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2017版高考数学一轮复习练习2.6对数与对数函数.doc


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分层限时跟踪练(九)
(限时 40 分钟) [基 础 练] 扣教材 练双基 一、选择题 1.(2015· 四川高考)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 )

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 ∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时 loga3<logb3 正确;反之,若 loga3<logb3,则不 1 1 一定得到 3a>3b>3,例如当 a= ,b= 时,loga3<logb3 成立,但推不出 a>b>1.故“3a>3b>3” 2 3 是“loga3<logb3”的充分不必要条件. 【答案】 B 2.函数 y=lg|x-1|的图象是( )

【解析】 由|x-1|>0 得 x≠1,只有 A 正确. 【答案】 A 3.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( 1 A. x 2 1 C.log x 2 B.2x
-2

)

D.log2x

【解析】 由题意知,f(x)=logax,且 f(2)=1,即 loga2=1,∴a=2,∴f(x)=log2x. 【答案】 D 4.(2015· 大理模拟)设函数 f(x)=|logax|(0<a<1)的定义域为[m,n](m<n),值域为[0,1], 1 若 n-m 的最小值为 ,则实数 a 的值为( 3 1 A. 4 2 C. 3 1 2 B. 或 4 3 2 3 D. 或 3 4 )

【解析】 作出 y=|logax|(0<a<1)的大致图象如图,

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1 令|logax|=1,得 x=a 或 , a 1 ? 1-a 又 1-a-? ?a-1?=1-a- a = ?1 -a? ? a -1? <0, a

1 1 2 故 1-a< -1,所以 n-m 的最小值为 1-a= ,a= .故选 C. a 3 3 【答案】 C log x,x>0, ? ? 2 5.设函数 f(x)=? 1 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( log ?-x?,x<0, ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞)
? ?a>0, 【解析】 由题意可得? 或 ?log2a>-log2a ?

)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

a<0, ? ? ? 1 ? ?log2?-a?>log2?-a? . 解得 a>1 或-1<a<0. 【答案】 C 二、填空题 1?-1 5 6.(2015· 安徽高考)lg +2lg 2-? ?2? =________. 2 1?-1 5 【解析】 lg +2lg 2-? ?2? =lg 5-lg 2+2lg 2-2 2 =(lg 5+lg 2)-2=1-2=-1. 【答案】 -1

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7.(2015· 北京高考)2

-3,

1 3 ,log25 三个数中最大的数是________. 2

1 1 1 - 【解析】 因为 2 3= 3= <1,1<3 = 3<2,log25>log24=2,所以三个数中最大的数是 2 8 2 log25. 【答案】 log25 1 0, ?恒成立,则实数 a 的取值范围为____________. 8.若不等式 x2-logax<0 对 x∈? ? 2? 【解析】 由 x2-logax<0 得 x2<logax, 设 f1(x)=x2,f2(x)=logax, 1? 2 要使 x∈? ?0,2?时,不等式 x <logax 恒成立, 1? 只需 f1(x)=x2 在? ?0,2?上的图象在 f2(x)=logax 图象的下方即可. 当 a>1 时,显然不成立; 当 0<a<1 时,如图所示,

1 0, ?上恒成立, 要使 x2<logax 在 x∈? ? 2? 1? ?1?, 需 f1? ≤f 2 ?2? ?2? 1?2 1 1 1 所以有? ?2? ≤loga2,解得 a≥ 16,∴16 ≤a<1. 1 ? 即实数 a 的取值范围是? ?16,1?. 1 ? 【答案】 ? ?16,1? 三、解答题 1 - 9.若 f(x)=2(log2x)2+alog2x 2+b,当 x= 时,取得最小值 1. 2 (1)求 a 和 b 的值; 1 ? (2)求 f(x)在 x∈? ?4,8?上的值域.
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【解】 (1)∵f(x)=2(log2x)2-2alog2x+b(x>0), a a2 1 t- ?2+b- ,∵x= ,即 t=-1 时,f(x)min= 令 t=log2x,则有 f(t)=2t2-2at+b=2? ? 2? 2 2 1,

?2=-1, ∴? a ?b- 2 =1,
2

a

?a=-2, ? ∴? ? ?b=3.

? ?a=-2, (2)∵? ∴f(t)=2(t+1)2+1, ?b=3, ?



1 ≤x≤8,∴-2≤t≤3,∴1≤y≤33. 4

即 f(x)的值域为[1,33]. 10.已知函数 f(x)=loga(x-1),g(x)=loga(6-2x)(a>0 且 a≠1). (1)求函数 φ(x)=f(x)+g(x)的定义域; (2)试确定不等式 f(x)≤g(x)中 x 的取值范围.
? ? ?x-1>0, ?x>1, 【解】 (1)由? 得? ?6-2x>0, ?x<3, ? ?

