以小换大——在解题非常 困难的情况下,用小的代价,换取大的胜利 的策略或谋略。 其精要是隐微曲折,以退 为进;要点是趋利避害“两利相权取其重, 两害相衡取其轻”,以很小的精力,不为小 利影响,要从全局的优劣形势分析对比,争 取主动优势。

以退为进——投石问路
例题讲解
例 1、在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( A、 (
n?2 ? ,? ) n



B、 (

n ?1 ? ,? ) n

C、 (0, )
2

?

D、 (

n ? 2 n ?1 ?, ?) n n

例 2、已知等腰三角形 ?ABC, AB ? 2 ,设 Pi 是底 边 BC 上 任 一 点 , (i ? 1,2,3?100) 记

2 mi ? AP i ? BP i ?P iC ,

则 m1 ? m2 ? ? ? m100 ? (



动静结合——破除定势
例 3、直三棱柱 ABC ? A?B?C ? 的体积为 V,P,Q 分别是侧棱 AA?, CC ? 上的 点,且 AP ? C ?Q ,则四棱锥 B ? APQC 的体积为( A.
1 V 2


1 V 5

B.

1 V 3

C.

1 V 4

D.

例 4、设四面体的四个面的面积分别为 S1 , S 2 , S 3 , S 4 ,它们中的最大者记 为 S ,记 ? ?
S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ,则 ? 的取值范围一定满足 S



以退为进——投石问路
x2 y2 ? 1 上异于长轴 例 5、 设 P 是椭圆 ? 16 9

端点上的任意一点,F1 , F2 分别是其左右 焦 点 , O 为 中 心 。 , 则

2 | PF 1 | ? | PF 2 | ? | OP | ?

例 6 过抛物线 y ? x 2 上的一点 A(1,1) 作抛物线的切线,分别交 x 轴于点 D ,交 y 轴于 点 B ,点 C 在抛物线上,点 E 在线段 AC 上,且满足

AE ? ?1 ,点 F 在线段 BC 上, EC

BF ? ? 2 ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,线段 CD 与 EF 的交于点 P ,当 C 在抛物线上移动 且满足 FC 时,则点 P 的轨迹方程是 。

解析 如图 由题意计算知 D 为 AB 的中点,题目中涉及两个变量 ?1 , ?2 ,考察问题的 特殊情况和极限情况:( 1 )当 ?1 ? ?2 ?

1 AE BF 1 ? ? , EF // AB ,点 P 为 时,则 2 EC FC 2

三角形 ABC 的重心;( 2 )当 ?1 趋近于(等于) 0 , ?2 趋近于(等于) 1 ,或当 ?1 趋 近于(等于) 1 , ?2 趋近于(等于) 0 时,点 P 仍为三角形 ABC 的重心。因此可以得 出结论:点 P 为三角形 ABC 的重心。 对点 P 为三角形 ABC 的重心的证明也比较容易,如图 , 过 A, B 分 别 作 EF 的 平 行 线 交 CD 于 H , N , 则

HP AE NP BF ? ? ?1 , ? ? ?2 , ?1 ? ?2 ? 1 , 故 PC EC PC FC HP NP 2 DP 1 ? ? ? 1 , DP ? PC , 点 P 为 三 角 形 ABC 的 PC PC PC 2 重心。再根据重心的性质求出点 P 的轨迹方程为 1 2 y ? (3 x ? 1) 2 , ( x ? ) 3 3

评注
?

数学家华罗庚曾经指出: 善于“退”,足够地 “退”,退到最原始而又 不失去重要性的地方是学 好数学的一个诀窍。“退” 是将问题由陌生、复杂转 化为熟悉、简单的过程, “退”是手段,“进”是 目的,“退”为“进”服 务,创造解题起点。

练习——以退为进
? x1 ? x2 ? ? ? x2012 ? 2012 ? 2 2 2 ? x1 ? x2 ? ? ? x2012 ? 2012 题目:设实数 x1 , x2 ,?, x2012 满足 ? , ?? ? x 2012 ? x 2012 ? ? ? x 2012 ? 2012 2 2012 ? 1
则 x1
2013

? x2

2013

? ? ? x2012

2013

?



题目 若椭圆 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与抛物线 x 2 ? 2 y 有公共点时,则实数 a 的 取值范围是 。

王维诗《至使塞上》

单车欲问边,属国过居延。
征蓬出汉塞,归雁入胡天。 大漠孤烟直,长河落日圆。 萧关逢侯骑,都护在燕然。

大漠孤烟直

长河落日圆

诗词中包含了数学的美。“大漠”是一 张平面,“孤烟直”是直线的形象,“大漠 孤烟直”恰当地反映了直线与平面垂直的美, “长河落日圆”正是直线与圆位置 关系的生 动画面。
大漠孤烟直,长河落日圆

3、代数问题几何攻,数形结合两相通
策略三 合理构造法;通过观察给定条 件或结论的结构特征,构造解题模型,是竞 赛解题的常用手段,通常合理构造可使问题 巧妙解决。 合理构造法分成两种类型: 1、模型性构造:构造图形、函数、方程、 数列、不等式、复数、向量等模型; 2、技巧性构造:构造对偶式、“抽屉”、 算法。

1、构造图形(几何)模型(数形结合思想)
数形结合是极富特点的信息转换,由代 数信息向图形信息转换 。
华罗庚先生对数形结合的论述:
数与形本是相依, 焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉, 形少数时难入微。 数形结合百般好, 割裂分家万事休。

?

借尸还魂,东山再起
借刀杀人,弥己不足

?

借尸还魂,东山再起 借尸还魂,东山再起——(以形助数, 数上构形)”借尸”的目的在于“还魂”, “借”包含着积极的主动性。寻找可借之 “尸”,创造可以借的机会,变被动为主动, 从而取胜的目的。

借刀杀人,弥己不足
?

?

?

“借刀杀人,弥己不足”——此计是根据《周 易》六十四卦中《损》“损下益上,其通上行” 而得,“损”和“益”,不可截然分开,二 者相辅相成,充满辩证思想。 “借刀杀人”的内容包括:“借形”、“借 数”、“借模式”、“借模型”等方面。 “借刀杀人”,巧在一个“借”字,巧妙利 用它物,借它法解决问题。

乾坤大挪移:由此及彼,应用这一领域的 方法解决另一领域的问题。

乾坤大挪移:代数信息——几何信息

例题讲解
y x

例 1、对所有满足 (x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 6 的所有实数对 ( x, y ) ,则 的最大 值是 。 。

例 2、函数 f ( x) ? x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值是

例 3、如果三个正数 x, y, z 满足
z 2 ? zx ? x 2 ?

x 2 ? xy ? y 2 ?

