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第三章复习之导数的意义及运算法则



第三章复习之导数的意义及运算法则
山东 史纪卿

1.变化率问题 (1)平均变化率:对于函数 f ( x) ,把式子 化率. ①物理意义:气球平均膨胀、平均速度、平均增长率等; ②几何意义:连结两点 ( x1,f ( x1 )) 及 ( x2,f ( x2 )) 的割线的斜率. 2.导数 瞬时变化率 lim ?
?x ??

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 称为 f ( x) 从 x1 到 x 2 的平均变 ?x x2 ? x1

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f 称为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 ? lim ? x ?? ?x ?x

f ?( x0 ) .

导数变形 lim

x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) ?f ? lim ? f ?( x0 ) . ?x ? 0 ?x x ? x0

①定义理解:当 ?x 趋势近于 0 时,

?f 趋于一个定值,即 f ?( x0 ) ; ?x

②物理意义:导数可以描述任何物体的瞬时变化率、瞬时速度、瞬时膨胀率、效率、增长率 等; ③几何意义: f ?( x0 ) 表示了曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0,f ( x0 )) 处的切线的斜率.
, 3) 处的切线方程是 例 1 曲线 y ? x3 ? x ? 1 在点 (1



解:切线的斜率 k ? y?|x ?1 ? 3 ? 12 ? 1 ? 4 , 切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 . 例 2 曲线 y ? x3 在点 P(a,a3 ) 处的切线与 x 轴、直线 x ? a 所围成的三角形的面积为

1 ,则 6

a?



解:画出符合条件的图象如右图, 切线 PQ 的斜率为 k ? y?|x ?a ? 3a2 . 切线 PQ 的方程为 y ? a3 ? 3a2 ( x ? a) .
? 2a ? 0? . 令 y ? 0 ,得 Q 点坐标为 ? , ? 3 ? 1 2a 3 1 a ? , 因此,围成的三角形的面积为 a ? 2 3 6

即 a 4 ? 1 ,解得 a ? ?1 . 评注:根据导数的几何意义,画出符合条件的图形是解题的关键.

3.导函数(导数) 对于函数 y ? f ( x) ,当 x 在某区间上变化时,得到的 f ?( x) ,称 f ?( x) 为其在这个区间上的导 函数(导数) ,即 f ?( x) ? y? ? lim 4.导数的公式及运算法则 要熟记基本初等函数的导数公式及运算法则,导数的运算有两种方法. ①定义法求导;②运用公式求导. 例 3 对于函数 f ( x) ,已知 f (3) ? 2,f ?(3) ? ?2 ,求 lim 解: lim
x ?3 ?x ?0

?f f ( x ? ?x) ? f ( x) . ? lim ?x ?x?0 ?x

2x ? 3 f ( x) 的值. x ?3 x ?3

2x ? 3 f ( x) 2( x ? 3) ?3( f ( x) ? 2) ? lim ? lim x ? 3 x ? 3 x ?3 x ?3 x ?3

f ( x) ? f (3) ? 2 ? 3 f ?(3) ? 2 ? 3 ? (?2) ? 8 . x ?3 f ( x) ? f ( x0 ) f ( x) ? f (3) 评注:根据导数在点 x ? x0 的变形公式 f ?( x) ? lim ,凑出 lim ? f ?(3) x ? x0 x ?3 x ? x0 x ?3 ? 2 ? 3lim
x ?3

是解题的关键.



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