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高中数学选修2-1新教学案:2.2.1椭圆及其标准方程(1)



选修 2—1

2.2.1 椭圆及其标准方程(学案)
(第 1 课时)

1.两个同学合作,画出课本第 38 页探索中的图形,并思 考在这一 过程中,移动的笔尖(动点)满足的几何条件是 . 2.椭圆的定义: 平面内与两个定点 F1、F2 的距离的 等于常数 ( )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点 F1、F2 叫做 ,两定点的距离叫

做 ;定义中提到的“常数”常 用 表示,焦距常用 . 椭圆定义的数学表达式: 。 ①当 时,点 P 的轨迹是线段 ;②当 时,点 P 的轨迹不存在. 3. 椭圆的标准方程 : 椭圆焦点的位置 焦点在 x 轴上 椭圆方程 焦点坐标

焦点在 y 轴上

其中:①焦距为 2c,则 a,b,c 关系为 ; ②由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法 是 ;当椭圆是标准方程,但焦点位置不确定时,可应用分类讨论法解答,也 可设其方程为 或 . 【基础练习】 1. 已知 F1 (-1, 0) , F2 (1, 0) , 满足|PF1|+|PF2|=2 2 的点 P 的轨迹为 若|PF1|+|PF2|=2 时,点 P 的轨迹为 . ;

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一个焦点 2.如果椭圆 100 36

F2 的距离是



3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a ? 4, b ? 1,焦点在 x 轴上: (2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上: (3) a ? b ? 10, c ? 2 5 : . . .

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m ? 4. 若方程 m ?1 2 ? m

.

1

5.F1,F2 是椭圆 的周长为 【典型例题】 例 1

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 16 9



已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ?

?5 3? , ? ? ,求它 ?2 2?

的标准方程.

变式练习 1.两个焦点坐标分别是(0,-3) , (0,3) ,且经过点(0,5) ,则椭圆的方 程为 . 2.焦距为 4,且经过点 P(3,-2 6 )的椭圆的标准方程为 .

例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1). (2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10) ,P 到离它较近的一个焦点的 距离等于 2.

变式练习 1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆经过两点 P( ?2 2 ,0) ,Q(0,

5 );

(2)平面内有两个定点的距离是 8,写出到这两个定点的距离的和是 10 的点的轨迹方 程.

y2 x2 ? ? 1 上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,且∠F1PF2=30°,求 例 3 点 P 是椭圆 5 4
△F1PF2 的面积.

2

变式练习 已知经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB,交椭圆于 25 16

A、B 两点,F1 是椭圆的左焦点. (1)求△A F1B 的周长; (2)如果 AB 不垂直于 x 轴,△A F1B 的周长有变化吗?为什么?

1.判定下列椭圆的焦点在?轴,并指明 a2、b2,写出焦点坐标:

x2 y2 x2 y 2 x2 y2 ? ? 1, ? ?1, 2 ? 2 ? 1。 144 169 25 16 m m ?1
2.已知椭圆方程, 2 x2 ? 3 y 2 ? 6 ,则这个椭圆的焦距为( (A)2 (B) 3 (C) 2( 3 ? 2) ). (D) 2( 3 ? 2)

3.下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是( ) . (A)

x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 ? ?1 (B ) ? ? 1与 ? ?1 4 2 4 2 4 2 8 4

(C )

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 2 ? 2 ? 1 ( D ) ? ? 1与 ? ? 1(m ? 0) 4 2 4 2 4?m 2?m 4 2
).

4.a=6,c=1 的椭圆的标准方程是 ( (A)

y2 x2 y2 x2 y2 x2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D)以上答案都不对 36 35 35 36 5 36
2 2

5. 如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 那么实数 k 的取值范围是



6.已知△ABC 中,B(-3,0) ,C(3,0) ,AB、BC、AC 成等差数列.则顶点 A 的轨迹方 程为 . 7.和椭圆 9x2+4y2=36 有相同的焦点,且经过 Q(2,?3) 的椭圆的标准方程是
2 2



x y 8.设 P 是椭圆 + =1 上一点,P 到两焦点 F'1、F2 的距离之差为 2,则△P F1F2 形状为 16 12 三角形.
2 2 9.化简 x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

3

10.已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,P 为椭圆上一点,且 2| F1 F2|=|P F1|+ |P F2|, (1)求此椭圆方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△F1F2P 的面积.