25 2 , y ? yz ? z 2 ? 36, 4

169 ,则 xy ? yz ? zx 的值为 4



例 4、如果三个正数 x, y, z 满足

y2 y2 x ? xy ? ? 25, ? z 2 ? 9, 3 3
2

z 2 ? zx ? x 2 ? 16,求 xy ? 2 yz ? 3zx 的值是


9 y

例 5、求二元函数 f ( x, y) ? ( x ? y) 2 ? ( 2 ? x 2 ? ) 2 的最小值。

例 6、对实数 x ,求函数 f ( x) ? 8x ? x 2 ? 14x ? x 2 ? 48 的最大值。

例 7、已知 a2 ? b2 ? 2a ?1 ? a2 ? b2 ? 2a ?1 ? 2 2 ,求 a ? b 的取值范围。

例 8、已知 a, b, c, A, B, C ? R ? ,且 a ? A ? b ? B ? c ? C ? k , 求证: aB ? bC ? cA ? k
2

例 9、当 s 和 t 取遍所有实数时,求 (s ? 5 ? 3 | cost |) 2 ? (s ? 2 | sin t |) 2 所能达到的最小值。

评注
?

数学家华罗庚曾经说过:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微。”数形结合的思想方法是 极富创造的信息转化,对数学思维的启发, 对思维的集散,简化证明,起到启美的作用。

练习
题目:若方程 lg kx ? 2 lg( x ? 1) 有一个实数根,那么 k 的取值范围是 。

题目:设 x, y ? R, f ( x, y ) ? 的最小值为 。

x 2 ? 3x ? 3 ? y 2 ? 3 y ? 3 ? x 2 ? 3xy ? y 2

题目 无理方程 2 x ? 121? 11 x ? 4 ? 7 3x 的解为
2 2



题目 函数 y ?

1 1 ? x ? x ? 的最大值与最小值之积为 3 5



例 已 知 a 2 ? b 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? b 2 ? 2a ? 1 ? 2 2 , 则 a ? b 的 取 值 范 围 是 。

例 曲线 y ? 1 ? 4 ? x 2 与直线 y ? k ( x ? 2) ? 4 有两个不同交点时,实数 k 的取值范围是( A. ( , ]
5 3 12 4

) B. [
5 ,?? ) 12

C. ( , ]

1 3 3 4

D. ( , )

5 3 12 4

2、构造方程模型
? x ? ay ? a 2 z ? a 3 ? 0 ? 例 1、设 x, y , z 为实数,满足方程组 ? x ? by ? b 2 z ? b 3 ? 0 ,则 x ? ? x ? cy ? c 2 z ? c 3 ? 0 ?



例 2、设 x, y , z 为正实数,且满足 x ? y ? z ? 1 , 则 xy ? yz ? zx ? 2 xyz 的最大值为 。

例 4、 设 x, y, z 满足 19x 2 ? 99x ? 1 ? 0, y 2 ? 99y ? 19 ? 0, ( xy ? 1) , 则

xy ? 4 x ? 1 ? y



1 1 1 1 例 5、设实数 x, y 满足 x ? y ? z ? a, ? ? ? ,则 ( x ? a)( y ? a)(z ? a) ? x y z a
x y x y ? ? 1 , ? ? 1 ,则 x ? y ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ?4 3 ?6 5 ?4 5 ?6



例 6、设实数 x, y 满足



练习
题目:设实数 a, b, c 满足 a 2 ? bc ? 8a ? 7 ? 0 ,若 b 2 ? c 2 ? bc ? 6a ? 6 ? 0 ,则 a 的 取值范围为 。

题目:设实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 5 , ab ? bc ? ca ? 3 ,则 a 的最大值为



诗词欣赏 王维诗《山居秋暝》
空山新雨后,天气晚来秋。 明月松间照,清泉石上流。

竹喧归浣女,莲动下渔舟。
随意春芳歇,王孙自可留。

题目 设 x, y, z 满足 x ? y ? z ? a, ? ? ? ,则 ( x ? a)( y ? a)(z ? a) ?

1 x

1 y

1 z

1 a



数学的对称与文学的对仗

? ? ? ? ?

明——清(形容词) 月——泉(名词,自然景物) 松——石(名词,自然景物) 间——上(介词) 照——流(动词)

对称思想还表现在日常生 活中,如阴阳、男女、奇偶 和正负。 太 极 阴 阳 图

武道:阴



此长彼消 中庸之道

阳:热情 刚毅 正直 友谊 爱情 太阳 勇敢 阴:寒冷 阴柔 怯懦 孤独 悲伤 武学:攻 防 月亮

进攻中有防守,防守中有进攻 心理学:眼睛长在别人心里(心理战)

军事学:声东击西

以静制动,动中窥静 以柔克刚,刚柔相济

数学:道 数学:教 学

教学结合,师生共做

数学思想:轮换对称

结构对称
数学观念:合作交流 英国大文豪萧伯纳曾说:“如果你有一个 苹果,我也有一个苹果,我们交换的话,我们都 只有一个苹果;如果你有一种思想,我也有一种 思想,我们交换的话,我们都有两种思想。”

3、构造对偶式
例 1、在 ( x ? 2) 2n?1 的展开式中 x 的整数次幂的各项系数之和为

例 2、已知? , ? 是方程 x 2 ? x ? 1 ? 0 的两根,则 ? 4 ? 3? ?



例 3、试求 cos 10 ? cos 50 ? sin 40 sin 80 =
2 0 2 0 0 0

。 。 。 。
0

sin 2 100 ? cos2 400 ? sin 100 cos400 ? cos2 730 ? cos2 470 ? cos730 cos470 ?

sin 2 200 ? cos2 800 ? 3 sin 200 cos800 ?
方法 1:构造对偶式 B ? sin 10 ? sin 50 ? cos40 cos80
2 0 2 0 0

方法 2:构造三角形

Q2 (| Q |? 2) 成 立 的 充 要 条 件 是 一 般 地 : sin A ? cos B ? Q sin A cos B ? 1 ? 4
2 2

sin( A ? B ) ?

Q Q 或 sin( A ? B ) ? ? 2 2

例 4、已知方程 x ? x ? ? 1 ? ,则 x ?

1 x

1 x



a2 b2 c2 ? ? 例 5、已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则 的最小值为 a?b b?c c?a



a3 b3 c3 ? 2 ? 2 例 6、已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1 ,则 2 2 2 a ? ? ab ? b b ? bc ? c c ? ca ? a 2
的最小值为 。

评注
?

