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2013-2014高三数学周末练习5



杭州二中 2013 届高三周末练习 5
一、选择题 1.已知 A ? x x 2 ? 5x ? 6 ? 0, x ? R , B ? y y ? ? x 2 ? 2 x ? 15 ,

?

?

?

?

C ? ? x a ? x ? a ? 1, x ? R? ,

若 ? A ? B ? ? C ? ? 成立,则实数 a 的取值范围是( )
A. a ? 4 C. B. D.

a ? ?4 a ? 4 或 a ? ? 4 或 ?2 ? a ? ?1


a ? 4 或 a ? ?4
3

2.满足 i ? z ? 1 ? 3i 的复数 z 的共轭复数是( A. ?3 ? i B. ?3 ? i C. 3 ? i

D. 3 ? i )

3.已知 2 sin ? tan? ? 3 ,则 sin 4 ? ? cos4 ? 的值( A.-7 B. ?

3 1 D. 4 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? AB AC AB AC 1 ? ? ???? ) ? BC ? 0 且 ??? ? ? ???? ? 4.在△ABC 中,已知向量 AB与 AC满足( ??? | AB | | AC | | AB | | AC | 2
C. 则△ABC 为 ( ) A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角 D.等边三角形 5.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD 的垂线,垂 足为点 H.则以下命题( ) 中,错误 的命题是 .. A.点 H 是△A1BD 的垂心 B.AH 垂直平面 CB1D1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° 6.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 为椭圆 此椭圆离心率的取值范围是( A. [

1 2

x2 y2 ? 2 ? 1 的两个焦点,P 为椭圆上 PF1 ? PF2 ? c 2 ,则 2 a b

)

3 ,1) 3

B. [ , ]

1 1 3 2

C. [

3 2 , ] 3 2

D. (0,

2 ] 2

7.把编号为 1,2,3,4,5 的五个球全部放入编号为 1,2,3 的三个盒子中,每个盒子中至少放 一个球,且编号为 1,2 的两个球不能放入同一个盒子中,则不同放法的总数是( ) A.144 B.114 C.108 D.78 8.如图,半圆的直径 AB ? 4 , O 为圆心, C 为半圆上不同于 A、B 的任意一 点 , 若 P 为 半径 OC 上 的 动 点, 则 PA ? PB ?PC

?

??? ? ??? ? ??? ?

?

的 最 小值 等 于 (

)

A. 2

B. ? 2

C. ? 1

D. 0

? 1 ,x ?1 ? 2 9. 已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ? | x ? 1| , 若关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 ?1, x ? 1 ?
3 个不同的实根 x1 , x2 , x3 ,则 x12 ? x2 2 ? x32 等于( )

A. 5

2b 2 ? 2 B. b2

C. 13

3c 2 ? 2 D. c2

10.若函数 f ( x) ? log a x 3 ? ax 范围是( A.[ ) B.[

?

,0)内单调递增,则 a 取值 ? ? a ? 0, a ? 1? 在区间 (? 1 2
9 C. ( , ??) 4

1 ,1) 4

3 ,1) 4

D.(1,

9 ) 4

二、填空题 11.设 x ? [0, 2? ] ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x, 则 x 的取值范围是

? ? ? ? 12.若向量 a ? x,2 x , b ? ? 3x,2 ,且 a , b 的夹角是钝角,则 x 的取值范围是_____
13.给出下列命题,其中正确的命题是 (写出所有正确命题的编号 ) . .. ①在 ?ABC 中,若 tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形; ②在 ?ABC 中, A ? B 是 cos A ? cos B 的充要条件;

b ,则“ a ? b ? 0 ”是“ a、 b 的夹角为锐角”的充要条件; ③已知非零向量 a、
④命题“在三棱锥 O ? ABC 中,已知 OP ? xOA ? yOB ? 2OC ,若点 P 在 △ABC 所在的 平面内,则 x ? y ? 3 ”的否命题为真命题; ⑤ 函 数 f ( x) 的 导 函 数 为 f ?( x) , 若 对 于 定 义 域 内 任 意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) , 有

? ?

? ?

? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

f ( x1 ) ? f ( x 2) x ?x ? f ?( 1 )2 恒成立,则称 f ( x) 为恒均变函数,那么 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 为 x1 ? x2 2
恒均变函数. 14. 已知点 M 为等边三角形 ABC 的中心, AB=2 ,直线 l 过点 M 交边 AB 于点 P , 交边 AC 于点 Q ,则 BQ ? CP 的最大值为

??? ? ??? ?

.

15. O, A, B 是平面上不共线三点,向量 OA ? a , OB ? b ,设 P 为线段 AB 垂直

?

??? ?

?

? ? ? ? ? ? 平分线上任意一点, 向量 OP ? p . 若| a 则 p ? (a ? b ) 的值是________. | b |? 3 , |5 ? ,
16.在二项式 ( 为________. 17.已知函数 f ?x ? ? ln 是_______. 三、解答题(题型注释) 18.在△ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b ,c.已知 (1)求角 B 的大小; (2)设 T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,求 T 的取值范围. 19.如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形,且 AA1 ? 平面 ABC , D 是 侧棱 CC1 的中点,直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 45° .
A
B1 A1
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 . 2sin A ? sin C c ? a ? b

3

3 ? x) n 的展开式中,各项的系数和比各项的二项式系数和大 992,则 n 的值 x
1? x ? sin x ,则关于 a 的不等式 f ?a ? 2? ? f a 2 ? 4 ? 0 的解集 1? x

?

?

B
C

D

C1

(Ⅰ )求二面角 A ? BD ? C 的余弦值; (Ⅱ)求点 C 到平面 ABD 的距离.
2 2 20.已知点 A(1,1)是椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 上一点,F1、F2 是椭圆的两焦点,且满足 2 2

a

b

|AF1|+|AF2|=4。 (I)求椭圆的标准方程; (II)过点 A(1,1)与椭圆相切的直线方程; (III)设点 C、D 是椭圆上两点,直线 AC、AD 的倾斜角互补,试判断直线 CD 的斜率 是否为定值?若是定值,求出定值;若不是定值,说明理由。 21.已知函数 f ( x) ? e ( e 为自然对数的底数) , g ( x) ? ln( f ( x) ? a) ( a 为常数) , g ( x)
x

是实数集 R 上的奇函数. (1)求证: f ( x) ? x ? 1( x ? R) ; (2)讨论关于 x 的方程: ln g ( x) ? g ( x) ? ( x ? 2ex ? m) (m ? R) 的根的个数;
2

(3)设 n ? N * ,证明: ? 底数) .

e ?1? ?2? ?3? ?n? ( e 为自然对数的 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? e ?1 ?n? ?n? ?n? ?n?

n

n

n

n

杭州二中 2013 年高三数学周末练习 5 答题卷
一、 选择题 题号 答案 1 D 2 D 3 D 4 D 5 D 6 C 7 B 8 B 9 A 10 B

二、填空题

11.

? 3? ? ? 7? ? 0, ? ? ? , 2? ? ? ? 4 ? ? 4 ?
①②④⑤ 14. 16. 5

12.

1? ? 1 ? ? 4 ? ? ? ??, ? ? ? ? ? , 0 ? ? ? , ?? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? ?

.

13. 15.

?

22 9
17.

8

( 3, 2)

.

三、解答题 18. (1) B ? π ; (2) 3 ? T ≤ 9 . 2 4 3 试题解析: (1)在△ABC 中,
2 2 2 sin C ? b2 ? a2 ? c2 ? ?2ac cos B ? c cosB ? sin C cos B , 2sin A ? sin C c ? a ? b ?2ab cos C b cos C sin B cos C

3分

因为 sin C ? 0 ,所以 sin B cos C ? 2sin Acos B ? sin C cos B , 所以 2sin A cos B ? sin B cos C ? sin C cos B ? sin( B ? C) ? sin A , 因为 sin A ? 0 ,所以 cos B ? 1 , 2 因为 0 ? B ? π ,所以 B ? π . 3 (2) T ? sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? 1 (1 ? cos 2 A) ? 3 ? 1 (1 ? cos 2C ) 2 4 2

5分

7分

? 7 ? 1 (cos 2 A ? cos 2C) ? 7 ? 1 ?cos 2 A ? cos 4π ? 2 A ? ? ? 4 2 4 2? 3 ?
? 7 ? 1 1 cos 2 A ? 3 sin 2 A ? 7 ? 1 cos 2 A ? π 4 2 2 2 4 2 3

?

