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高中数学人教A版必修1课件:函数习题课



函数习题课

-1-

1.能掌握函数的定义、三要素及其表示. 2.会求函数的定义域、值域、最值. 3.能利用函数单调性、奇偶性的定义研究函数的性质. 4.能解决简单的抽象函数问题.

1

2

3

4

1.函数的三要素:定义域、值域、对应关系. 【做一做 1】已知函数 f(x) = 2 + 1, 且x∈[-1, 3], 则函数 f(x) 的值域为 . 解析 :∵-1≤x≤ 3, ∴0≤x2≤3,

∴1≤x2+ 1≤4, ∴1≤ 2 + 1≤2, ∴函数 f(x)的值域为 [1,2].
答案 :[1,2]

1

2

3

4

2.函数的表示:图象法、列表法、解析法. 【做一做2】 已知函数f(x+1)=x,则函数f(x)的图象是(

)

解析:∵f(x+1)=x, ∴f(x+1)=(x+1)-1. ∴f(x)=x-1. ∴f(x)=x-1的图象如图所示.故选C. 答案:C

1

2

3

4

3.一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说 函数f(x)在区间D上是增函数;如果对于定义域I内某个区间D上的 任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数. 【做一做3-1】 下列函数在区间(0,+∞)内为增函数的是( ) A.y=3-x B.y=x2+2x
C.y=-x2+1 D.y=
4

解析:对于B,函数y=x2+2x为二次函数,且图象开口向上,对称轴为 x=-1,故函数y=x2+2x在(0,+∞)内为增函数;A,C,D在(0,+∞)内均为减 函数. 答案:B

1

2

3

4

【做一做 3-2】 已知函数 f(x)=|2x-1|,则函数 f(x)的递减区间 是 . 解析 :∵f(x)=|2x-1|= 2-1, ≥ , -2 + 1, < ,
1 -∞, 2 1 2 1 2

∴f(x)的递减区间是
答案:
1 -∞, 2

.

1

2

3

4

4.一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x), 那么函数f(x)就叫做偶函数. 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数. 【做一做4】 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数.当x<0时,f(x)=x2+2x,则f(1)= . 解析:∵当x<0时,f(x)=-x2+2x, ∴f(-1)=-(-1)2+2×(-1)=-3. 又f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=3. 答案:3

1.利用函数单调性的性质判断函数的单调性 剖析:若函数f(x),g(x)在区间D上具有单调性,则在区间D上具有以 下性质: (1)f(x)与-f(x)具有相反的单调性. (2)f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性. (3)当a>0时,f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a<0时,f(x)与af(x)具 有相反的单调性. 1 (4)当 f(x)恒不等于零时,f(x)与 具有相反的单调性.
()

(5)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,则f(x)+g(x)也是增(减)函数.

2.函数奇偶性的判断方法 剖析:(1)定义法 根据函数奇偶性的定义进行判断,步骤如下: ①判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称. 若不对称,则函数f(x)为非奇非偶函数;若对称,则进行下一步. ②验证.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). ③下结论. 若f(-x)=-f(x),则f(x)为奇函数; 若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数; 若f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),则f(x)为非奇非偶函数;若f(-x)=-f(x),且f(x)=f(x),则f(x)既是奇函数也是偶函数.

(2)图象法 f(x)是奇(偶)函数的条件是f(x)的图象关于原点(y轴)对称. (3)性质法 ①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数; ②奇函数的和、差仍为奇函数; ③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数; ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

求函数的定义域和函数值
4- 的定义域为 +1

【例 1】 (1)函数 f(x) =

;

-2 + 1, < 1, (2)已知函数 f(x ) = 2 若f(x)=3,则 x= . -2, ≥ 1, 4- ≥ 0, 解析 :(1)f(x)有意义时 ,需满足 解得x≤4,且 x ≠- 1,故函数 + 1 ≠ 0, f(x)的定义域为 {x|x≤4,且 x≠- 1}. -2 + 1 = 3, 2 -2 = 3, (2)由已知得 或 < 1 ≥ 1, = -1, = -1 或 = 3, 或 < 1 ≥ 1, 故 x=-1 或 x=3. 解得 答案 :(1){x|x≤4,且 x ≠- 1} (2)-1 或 3

题型一

题型二

题型三

题型四

反思1.求函数的定义域就是求使函数解析式有意义的自变量的 取值集合.如果函数的解析式是由几部分组成,那么它的定义域就 是使各部分有意义的自变量的取值集合的交集. 定义域的表示方法与集合的表示方法相同. 2.对于分段函数的函数值,应采用分类讨论思想即分段进行求解. 各段独立进行,分别讨论求解.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 1】 (1)已知集合 A={x|x≥4},g(x) = 的定义域为B.若 A∩B=?,则实数 a 的取值范围是 (2)已知 f(x) = -3 , ≥ 9, 则 f(7)= (( + 4)), < 9,

1 1-+

; .