构造对偶式是利用事物对立和统一的双重 性,寻找衔接点,架设解题通道,使问题 获解。构造对偶式的方法包括了许多巧妙、 机智;过程简捷、优美,细细品味,享受 快乐,惊叹数学的博大精深,激发对数学 思维的热爱和对数学美的感知。

练习
题目:方程 4 ? 2 3 sin x ? 10 ? 4 3 sin x ? 6 cos x ? 2 的解 x ? 。

题目:方程 x 2 ? 3x ? 7 ? x 2 ? x ? 10 ? 1的解 x ?



题目:求值 sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ?
0 0 0 0

sin 10 ? sin 2 0 ? ? ? sin 440 ? 求值 0 0 0 cos1 ? cos 2 ? ? ? cos 44

题目 已知 x ? 0 , x ?

1 x

? x?

1 ? 1 的最大值为 x



4、构造函数 函数思想的基本内涵: 抓住函数结构特征,构造函数解题模型; 构造函数解题模型,利用函数性质解题。

例题讲解
? ?

3 ? ? x ? sin x ? 2a ? 0 例 1 、 设 实 数 x, y ? [ ? , ], a ? R 且 ? 3 则 cos(x ? 2 y) 的 值 4 4 ? ?4 y ? sin y cos y ? a ? 0



。 。

2013 ? ( (x ? 1) ? ?1 ? x ? 1) ? 2013 例 2、设 x, y ? R 且满足 ? ,则 x ? y 的值为 2013 ? ( (y ? 2) ? 1 ? y ? 2) ? 2003

3 2 ? ? x ? 3x ? 5 x ? 1 例 3、 x, y ? R 且满足 ? 3 则 x ? y 的值是 2 ? ? y ? 3x ? 5 y ? 5



例 4、 求函数 y ? (3x ? 1)( 9 x 2 ? 6 x ? 5 ? 1) ? (2 x ? 3)( 4 x 2 ? 12x ? 13 ? 1) 的图象 与 x 轴的交点的坐标为 。

例 5、设 x, y , z 为正实数,且 x ? y ? z ? 1 ,

3x 2 ? x 3 y 2 ? y 3z 2 ? z 则函数 f ( x, y, z ) ? 的最小值为 ? ? 2 2 2 1? x 1? y 1? z
3t 2 ? t 方法 1:利用结论部分的对称性,构造函数 f (t ) ? 1? t2 t 方法 2:利用结论部分的对称性,构造函数 g (t ) ? 1? t2



例 6、设 ? , ? , ? ? [0,2? ) 且互不相等,满足: 2 cos? (1 ? cos? ) ? 3 sin ? (1 ? sin ? ) ?

2 cos ? (1 ? cos ? ) ? 3 sin ? (1 ? sin ? ) ? 2 cos? (1 ? cos? ) ? 3 sin ? (1 ? sin ? ) =0 , 则 cos? ? cos ? ? cos? 的值形成的集合为


例 7、设 a k ? 0, (k ? 1,2?, n) 且 a1 a 2 ?a n ? 1 ,求证:

a1 ? a 2 ? ? ? a n n 1 。 ? ? n a1 a 2 ? a n ? n n a1 ? a 2 ? ? ? a n a1 a 2 ? a n

练习
题目 设题目 ? , ? 分别是方程 log2 x ? x ? 3 ? 0 , 2 x ? x ? 3 ? 0 的根, 则? ? ? ? 。

题目 方程

2x ? 4x 2 ? 1 x ? 1 ? ( x ? 1) ? 1
2 2 2

? 10( x ?1) 的解为

2



题目 已知 a, b, c, d ? R , a ? b ? c ? d ? 1 ,则 4a ? 1 ? 4b ? 1 ? 4c ? 1 ? 4d ? 1 的最大值为 。

?

5、构造数列、递推式 抛砖引玉,利而诱之 打草惊蛇,诱敌暴露

?

?

?

?

?

?

打草惊蛇,诱敌暴露——“草”与“蛇”是 两个性质不同却相互联系的两个事物。 “草”暴露于外,“蛇”藏于“草”中。 “草”可以迅速向“蛇”传递信息。 发现隐藏规律的一种谋略,应事先研究、 分析、预测,即尝试——观察——归纳— —猜想——证明。 先谋后事,要求事先认真做好仔细的研究、 分析,谋划好策略,在策略谋定之后,果 断实施,在实施中不断完善。 抛砖引玉,利而诱之——“砖”是诱饵

例题讲解

例 1、方程 x 2 ? x ? 1 ? x 2 ? 7 x ? 5 ? 3x ? 2 的解为



例 2、方程 7 x2 ? 9x ?13 ? 7 x2 ? 5x ?13 ? 7 x 的解为



例 3、若实数 a , b 满足 ab ? 4a ? b ? 1 ? 0, (a ? 1) ,则 (a ? 1)(b ? 1) 的最小值为



例 4、方程 x ? 1 ? 3 2 ? x ? 1 的解为 x ?



例 5、函数 y ?

x ? 3 ? 4 ? x 的值域为



例题讲解
?ax ? by ? 3 ? 2 2 ?ax ? by ? 7 5 5 例 1、设实数 a, b, x, y 满足方程组 ? 3 ,则 的值是 ax ? by 3 ?ax ? by ? 16 ?ax4 ? by 4 ? 42 ?



2 2 2 3 3 3 例 2、 已知 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 2, a ? b ? c ? 3 , 则a ? b ? c 的
4 4 4

值是



例 3 有排列成一行的 n(n>1)个方格,用红黄蓝三色染每个方格,每格染一色,要求使任 何相邻的两格不同色,且首尾不同色,则不同的染法有 种。 例 4 已知 n 位数的各数字只能是{1,2,3,4,5}中的元素,则含有数字 5 且 5 的前面不含 3 的 n 位数的个数是 。 例 5 用 1,2,3 三个数字构成 n 位数, 但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中 (例如当 n=5 时,31213 是允许的,11223,31112 是不允许的)则这样的 n 位数有 个。

?

例6 集合{1,2,…n}的子集中,如果不含 相邻的自然数,则称为“好子集”,则好 子集的个数为 。

?

例7 已知n位数的各数字只能是{1,2,3,4} 中的元素,(可以重复或不选)则含有偶 数(0为偶数)个1的n位数个数是 。

练习
?

?