?

?

?

?

?

11 分

因为 0 ? A ? 2π ,所以 0 ? 2 A ? 4π , 3 3 故 π ? 2 A ? π ? 5π ,因此 ?1≤ cos 2 A ? π ? 1 , 3 3 3 3 2 所以 3 ? T ≤ 9 . 2 4 14 分

?

?

19. 解 (1)如建立空间直角坐标系 o ? xyz . 则 A(0, 0, 3), B(0, ?1, 0), C (0,1, 0), D( ? 2,1, 0) .设

? n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ABD 法向量.

? ? ? y ? ? 3z ?n1 ? AB ? 0, ? 由 ?? 得 ? . 2 x ? y ? 3 z ? 0 ? n ? AD ? 0 ? ? ? 2 又平面 BCD 的一个法向量 ?? ? n2 ? (0, 0,1).

取 n1 ? (? 6, ? 3,1).

??

? ? n1 ? n2 ? ? (? 6 ,? 3,1) ? (0,0,1) 10 ∴ cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? . ? n1 n2 1? (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12 10
结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的余弦值为

10 . 10

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 n1 ? (? 6, ? 3,1), CA ? (0, ?1, 3).

??

??? ?

? CA ? n1 ∴点 C 到平面 ABD 的距离 d ? ? ? n1
20.

(0,?1, 3 ) ? (? 6 ,? 3,1) (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12



30 5

21.【解析】 (1)证:令 h( x) ? e ? x ? 1, h?( x) ? e ? 1,
x x

令 h?( x) ? 0 ? e ? 1 ? 0 ? x ? 0 时
x

f ?( x) ? 0; x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . ∴ f ( x)min ? f (0) ? 0
∴ h( x) ? h(0) ? 0 即 e x ? x ? 1 . (2)∵ g ( x) 是 R 上的奇函数 ∴ g (0) ? 0 ∴ g (0) ? ln(e ? a) ? 0
0

∴ ln(1 ? a) ? 0

∴a ? 0
2

故 g ( x) ? ln e ? x .
x

故讨论方程 ln x ? x ? ( x ? 2ex ? m) 在 x ? 0 的根的个数.

ln x ? x 2 ? 2ex ? m 在 x ? 0 的根的个数. (m ? R) x ln x 令 u ( x) ? , v( x) ? x 2 ? 2ex ? m . x 注意 x ? 0 ,方程根的个数即交点个数.


对 u ( x) ?

ln x , ( x ? 0) , x

1 ? x ? ln x 1 ? ln x u ?( x) ? x ? x2 x2

,

令 u?( x) ? 0 , 得 x ? e , 当 x ? e 时, u?( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? e 时, u?( x) ? 0 .

1 , e ln x 当 x ? 0? 时, u ( x) ? ? ?? ; x ln x 当 x ? ?? 时, lim u ( x) ? lim ? 0 , 但此时 x ??? x ??? x
∴ u ( x)极大 ? u (e) ?

u ( x) ? 0 ,此时以 x 轴为渐近线。

1 1 即 m ? e 2 ? 时,方程无根; e e 1 1 ②当 m ? e 2 ? 即 m ? e 2 ? 时,方程只有一个根. e e 1 1 ③当 m ? e 2 ? 即 m ? e 2 ? 时,方程有两个根. e e
①当 m ? e 2 ? (3)由(1)知 1 ? x ? e ( x ? R) ,
x

令x? ∴1 ?

?i , i ? 1, 2,..., n ? 1 , n

i i ? ? i i ? e n ,于是 (1 ? ) n ? ( e n ) n ? e ?i , i ? 1, 2,..., n ?1 , n n

∴ ( 1 )n ? ( 2 )n ? ... ? ( n )n ? (1 ? n ? 1) n ? (1 ? n ? 2 ) n ? ... ? (1 ? 1 ) n ? 1
n n n n n n

1 1? n ? ( n ?1) ?1 ?n 1 ? e 1 ? e e ? 1 ? e . ? e? ( n ?1) ? e? ( n ? 2) ? ... ? e?1 ? 1 ? ? ? ?1 1 1 1 e ?1 1? e 1? 1? 1? e e e



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