解析:(1)根据题意知g(x)的定义域为B={x|x<a+1}. ∵A={x|x≥4},A∩B=?,∴a+1≤4,∴a≤3. (2)f(7)=f(f(11))=f(8)=f(f(12))=f(9)=6. 答案:(1)a≤3 (2)6

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

求函数的值域

【例 2】 (1)函数 f(x)=-x2+4x,x∈[0,3)的值域为 (2)函数 y =
2+1 的值域为 -3

;

.

题型一

题型二

题型三

题型四

解析:(1)(方法1)函数f(x)=-x2+4x为二次函数,图象开口向下,且对 称轴为x=2.故当x∈[0,2]时,f(x)递增;当x∈(2,3)时,f(x)递减,∴当 x∈[0,3)时,f(x)max=f(2)=4,f(x)min=f(0)=0.∴f(x)的值域为[0,4]. (方法2)画出函数f(x)=-x2+4x,x∈[0,3)的图象如图所示,观察图象 可得f(x)的值域为[0,4].

(2)函数 y=

2+1 7 7 可化为y=2 + . ∵ ≠0, -3 -3 -3

∴y≠2,故函数值域为{y|y∈R,且y≠2}.
答案:(1)[0,4] (2){y|y∈R,且y≠2} 反思求函数值域的方法: (1)观察法;(2)图象法;(3)单调性法;(4)不等式的性质.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 已知函数 f(x ) = 的值域为 .

+ ,-1 < < 0,
1 ,0 1+

3 4

≤ ≤ 1,

则函数 f(x)

1 3 3 4 4 4 1 1 时 ,f(x) = 为减函数,故 ≤f(x)≤1. 1+ 2 1 综上 ,原函数 f(x)的值域为 - ,1 . 4 1 答案: - ,1 4

解析 :当-1<x<0时 , ? < + < , 故 ? < (x) < ; 当0≤x≤1

1 4

3 4

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

函数单调性与奇偶性的综合运用

【例3】 已知定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意的x1,x2∈(∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n∈N*时,有( ) A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析:由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0得f(x)在(-∞,0]内为增函数. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,+∞)内为减函数. 又f(-n)=f(n),且0≤n-1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1), 即f(n+1)<f(-n)<f(n-1). 答案:C

题型一

题型二

题型三

题型四

反思函数y=f(x)的奇偶性与其单调性的关系: (1)如果函数y=f(x)是奇函数,那么f(x)在区间(a,b)(0<a<b)和(-b,-a) 上具有“相同”的单调性. (2)如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)在区间(a,b)(0<a<b)和(-b,-a) 上具有“相反”的单调性.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 3】 已知 a<b<0,奇函数 f(x)在 [-b,-a]上单调递减, 且 f(x)>0,那么在 [a,b]上,g(x ) = A.单调递增,且 g(x)>0 B.单调递减 ,且 g(x)<0 C.单调递增 ,且 g(x)<0 D.单调递减,且 g(x)>0 解析 :由已知可得 f(x)在 [a,b]上单调递减 ,且 f(x)<0,故在 [a,b] 上 ,g(x) =
1 单调递增,且 () 1 ( ()

)

g(x)<0.

答案 :C

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

抽象函数问题

【例 4】 已知函数 f(x)的定义域为 [1,2],求函数 y=f(2x+1)的定 义域. 解 :设 2x+1=t,由于函数 y=f(t)的定义域为 [1,2],故 1≤t≤2,即 1≤2x+1≤2,解得 0≤x≤ , 所以函数y=f(2x+1)的定义域为 0, .
1 2 1 2

反思已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域是指满 足不等式a≤g(x)≤b的x的取值集合.一般地,函数f(g(x))的定义域为 [a,b]指的是x∈[a,b],要求f(x)的定义域,就是求x∈[a,b]时g(x)的值域.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练4】 已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x>1时,f(x)>0, 且f(x· y)=f(x)+f(y). (1)求f(1); (2)证明:f(x)在定义域上是增函数.

(1)解 :令 x=y=1,得 f(1)=2f(1),故 f(1)=0. (2)证明 :令 y= 故
1 2 1 1 1 , 得f(1)=f(x)+ 1 1 2 1

= 0,

= ? (x).任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,则 =
2 1

f(x2)-f(x1)=f(x2)+ 由于

.

> 1, 故

> 0,f(x2)>f(x1).

故 f(x)在 (0,+∞)内是增函数 .



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