题目 用1,2,3三个数字构成n位数,但不允许 有两个紧挨着的1出现在n位数中(例如当 n=5时,31213是允许的,11223,31112是不 允许的)则这样的n位数有 个。 题目 一个上n个阶梯的楼梯,如果只允许一 步跨一个或两个阶梯,则有 种不同的上 楼梯方式。

6、构造抽屉 解题关键:恰当地构造抽屉 构造方法: 1、构造图形,分割图形法; 2、利用自然数分类法; 3、利用整数的奇偶性; 4、利用集合分类法; 5、染色法

(1)构造图形,分割图形法
例 1. 已知在边长为 1 的等边三角形内(包括边界)有任意五个点(图 1)。证明:至

1 少有两个点之间的距离不大于 。 2

分析: 5 ? 4 ? 1 ? 1 ,构造 4 个抽屉:顺次连接三角形三边中点,即三角形的三条中位

1 线,可以分原等边三角形为 4 个全等的边长为 的小等边三角形,则 5 个点中必有 2 点位 2 1 于同一个小等边三角形中(包括边界),其距离便不大于 。 2

例如“任取 n+1 个正数 ai,满足 0<ai≤1(i=1,2,…,n+1),试证明:这 n+1 个数中必存

1 在两个数,其差的绝对值小于 ”。 n
又如:“在边长为 1 的正方形内任意放置五个点,求证:其中必有两点,这两点之间的

2 距离不大于 。( 5 ? 4 ? 1 ? 1 ,构造 4 个抽屉) 2

例 2、在 3 ? 4 的矩形中,任意放置 6 个点,求证:可找到两个点,使它们的距离不大 于 5。

例 3、在一个圆面上任取 8 个点,证明:在这 8 个点中,必有 2 个点的距离不大于圆的 半径。

例 4、把 1~10 的自然数摆成一个圆圈,证明:一定存在三个相邻的数,它们的和不小于 17。

x? y 3 例 5、任给 7 个实数,求证:其中必有至少两个数(记为 x,y)满足 0 ? ? 。 1 ? xy 3

例 6、在正三角形(边长为 12)中有 11 个点,求证:必存在两点,其距离不大于 2 3

(2)利用自然数分类法构造抽屉: 数的表示法;模剩余类

例1.从1-100的自然数中,任意取出51个 数,证明其中一定有两个数,它们中的一 个是另一个的整数倍。

分析: 51 ? 50 ? 1 ? 1 ,构造 50 个抽屉,其关键在:其实就在“两个数”,其中一个是另 一个的整数倍。我们要构造“抽屉”,使得每个抽屉里任取两个数,都有一个是另一个的整数 倍,这只有把公比是正整数的整个等比数列都放进去同一个抽屉才行,这里用得到一个自然 数分类的基本知识:任何一个正整数都可以表示成一个奇数与 2 的方幂的积。

证明: 因为任何一个正整数都能表示成一个奇数乘 2 的方幂, 并且这种表示方法是唯一 的,所以我们可把 1-100 的正整数分成如下 50 个抽屉(因为 1-100 中共有 50 个奇数): (1){1,1×2,1× 22,1× 23,1× 24,1×25,1× 26}; (2){3,3×2,3× 22,3× 23,3× 24,3×25}; (3){5,5×2,5× 22,5× 23,5× 24}; (4){7,7×2,7× 22,7× 23}; (5){9,9×2,9× 22,9× 23}; (6){11,11× 2,11× 22,11×23}; (25){49,49×2}; (26){51}; …… (50){99}。 这样,1-100 的正整数就无重复,无遗漏地放进这 50 个抽屉内了。从这 100 个数中任 取 51 个数,也即从这 50 个抽屉内任取 51 个数,根据抽屉原则,其中必定至少有两个数属 于同一个抽屉,即属于(1)-(25)号中的某一个抽屉,显然,在这 25 个抽屉中的任何同 (一个抽屉内的两个数中,一个是另一个的整数倍。

例2.在任意给出的100个整数中,都可以 找出若干个数来(可以是一个数),它们的 和可被100整除。

分析:关键在:它们的“和”能“被 100 整除”应是做文章的地方。如果把这 100 个数排成 一个数列,用 Sm 记其前 m 项的和,则其可构造 S1,S2,…S100 共 100 个"和"数。对{Sn} 按模 100 的剩余类划分时,分成 100 个集合。 证明:设已知的整数为 a1,a2,…a100 考察数列 a1,a2,…a100 的前 n 项和构成的数列 S1, S2,…S100。 如果 S1,S2,…S100 中有某个数可被 100 整除,则命题得证。否则,即 S1, S2,…S100 均不能被 100 整除,这样,它们被 100 除后余数必是{1,2,…,99}中的元素。 由抽屉原理 I 知,S1,S2,…S100 中必有两个数,它们被 100 除后具有相同的余数。不妨 设这两个数为 Si,Sj(i<j),则 100∣(Sj-Si),即 100∣ 。命题得证。 练习题:有 100 只猴子在吃花生,每只猴子至少吃了 1 粒花生,多者不限。请你证明: 一定有若干只猴子(可以是一只),它们所吃的花生的粒数总和恰好是 100 的倍数。

(3)利用集合分类法构造抽屉
例 1.从前 25 个自然数中任意取出 7 个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个 数中大数不超过小数的 1.5 倍。

证明:把前 25 个自然数分成下面 6 组: 1; ① 2,3; ② 4,5,6; ③ 7,8,9,10; ④ 11,12,13,14,15,16; ⑤ 17,18,19,20,21,22,23,24,25 ⑥ 因为从前 25 个自然数中任意取出 7 个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组 中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的 1.5 倍。 推广: 第 8 个抽屉为: {26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39}; 第 8 个抽屉为:{40,41,42,…,60}; 第 9 个抽屉为:{61,62,63,…,90,91};

例 2 、在 1,2,3 ,? 99 这 99 个正整数中,任意取出 k 个数,使得其中必有两个数

1 b a, b, (a ? b) ,满足 ? ? 2 ,则 k 的最小值为 2 a



练习
题目 设 a, b, c 为正实数,且满足 a ? b ? c ? abc ? 4 ,则 a ? b ? c
2 2 2

的最大值为

题目 设 a, b, c 为正实数,且满足 abc ? 1 ,则 a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca)
2 2 2

的最小值为

7、合理构造——构造不定方程
解题关键:设置未知,建立方程

引理:不定方程 x1 ? x2 ? ? ? xn ? m, (n ? 2, m ? 2, n ? m) 的正整数解的个
n?1 数为 Cm ?1

证明: “用隔板法” 证明, 由 x1 ? 1, x2 ? 1,?xn ? 1 , 将 m 分成 m 个 1, 这 m 个 1 中共有 m ? 1 个空格,插入 n ? 1 块“隔板” ,把 m 个 1 分成 n 个部分,则每一种情况对应不定方程的一
n?1 组正整数解。因此,原不定方程的正整数解的个数为 Cm ?1

