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陕西省西安市昆仑中学2014届高考数学一轮复习讲义 第69课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理



课题:离散型随机变量的均值与方差、正态分布
考纲要求:① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型 随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题 ;② 利用实际问题的直方图,了解正态 分布曲线及曲线所表示的意义. 教材复习

1. 离散型随机变量分布列的两个性质:任何随机事件发生的概率都满足: 0 ≤ P ( A) ≤1 ,

r />并且不可能事件的概率为 0 ,必然事件的概率为 1 .由此你可以得出离散型随机变量的分 布列都具有下面两个性质: ?1? pi ≥ 0 , i ? 1, 2, ?; ? 2 ? p1 ? p2 ? ? ? 1 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率 的和.即 P(? ≥ xk ) ? P(? ? xk ) ? P(? ? xk ?1 ) ????

2. 数学期望: 一般地,若离散型随机变量ξ 的概率分布为

?
P

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ?

则称 E? ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ?

为 ξ 的数学期望,简称期望

3. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平 4. 平均数、均值:一般地,在有限取值离散型随机变量ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? ?

? pn ,则有 p1 ? p2 ? ? ? pn ? 1 n , E? ? ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ? 1 n ,所以 ? 的数学期望又
称为平均数、均值 .

5. 期望的一个性质:若 ? ? a? ? b ,则 E (a? ? b) ? aE? ? b 6. 方差: 对于离散型随机变量 ? ,如果它所有可能取的值是 x1 , x2 ,?, xn ,?, 且取这些值的概率分别是 p1 , p 2 ,?, p n ,?,那么 , D? = ( x1 ? E? ) 2 ? p1 + ( x2 ? E? ) 2 ? p2 +?+ ( xn ? E? ) 2 ? pn +? 称为随机变量 ? 的均方差,简称为方差,式中的 E? 是随机变量 ? 的期望. 7. 标准差: D? 的算术平方根 D? 叫做随机变量ξ 的标准差,记作 ?? 8. 方差的性质: ?1? D(a? ? b) ? a 2 D? ; ? 2 ? D? ? E? 2 ? ( E? ) 2 . 9. 方差的意义: ?1? 随机变量 ? 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的;

? 2 ? 随机变量 ? 的方差、标准差也是随机变量 ? 的特征数,它们都反映了随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度; ? 3? 标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际
问题中应用更广泛.

10. 二项分布的期望与方差:若 ? 11. 几何分布的期望和方差:
若 g ? k, p? ? q
k ?1

B ? n, p ? ,则 E? ? np , D? ? np ?1 ? p ?
1 1? p , D? ? . p p2

p ,其中 k ? 0,1, 2,?, q ? 1 ? p .则 E? ?

12. 正态分布密度函数:

531

? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

(? ? 0 ) , x ? (??, ??) ,

其中 ? 是圆周率; e 是自然对数的底; x 是随机变量的取值; ? 为正态分布的均值;? 是 正态分布的标准差.正态分布一般记为 N (?, ? 2 ) 。 即若 ?

N ? ? , ? 2 ? ,则 E? ? ? , D? ? ? 2 13. 正态分布 N (?, ? 2 ) 是由均值 ? 和标准差 ? 唯一决定的分布

通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 ,亦见课本中图.

14. 通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对
称.从形态上看,正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线 .

15. 正态曲线的性质:

?1? 曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 ? 2 ? 曲线关于直线 x ? ? 对称 ? 3? 当 x ? ? 时,曲线位于最高点 ;当 x ? ? 时,曲线下降(减函数).并且 ? 4 ? 当 x ? ? 时,曲线上升(增函数)
? 5? ? 一定时,曲线的形状由 ? 确定
当曲线向左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近

,总体分布越分散; ? 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中 ? 越大,曲线越“矮胖”

? 6 ? 正态曲线下的总面积等于1 .即 ???

??

1 e 2?