即 1<x<3. ∴函数 φ(x)的定义域为{x|1<x<3}. (2)不等式 f(x)≤g(x), 即为 loga(x-1)≤loga(6-2x).(*)
?1<x<3, ? ①当 a>1 时,不等式(*)等价于? ? ?x-1≤6-2x.

7 解得 1<x≤ ; 3
? ?1<x<3, ②当 0<a<1 时,不等式(*)等价于? ?x-1≥6-2x. ?

7 解得 ≤x<3. 3 7? 综上,当 a>1 时,不等式 f(x)≤g(x)中 x 的取值范围是? ?1,3?; 7 ? 当 0<a<1 时,不等式 f(x)≤g(x)中 x 的取值范围是? ?3,3?. [能 力 练] 扫盲区 提素能 1. (2015· 全国卷Ⅰ)设函数 y=f(x)的图象与 y=2x a 的图象关于直线 y=-x 对称, 且 f(-


2)+f(-4)=1,则 a=(
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)

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A.-1

B.1

C.2

D.4

【解析】 设(x,y)为 y=f(x)图象上任意一点, 则(-y,-x)在 y=2x a 的图象上,


所以有-x=2

-y+a



从而有-y+a=log2(-x)(指数式与对数式的互化), 所以 y=a-log2(-x), 即 f(x)=a-log2(-x), 所以 f(-2)+f(-4)=(a-log22)+(a-log24)=(a-1)+(a-2)=1,解得 a=2.故选 C. 【答案】 C 2.(2015· 信阳模拟)已知 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函 1 - 数,设 a=f(log47),b=f(log 3),c=f(0.2 0.6),则 a,b,c 的大小关系是( 2 A.c<a<b C.b<c<a B.c<b<a D.a<b<c )

1 【解析】 log 3=-log23=-log49, 2 1 b=f(log 3)=f(-log49)=f(log49), 2 log47<log49,0.2
-0.6

3 5 5 =(5) = 125> 32=2>log49,又 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函 5

数,且在(-∞,0]上是增函数,故 f(x)在[0,+∞)上是单调递减的, ∴f(0.2
-0.6

1 )< f(log 3)<f(log47), 2

即 c<b<a. 故选 B. 【答案】 B 3.(2015· 上海高考)方程 log2(9x 1-5)=log2(3x 1-2)+2 的解为________.
- -

【解析】 依题意 log2(9x 1-5)=log2(4· 3x 1-8),所以 9x 1-5=4· 3x 1-8,
- - - -

令 3x 1=t(t>0),所以 t2-4t+3=0,解得 t=1 或 t=3,


当 t=1 时,3x 1=1,所以 x=1,而 91 1-5<0,所以 x=1 不合题意,舍去;
- -

当 t=3 时,3x 1=3,所以 x=2,92 1-5=4>0,32 1-2=1>0,所以 x=2 满足条件.
- - -

【答案】 2 x2+1 4.(2015· 江西七校联考)关于函数 f(x)=lg (x≠0,x∈R)有下列命题: |x| ①函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称; ②在区间(-∞,0)上,函数 y=f(x)是减函数; ③函数 f(x)的最小值为 lg 2;

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④在区间(1,+∞)上,函数 f(x)是增函数. 其中是真命题的序号为________. 【解析】 ∵函数 f(x)=lg x2+1 (x≠0,x∈R),显然 f(-x)=f(x),即函数 f(x)为偶函数, |x|

x2+1 x2+1 1? 图象关于 y 轴对称,故①正确;当 x>0 时,f(x)=lg =lg =lg? ?x+x?,令 t(x)=x |x| x 1 1 + ,x>0,则 t′(x)=1- 2,可知当 x∈(0,1)时,t′(x)<0,t(x)单调递减,当 x∈(1,+∞)时, x x t′(x)>0,t(x)单调递增,即在 x=1 处取到最小值为 2.由偶函数的图象关于 y 轴对称及复合函 数的单调性可知②错误,③正确,④正确,故答案为①③④. 【答案】 ①③④ 5.已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 【解】 (1)∵f(1)=1, ∴log4(a+5)=1, 因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0,得-1<x<3, 即函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, a>0, ? ? 因此应有?3a-1 ? a = 1, ? 1 解得 a= . 2 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 6.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称的 点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式;

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(2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. 【解】 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点, 则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点, ∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上, ∴-y=loga(-x+1),即 y=g(x)=-loga(1-x). x+1 (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m. 1-x 设 F(x)=loga 1+x ,x∈[0,1), 1-x

由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. ∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0. 故 m 的取值范围为(-∞,0].

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