引理 2 :不定方程 x1 ? x2 ? ? ? xn ? m, (n ? 2, m ? 2, n ? m) 的非负整数解的个数为
n?1 m ( Cm C ?n?1 m?n?1 )

例题讲解
例1、8个女孩和25个男孩围成一个圈,任 意两个女孩之间至少站2名男孩,则不同的 排法有 种。

例 2、 如果从自然数 1,2,3, ….14 中, 按由小到大的顺序取出 a1 , a2 , a3 , 使之满足 a2 ? a1 ? 3 与 a3 ? a2 ? 3 ,则符合要求的不同取法有 种。

例3、将10个相同的小球装入编号为1,2,3的 盒子内,要求每个盒子的小球的个数不小于 盒子的编号数,则这样的装法有( )种。 A、9 B、12 C、15 D、18

例4、将2012个相同的小球装入10个不同 的盒子内,要求第i个盒子的小球的个数 至少有i个球,则这样的装法有 种。

例5、白子5个、黑子10个排列成一横行,要 求每个白子的右邻必须是黑子,则共有 种 不同的排法。

例6、桌子上有6个空钱包,将12枚硬币放入 这些钱包中,使得最多剩下一个是空的,则 有 种不同的放法。

例 7、如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” ,将所有的“吉祥数” 从小到大的顺序排成一列 a1 , a2 , a3 ?,若 an ? 2005,则 a5 n = 。

例 8、不定方程 2x1 ? x2 ? ? ? x10 ? 3 的非负整数解的个数是



例 9、不定方程 x1 ? x2 ? x3 ? 3x4 ? 3x5 ? 5x6 ? 21的正整数解的个数是



《题西林壁》 横看成岭侧成峰,远近高低各不同。

不识庐山真面目,只缘身在此山中。

4、强攻无计弱开路,转换视觉目标注 策略四 变换视角;在解题过程中,当 思维受到阻碍时,不妨转换到另一个角度、 方法、层面来思考问题。 以“迂”为“直”——变换视觉

明修栈道,暗渡陈仓
反客为主,循序渐进

转变视觉之——哲学依据

《道德经》第五十七章 以正治国 以正治国,以奇用兵,以无事取天下。

《孙子兵法》之《势篇》:“凡战者,以 正合,以奇胜。故善出奇者,无穷如天地, 不竭如江河。终而复始,日月是也;死而 复生,四时是也。声不过五,五声之变, 不可胜听也;色不过五,五色之变,不可 胜观也;味不过五,五声之变,不可胜尝 也。战势不过奇正,奇正之变,不可胜穷 也。

以“迂”为“直”——变换视觉 在解题过程中,当正常的解题思维受 到阻碍时,不妨从不同的角度和不同的途 径去寻找不同的解法,变换视觉,以“迂” 为“直”,正难则反,将问题变成可直接 解答的,收到出奇制胜的效果,增加知识 的纵横面和深广度,又可挖掘知识的内在 联系,达到扩大视野和锻炼思维的作用。

反客为主,循序渐进

反客为主,是处于被主导地位的客,夺 取主导地位,代替原来的主,并把原来的主 放在客的位置上。反客为主最重要的是能掌 握关键性的因素,以积极取代消极,化被动 为主动,将复杂、繁琐的运算简单化,进而 得到问题求解的目的和效果。

明修栈道,暗渡陈仓 明修栈道,暗渡陈仓——采取正面佯攻, 利用固守之机采取行动,乘虚而入,避开正 面交锋,转化问题。以明掩暗,明暗相生。

例题讲解
例 1、若函数 f ( x) ? (2x 5 ? 2x 4 ? 53x 3 ? 57x ? 54)1998 ,则 f (

111 ? 1 )? 2



x 4 ? 6 x 3 ? 2 x 2 ? 18x ? 23 例 2、设 x ? 19 ? 8 3 ,则 的值为 2 x ? 8 x ? 15



2 9 8 例 3、已知 x ? x ? 1 是 ax ? bx ? 1 的因式,则求 a 的值为



例 4、方程 x ? x ? 1 ? x ? 7 x ? 5 ? 3x ? 2 的解为
2 2



例 5、设实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 0, xyz ? 0, 则 x( 的值为 。

1 1 1 1 1 1 ? ) ? y( ? ) ? z( ? ) y z z x x y

例 6 、 设 实 数 x, y 满 足 x 2 ? xy ? y 2 ? 3 , 则 x 2 ? xy ? y 2 的 最 大 值 与 最 小 值 之 积 为 。
3 2

例 7、方程 x ? 2 2 x ? 2 x ? 2 ? 1 ? 0 的解为
2



例 8、已知不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的实数 m 恒成立, 则 x 的取值范围是 。

例9 在锐角三角形ABC中,求证: sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.

恰当分解结论
有些数学题,解题的主要困难来自于结 论的抽象概括、难以直接和条件联系起来. 这时,不妨猜想一下,能否把结论分解为几 个比较简单的部分,以便各个击破,最终解 决原问题.这也是化归思想中的分割法(分 解法)的主要精神.

分割(分解法)化归方法是“化大为小,化
繁为简”转化思想的体现,其基本模式是


分割 问题 问题 问题1 问题2 ……

解答

组合

解答1 解答 解答2 ……

思路1: 如图,利用正弦定理 依次证明sinA>cosB, sinB>cosC,sinC>cosA.

A

C B A1

设?ABC的外接圆半径为 R,依正弦定理,有: BC sin A ? . 2R 作?ABC的外接圆O的直径AA1,并连结A 1C. 则?A 1 ? ?B,在Rt?AA1C中,有 A 1C . 2R 因为?ABC为锐角三角形,所以外 心O必 cosB ? cosA1 ? 在?ABC的内部,有?BAC ? ?A 1 AC. 从而BC ? A 1C. 综上得:sinA ? cosB. 同理有:sinB ? cosC,sinC ? cosA. 三式相加, 得 : sinA ? sinB ? sinC ? cosA ? cosB ? cosC.
C B A1

A

思路2:

利用和差化积依次证明:
sinA+sinB>cosA+cosB, sinB+sinC>cosB+cosC,

sinC+sinA>cosC+cosA .

证法2: A? B A? B sin A ? sin B ? 2 sin cos , 2 2 A? B A? B cos A ? cos B ? 2 cos cos . 2 2 ? A? B ? ? A? B ? ? ? ? ,? ? ? , 4 2 2 4 2 4 A? B A? B A? B ? sin ? cos , cos ? 0. 2 2 2 A? B A? B A? B A? B ? sin cos ? cos cos . 2 2 2 2 即是: sin A ? sin B ? cos A ? cos B. 同理有: sin B ? sin C ? cos B ? cosC , sin C ? sin A ? cosC ? cos A. 三式相加,即得证 .