? x ? ? ?2
2? 2

dx ? 1

16. 标准正态曲线:当 ? ? 0 、 ? ? 1 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示
式是 f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, (? ? ?? ? ? x

) ,其相应的曲线称为标准正态曲线

标准正态总体 N ? 0,1? 在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问
王新敞
奎屯 新疆

题均可转化成标准正态分布的概率问题 典例分析: 考点一 求期望与方差 问题 1. ?1? ( 07 浙江)随机变量 ? 的分布列如右: 其中 a,b,c 成等差数列,若 E? ?

1 ,则 D? 的值是 3
则 E?

?
P

?1 a

0 b

1 c

? 2 ? 设 ? 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,

,则 D? ?
532

?
P

?1 1 2

0

1

1 ? 2q

q2

? 3? ( 07 重庆联考) 随机变量 ? 的分布列如右: 那么 E ? 5? ? 4? 等于
A. 15 B. 11 C. 2.2 D. 2.3

?
P

1 0.4

2 0.3

4 0.3

? 4 ? ( 07 黄岗调研)已知 ? ~ B ? n, p ? , E? ? 8 , D? ? 1.6 ,则 n 与 p 的值分别为
A. 100 和 0.08 B. 20 和 0.4 C. 10 和 0.2 D. 10 和 0.8

? 5? ( 07 天津十校联考)某一离散型随机变量 ? 的概率分布如下表,且 E? ? 1.5 ,
则 a ? b 的值为: A. ?0.1

B. 0

C. 0.1

D. 0.2

?

P ? 6 ? ( 06 四 川 ) 设 离 散 型 随 机 变 量 ? 可 能 取 的 值 为 1, 2,3, 4 , P ?? ? k ? ? ak ? b ( k ? 1, 2,3, 4 ) ,又 ? 的数学期望 E? ? 3 ,则 a ? b ?

0 0.1

1

a

2 b

3 0.1

? 7 ? ( 2013 山东文)

将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分, 7 个剩余分数

的平均分为 91 ,现场做的 9 个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图 中以 x 表示:

8 9

7 4

7 0

1

0

x
36 7

9

1

则 7 个剩余分数的方差为

A.

116 9

B.

C. 36 D.

6 7 7

问题 2.设随机变量 ? 的分布列如右表,求 E? 和 D? .

?
P

1 1 n

2 1 n

3 1 n

? ?

n
1 n

533

问题 3. ( 09 陕西)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用 ? 表示,椐统计,随机变 量 ? 的概率分布如下:

?
p

0

1

2

3

0.1

0.3

2a

a

(Ⅰ)求 a 的值和 ? 的数学期望; (Ⅱ)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响, 求该企业在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

考点二 期望与方差的应用 问题 4. ?1? ( 2011 浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了 个人简历,假定该毕业生得到甲公司面试的概率为

2 ,得到乙公司面试的概率为 p ,且三 3

个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生得到面试得公司个数.若

P( X ? 0) ?

1 ,则随机变量 X 的数学期望 E ( X ) ? 12
534

? 2 ?( 2011 辽宁)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品
种家和品种乙)进行田间试验。选取两大块地,每大块地分成 n 小块地,在总共 2 n 小块 地中,随机选 n 小块地种植品种甲,另外 n 小块地种植品种乙. (Ⅰ)假设 n ? 4 ,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 X ,求 X 的分布列 和数学期望; (Ⅱ)试验时每大块地分成 8 小块,即 n ? 8 ,试验结束后得到品种甲和品种 乙在个小块地上的每公顷产量(单位: kg hm2 )如下表: 品种甲 品种乙 分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应 该种植哪一品种?

403 419

397 403

390 412

404 418

388 408

400 423

412 400

406 413

考点三 正态分布 则 P?0 ? ? ? 2? ?

问题 5. ?1? ( 2011 湖北)已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ?

?

2

?,且 P?? ? 4? ? 0.8 ,

A.

0 .6

B. 0 .4

C . 0 .3

D. 0 .2

则 P( X ? 4) ?