评注 “奇出于正,无正不能出奇”,正是常 法,奇是变法,奇效出于常规。注重信息的 转化,变换思维方向,多角度思考问题,进 行独创性地组合,优化解题技巧,展现辨证 思维的底蕴和数学智慧的魅力。

练习
x ? y ? k 2x ? y ,则 k 的取值范围是

题目:若不等式



题目:在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边长为 a, b, c ,若角 A, B, C 的大小成等比数列, 且 b ? a ? ac ,则角 B 的大小为
2 2



题目 已知 a, b ? R ,关于 x 的方程 x ? ax ? 2 x ? bx ? 1 ? 0 有一个实根,则
4 3 2

a 2 ? b 2 的最小值为



题目: 3 20 ? 14 2 ? 3 20 ? 14 2 的值为



题目 若 a ?

1 2

2?

1 2 ,则 a 2 ? a 4 ? a ? 1 的值为 ? 8 8
2 2 2 2



题目:设实数 a , b 满足 a ? ab ? b ? 1 ,则 t ? ab ? a ? b 的最大值与最小值之积 为 。

5、特殊探路把门敲,化繁为简层次高

策略五 取特殊值法;通过取特殊值可 以排除某些选项,简化推理及运算过程,利 用一个恰当的特殊值可以取到事半功倍的效 果。
对于一些数学问题,我们往往也可以用此 思想,从特殊的情况出发,取特殊值探讨出问题 的结论,推广到任意情况下,从而达到训练思维 的目的。

特殊化的形式
1、变数字母——数值化;
2、一般图形——“正”规化; 3、特殊数值——代入化(特殊数值、端点 值、极限值)。

例题讲解
例 1、给定正数 p, q, a, b, c 其中 p ? q, 若 p, a, q 为等比数列, p, b, c, q 为等差数列,则 一元二次方程 bx ? 2ax ? c ? 0 满足(
2



A、 无实数根 B、有两个相等实数根 C、有两个相异同号实数根 D、有两个异号实数根

例 2、设 a ? 0, b ? 0 且 a ( a ? 23 b ) ? 3 b ( a ? 63 b ) ,

2a 4 ? a 3b ? 128ab2 ? 64b 3 ? b 4 则 4 的值为 3 2 3 4 a ? 2a b ? 64ab ? 128b ? 2b



例 6、在锐角 ?ABC 中,令 y ? A、 0 ? y ? 1

tan A ? tan B ? tan C ,则( ) sin A ? sin B ? sin C B、 y ? 2 C、 y ? 3 D、 1 ? y ? 2

1 3 例 7、不等式 log2 x ? 1 ? log 1 x ? 2 ? 0 的解集是( 2 2
A、 [2,3) B、 (2,3] C、 [2,4) D、 (2,4]



例 8、不等式 m ? (cos x ? 5)m ? 4 sin x ? 0 对任意实数 x 恒成立,则 m 的取值范围是
2 2 2

A、 0 ? m ? 4

B、 1 ? m ? 4

C、 m ? 4 或 m ? 0

D、 m ? 1 或 m ? 0

9、已知 f ( x) 在 R 上单调递增函数,且对任意实数 x ,有 f ( f ( x)) ? x ,则 f (2009) ?

10 、 在 ?ABC 中 , 已 知 ( 3 sin B ? cos B)( 3 sin C ? cosC) ? 4 cos B cosC , 且

AB ? AC ? 4 ,则 BC 的取值范围是( )
A、 (2,4) B、 (2,4] C、 [2,4) D、 [2,4] )

x 11、若集合 M ? {x | log1 ( x ? 1) ? ?1} , N ? {x | 1 ? 2 ? 4} ,则 M ? N ? (

2

A、 {x | 1 ? x ? 3} B、 {x | 1 ? x ? 2} C、 {x | 0 ? x ? 3}

D、 {x | 0 ? x ? 2}

12、 对任意实数 x ,[ x ] 表示不超过 x 的最大整数, 且满足 [| x 2 ? 1 |] ? 10 的 x 的集合为 ( A、 (?2 3,? 11) C、 (?2 3,? 11] ? [ 11,2 3) B、 [ 11,2 3] D、 [?2 3,? 11] ? [ 11,2 3] )



13、按如图排列的正整数,则第 n 行中各数的和 S n 为(

n 2 (n ? 1) A、 2 n(n ? 1) 2 C、 2
14、关于 x 的不等式 A、 (0,2]

n(n 2 ? 1) B、 2 n3 ? 1 D、 2

x ? 2 ? x ? k 有解,则实数 k 的取值范围是( )
B、 (??,0] C、 (??,0) D、 (??,2]

题目 设 x, y, z 满足 x ? y ? z ? a, ? ? ? ,则 ( x ? a)( y ? a)(z ? a) ?

1 x

1 y

1 z

1 a



题目 等差数列 {a n } 的前 m 项和为 30,前 2 m 项和为 100,则它的前 4 m 项的 和为( A.130 ) B. 210 C. 260 D. 360

1 (2012)5、函数 y ? a ? (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a
x



(2012)12 、 设 函 数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是

公 差 为 )

? 的 等 差 数 列 , 8

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a3 ? (
2

A、 0

B、

1 2 ? 16

C、 ?

1 8

2

D、

13 2 ? 16

练 习
1、 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x ) ? f (1 ? x ) ,则 f (2010 )? 。 2 、 设 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 (0,? ?) 上 的 增 函 数 , 且 对 任 意 的 正 数 x , 都 有

f ( f ( x) ?

1 1 ,则 f (1) ? )? x f ( x)



3 、 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 , 且 对 任 意 的 实 数 x, y , 都 有

f ( f ( x ) ? f ( y )) ? f ( x ) ? y ,则 f (2011 )?



4、函数 f ( x) ? sin2k x ? cos2k x, (k ? N ? ) 的最小值为



5、设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) ,则关于 x 的方程 ( t ? 1)(t ? 2)(t ? 3) ? 0 的所有实数解的
x x x

1 2

2 3

5 6

和为



6、在锐角三角形 ?ABC 中,设 ?A, ?B, ?C 的对边分别 a, b, c ,若

b a ? ? 4 cos C ,则 a b

1 1 ? 的最小值为 tan A tan B



7、13、在 ?ABC 中,sin A ? sin B ? sin C ? sinB sinC ,则 ?A 的取值范围是(
2 2 2



? A、 (0, ] 6

? B、 [ , ? ) 6

? C、 (0, ] 3

? D、 [ , ? ) 3
。 。

8、设锐角 ? 满足 3 41 ? 40cos? ? 4 34 ? 30sin? ? 25 ,则 sin ? ? 9、若 tan x1 tan x 2 ?tan x n ? 1 ,则 sinx1 sinx 2 ?sinx n 的最大值为

10 、数列 {a n } 满足 a1 ? 1, a 2 ? 3 ,且 a n? 2 ?| a n?1 | ?a n ,记 {a n } 得前 n 项和为 S n ,则

S 2012 ?



)? 11、设 a1 , a 2 ,?, a 2011 为正实数, S ? a1 ? a 2 ? ? ? a 2011 ,且 ( S ? 2011

( S ? a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a 2011 a1 ) ? 4( a1 a 2 ? a 2 a 3 ? ? ? a 2011 a1 ) 2 ,则 S ?
1 12、若 n 个正实数 x1 , x 2 ,?, x n 满足 ? x k ? 1,? ? 4 ,则 x1 x2 ? xn ? x k ?1 k ?1 k
n n





n 1 13 、 若 n 个 正 实 数 x1 , x 2 ,?, x n 使 等 式 ? | lg x k | ? ? | lg |?| ? lg x k | 成 立 , 则 xk k ?1 k ?1 k ?1

n

n

x1 , x 2 ,?, x n 的值分别为
14、若实数 x, y 满足 log2 (3x ? y) ? log2 (3x ? y) ? 0 ,则 | 4 x ? y | 的最小值为 。

6、结构类型变换多,辅元引入唱赞歌
策略六 巧设辅助元(换元法);根据 题目条件与结论的结构和内在特征,恰当地 引进辅助元素,往往可以化繁为简,化难为 易。

“围魏救赵,避虚击实” “金蝉脱壳,完璧归赵”

围魏救赵,避虚击实
《孙子兵法.虚实篇》:“兵之法,避虚而击实。” “围魏救赵,避虚击实”是一种简接方法, 直接解答问题比较困难,采取代换、转化的策略, 抓住问题的关键,化难为易,实现问题的解决。 “围”是手段,“救”是目的。“围魏救赵”之 计的核心在于“避实击虚,化难为易”,关键在 于避开困难,抓住和捕捉题目的信息特征,从侧 面出击或绕道进取。

金蝉脱壳,完璧归赵 “金蝉脱壳,完璧归赵”的要点是存形、 完势;关键在于一个“脱”字,“脱”不 是消极思考,盲目丢弃,而是存其形式, 抽其内容,保持问题的不变性。

评注
?

使用此策略应具备一定的条件,需要有转化、 归纳意识,有善于观察题目结构关系的能力, 发现和寻找突破口,抓住题目关键点,采取 避实击虚,以达到化繁为简、化难为易的目 的。

6、结构类型变换多,辅元引入唱赞歌
例 1、设 1995 x 3 ? 1996y 3 ? 1997z 3 , xyz ? 0 且
3

1995 x 2 ? 1996 y 2 ? 1997 z 2 ? 3 1995 ? 3 1996 ? 3 1997 ,则

1 1 1 ? ? ? x y z



例 2、设实数 x, y 满足 4x 2 ? 5xy ? 4 y 2 ? 5, s ? x 2 ? y 2 , 则

1 s min

?

1 s max

?

例 3、设 a, b, c 为正数,则

a b c ? ? 的最小值为 b?c c?a a?b



例 4、设 x, y, z 为正数,且满足 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1,则 S ? 的最小值为 。

xy yz zx ? ? z x y

x2 y2 z2 例 5、设 x, y, z 为不等于 1 的实数,且满足 xyz ? 1 ,则 S ? ? ? 2 2 ( x ? 1) ( y ? 1) ( z ? 1) 2
的最小值为 。

1 1 1 例 6、设 a, b, c 为正实数且 abc ? 1 ,则 H ? 3 ? 3 ? 3 a (b ? c) b (c ? a) c (a ? b)
的最小值为 。

例 7、 (结构——三角角代换法)设 a, b, c 为正数,且满足 a ? b ? c ? abc , 则S ?

1 1? a2

?

1 1 ? b2

?

1 1? c2

的最大值为



a ? 3c 4b 8c ? ? 例 8、设 a, b, c 为正实数,则 a ? 2b ? c a ? b ? 2c a ? b ? 3c
的最小值为 。

例 9、代数式 a 2 ? b 2 ? b 2 ? a 2 的最大值为



例 10、设 x, y ? R ,且 x ? 2 ? y ? 5 ? 6 ,则 x ? 2 y 的取值范围是



例 11、函数 y ? x ? 4 ? 15 ? 3x 的值域是



例 12 设 a, b, c 为正实数,且 abc ? 1 ,则

1 1 1 ? ? 的最小值是 1 ? 2a 1 ? 2b 1 ? 2c



练习
题目:函数 y ? x 2 ? 3x ? 2 ? 2 ? 3x ? x 2 的最大值与最小值之差为 。

1? 1? x2 2? x ? 题目:函数 f ( x) ? 的值域为 2 x 1? 1? x



题目:设 x, y, z 为三个不全为 0 的实数,则

xy ? 2 yz 的最大值为 2 2 2 x ?y ?z



题目:设 a, b, c 为正实数,试确定

a b 9c ? ? 的最小值。 b ? 3c 8c ? 4a 3a ? 2b


题目:函数 y ?

x ? 5 ? 24 ? 3x 的最大值为

题目:函数 y ? x ?

x 2 ? 3x ? 2 的值域为



1? x2 题目:函数 f ( x) ? 的值域为 x?2
题目:函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x 的值域是 题目:函数 y ?