? 2 ? ( 2010 广东)已知随机变量 X 服从正态分布 N (3,1) ,且 P(2 ? X ? 4) ? 0.6826 ,
A. 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D. 0.1585

535

? 3? ( 2012 全国新课标)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1 或元件 2 正常
工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时) 均服从正态分布 N (1000,502 ) , 且各个元件能否正常相互独立, 那么该部件的使用寿命超 过 1000 小时的概率为 元件 1 元件 3 元件 2

课后作业 1. 已知 ? 的分布列为如右表: 则 E? ? , D? ?

?
P

?1 0.5

0 0.3

1 0.2

2. 抛掷一颗骰子,设所得点数为 ? ,则 E? ?

, D? ?

3. 设服从二项分布 B ? n, p ? 的随机变量 ? 的期望和方差分别为 2.4 和 1.44 ,则二项分布的
参数 n, p 的值为

A. n ? 4 , p ? 0.6 B. n ? 6 , p ? 0.4 C. n ? 8 , p ? 0.3 D. n ? 24 , p ? 0.1

走向高考: 1.( 08 上海)已知总体的各个体的值由小到大依次为 2 ,3 ,3 ,7 , a ,b ,12 ,13.7 , 18.3 , 20 ,且总体的中位数为 10.5 . 若要使该总体的方差最小,则 a 、 b 的取值分别是

2. ( 2013 上海)设非零常数 d 是等差数列 x1 , x2 , x3 , 取值 x1 , x2 , x3 , , x19 ,则方差 D? ?

, x19 的公差,随机变量 ? 等可能地

536

3. ( 2011 上海)马老师从课本上抄录一个随机变量

? 的概率分布律如下表请小牛同学计算 ? 的数学期望,
尽管“! ”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,

x P(ε=x)

1 ?

2 !

3 ?

但能肯定这两个“?”处的数值相同。据此,小牛给出了正确答案 E? ?

4. ( 2010 湖北)某射手射击所得环数 ? 的分布列如下: 8 9 10 ? 7
P

x

0.1

0.3

y

已知 ? 的期望 ?? ? ??? ,则 y 的值为

5. ( 06 福建)一个均匀小正方体的 6 个面中,三个面上标以数 0 ,两个面上标以数1 ,一 个面上标以数 2 .将这个小正方体抛掷 2 次,则向上的数之积的数学期望是

6. ( 07 四川文)某商场买来一车苹果,从中随机抽取了 10 个苹果,其重量(单位:克) 分别为:150 , 152 ,153 ,149 ,148 , 146 ,151 ,150 ,152 ,147 ,由此估计这车 B. 149.8 克 C. 149.4 克 D. 147.8 克 苹果单个重量的期望值是 A. 150.2 克

7. ( 2012 上 海 ) 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 104 , x5 ? 105 , 随 机 变 量 ? 1 取 值

x1、x2、x3、x4、x5 的 概 率 均 为

0 .2











?2





x1 ? x 2 x 2 ? x3 x3 ? x 4 x 4 ? x5 x5 ? x1 、 、 、 、 的概率也均为 0 .2 , 若记 D?1、D? 2 分别为 2 2 2 2 2

?1、? 2 的方差,则
C. D?1 ? D? 2

A. D?1 ? D? 2

B. D?1 ? D? 2

D. D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关

537

8. ( 08 湖北)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个 ( n ? 1, 2,3, 4 ).现从袋中任取一球. ? 表示所取球的标号. ?1? 求 ? 的分布列,期望和方差; ? 2 ? 若? ? a? ? b , E? ? 1, D? ? 11 ,试求 a, b 的值.

9. ( 2010 北京)某同学参加 3 门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概 4 率为 ,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 p , q ( p > q ),且不同课程是否 5
取得优秀成绩相互独立。记 ? 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

?
P

0
6 125

1

2

3
24 125

a

b

q 的值; (Ⅰ)求该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率; (Ⅱ)求 p , (Ⅲ)求数学期望 E? .

538

10. ( 2012 全国新课标)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后 以每枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 ?1? 若花店一天购进16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式; ,整理得下表: ? 2 ? 花店记录了100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) 14 15 16 17 18 19 20 日 需
求量 n 频数

10

20

16

16

15

13

10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (Ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝 还是 17 枝?请说明理由.

539



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