。 。

x ? 2 ? 9 ? 2x 的最大值为

题目 若实数 x, y 满足 log2 (3x ? y) ? log2 (3x ? y) ? 0 , 则 | 4 x ? y | 的最小值为 。

题目 设定义在正实数集上的函数 f ( x) 是增函数, 且对任意的 x ? 0 , f ( x )[ f ( x ) ? 则 f ( x) ? 。

1 ] ? 1, x

题目 在平面直角坐标系中,若方程 m( x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1) ? ( x ? 2 y ? 3) 2 表示 的曲线为椭圆,则 m 的取值范围是 。

题目 设 x, y 为实数, Z1 ? x ? 11 ? yi , Z 2 ? x ? 11 ? yi ,且 | Z1 | ? | Z 2 |? 12 ,令
u ?| 5x ? 6 y ? 30 | ,则 u 的最大值为


x2 y2 题目 椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的长轴的两端点 A, B; C, D 为 AB 同侧的 a b

椭 圆 上 的 两 点 , 且 CD // AB , 则 四 边 形 ABCD 的 面 积 最 大 值 为 。

7、概念问题不一般,关键环节定义牵

策略七 抓住特征,攻其要害 投石问路,以退为进 动静结合,破除定势 收缩分割,围而歼之 新定义、新概念问题: 抓住特例,反复思考, 理解内涵,发散外延

例题讲解
例 1、设 [ x] 表示不超过 x 的最大整数,例[?3.14] ? ?4,[3.14] ? 3

(1)满足 [?1.77x] ? [?1.77]x 的正整数 x 有
1 (2)方程 [3x ? 1] ? 2 x ? 的所有根之和为 2

个。



x2 ? y2 y (3)若实数 x, y 满足 4 x ? 3 y ? 2 x[ 2 ] ? 0 ,则 的值为 x x



例 2、 将一个三位数的三个数字顺序颠倒, 将所得到的数与原数相加, 若和中没有一个数字是偶数,则称这个数为“奇和数” 。那么,所有 的三位数中,奇和数有 个。

例 3、将自然数 N 接写在每一个自然数的后面(例将 2 接写在 35 的 后面得新数 352) ,若所得的新数能被 N 整除,则称 N 为“魔术数” , 在小于 130 的自然数中, “魔术数”一共有多少个?

例 4、如果一个自然数各位数字之和与各位数字之积的和恰好等于这 个自然数,则称这个数为“幸运数” ,则所有“幸运数”之和 为 。

例 5、某学生在将 3.5 7 乘以某正数时,误将 3.5 7 看成是 3.57 ,结果相 差 1.4,则正确的结果为 。

?

?

例 6、一个非负整数的有序对 (m, n) 称为“简单的”是指如果在做 m ? n 时用不着进位,m ? n 称为有序对 (m, n) 的和, 则和为 1942 的 “简单的” 非负整数有序对的个数为 。

例 7、如果自然数 a 的各位数字之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” ,

将所有的“吉祥数”从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 ,? ,若 an ? 2005 ,则
a5 n ?



练习
题目 1 称一个函数是“好函数”当且仅当其满足: ( 1)定义在 R 上, (2)存在 a ? b 使其 在 (??, a), (b,??) 上单调递增, 在 ( a, b) 上单调递减, 则以下函数是 “好函数” 的是 (1) y ? x | x ? 2 | (3) y ? 2x 3 ? 3x 2 ? 6x ? 1 ( 2) y ? x 3 ? x ? 1 ( 4) y ? 2x 7 ? 7 x 4 ? 28x ? 3 。

题目 2 若三位数 abc满足 1 ? a ? b ? c ? 9 ,则称 abc为“上坡数” ,则“上坡数”的个数 为 。

题目 3 若四位数 n 的四个数字中至多有 2 个不同的数字,则称为“简 单四位数” (如 5555 和 3313) ,那么“简单四位数”的个数为 。

题目 4 若一个至少有两位数的正整数除了最左边的数字外, 其余各个 数字都小于其左边的数字时,则称这样的数为“好数” ,则所有这样 的好数的个数有 。

题目 5 一个正整数 n , 若它不含有大于 1 的完全平方数因子, 则称 n 为 “单纯数” , 那么, 在 1,2,3, …., 1000 中, “单纯数”的个数是 。

?

?

瞒天过海——就是实而示之以虚,示假隐真, 出奇制胜。重在攻心,虚实结合,正反交错, 制造有利于解题的形式。此计常常是着眼于 人们在观察处理事情中,由于对某些事情的 习见不疑而自觉不自觉地产生了疏漏和松懈, 故能乘虚而示假隐真,掩盖本质,把握时机, 出奇制胜。关键:暴露内涵条件或隐含条件。 用兵之道,攻心为上,攻城为下;心战为上, 兵战为下;

八、广泛地联想,全面地设想 想象是指在头脑中对已有的表象进行 组合和改造产生新的表象的思维过程。想 象的重要性在于它是创造性思维的重要组 成部分。 想象的特点:具有形象性、概括性、 整体自由行、灵活性和创造性。

马克思高度评价“想象是促进人类发 展的伟大天赋”。 爱因斯坦曾这样谈到:“想象比知识 更重要,因为知识是有限的,而想象概括 着世界的一切,是知识进化的源泉”。

想象的基础——丰富的数学知识和宽 广的认知领域。
从局部特征、局部形式、局部关系着眼 进行联想,开拓思路。

例题讲解
例 1、在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边长为 a, b, c ,若角 A, B, C 的大小成等比数列,且

b 2 ? a 2 ? ac ,则角 B 的大小为



4x 1 2 1000 )? f( ) ??? f ( )? 2、设函数 f ( x) ? x ,则 f ( 1001 1001 1001 4 ?2

1 2 f (1) ? f (2) ? ? ? f (100) ? f ( ) ? f ( ) ? ? 2x 2 2 3、已知 f ( x) ? ,则 的值为 100 1 100 1? x ? f( ) ??? f ( ) ??? f ( ) 2 100 100

2 2 3 ? 2 ? 2 的最大值。 例 4、设 a, b, c 为正实数且 abc ? a ? c ? b , 试确定 p ? 2 a ?1 b ?1 c ?1

例 5、若 a ?

1 2

2?

1 2 ,则 a 2 ? a 4 ? a ? 1 的值为 ? 8 8



例 6、设 x, y , z 为实数, 0 ? x ? y ? z ?

?
2

,试证:

?
2

? 2 sin x cos y ? 2 sin y cos z ? sin 2 x ? sin 2 y ? sin 2 z

例 7、 已知正数 a, b, c, A, B, C 满足 a ? A ? b ? B ? c ? C ? k , 求证: aB ? bC ? cA ? k
2

例 8、设实数 x, y 满足 x(1 ? y ) ? y (1 ? x) ?

1 , 2


3 x(1 ? x) ? y(1 ? y) ? ,则 x ? y ? 4

练习
1 2 100 32 x 题目:设函数 f ( x) ? 2 x ,则 f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? 101 101 101 3 ?3

题目:若 a 2 ? 1 ? 3a, b 2 ? 1 ? 3b ,且 a ? b ,则代数式

1 1 ? a2 b2

的值为



x y z ? ? ? 2 2 2 题目:方程组 ? ? 3(1 ? x ) 4(1 ? y ) 5(1 ? z ) 的实数解为 ? xy ? yz ? zx ? 1 ?





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