1. (2009 北京)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 9 2
.

| PF2 |?

; ?F 1PF 2 的大小为

x2 y2 2. (2009 年上海卷)已知 F1 、 F2 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, a b
P 为椭圆 C 上一点,且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF

选修2—1

2.2.1 椭圆及其标准方程(教案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.掌握椭圆的定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程;能运用椭 圆的定义、标准方程处理一些简单的实际问题。

2. 培养学生的学习兴趣与探究精神,根据方程形式和图形特征等进行类比猜想,培养
学生的直觉思维与合情推理的能力. 【重点】 椭圆的标准方程;坐标法的基本思想. 【难点】 椭圆的标准方程的推导与化简;坐标法的应用.

【预习提纲】 (根据以下提纲,预习教材第 38 页~第 40 页) 1.两个同学合作,画出课本第 38 页探索中的图形,并思 考在这一过程中,移动的笔 尖(动点)满足的几何条件是 动点到两定点的距离之和是常数 . 2.椭圆的定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离的 和 等于常数 (大于 | F1 F2 | )的点
4

的轨迹叫做椭圆.这两个定点 F1、F2 叫做 椭圆的焦点 ,两定点的距离叫做 椭圆的焦距 ; 定义中提到的“常数”常用 2 a 表示,焦距常用 2c 表示.椭圆定义的数学表达式为:| MF1 |

? | MF2 |? 2a(2a ?| F1 F2 |) .
①当 2a ?| F1 F2 | 时,点 P 的轨迹是线段 F1 F2 ;②当 2a ?| F1 F2 | 时,点 P 的轨迹不存在. 3. 椭圆的标准方程 : 椭圆焦点的位置 椭圆方程 焦点坐标

焦点在 x 轴上

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2 y2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a2 b2
2 2 2

( 0,?c ) 、 (0, c )

焦点在 y 轴上

(0,?c) 、 (0, c )

其中:①焦距为 2c,则 a,b,c 关系为 a ? c ? b ; ②由椭圆的标准方程判断焦点位置或由焦点位置选椭圆标准方程的形式的方法是 根据方程 中分母的大小 ; 当椭圆是标准方程,但焦点位置不确定时,可应用分类讨论法解答,也可设其 方程为

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1(a ? b ? 0) . 或 a2 b2 a2 b2

【基础练习】 1.已知 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,满足|PF1|+|PF2|=2 2 的点 P 的轨迹为 椭圆 ;若 |PF1|+|PF2|=2 时,点 P 的轨迹为 线段 . 2. 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6, 那么点 P 到另一个焦点 F2 100 36

的距离是 14 . 3.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1) a ? 4, b ? 1,焦点在 x 轴上;

x2 ? y2 ? 1. 16 x2 ? y2 ? 1. 16

(2) a ? 4, c ? 15 ,焦点在 y 轴上;

x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1. (3) a ? b ? 10, c ? 2 5 . 36 16 36 16
4. 若方程

3 x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m ? (1, ) . 2 m ?1 2 ? m

5

5.F1,F2 是椭圆 的周长为 16 【典型例题】

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,则△ABF2 16 9
.

例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ? ?2,0 ? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ?

?5 3? , ? ? ,求它的 ?2 2?

标准方程. 【审题要津】由椭圆的定义知,椭圆上的任意一点到椭圆的两焦点的距离之和等于 2 a ,
2 2 2 据此可以求出 a ,又由焦点坐标可知 c ? 2 ,继而根据 a、b、c 的关系 a ? c ? b 求出 b ,

就可以写出它的标准方程. 解:因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为

x2 y2 ? ?1 a2 b2
由椭圆的定义知

(a ? b ? 0) .

3 5 3 5 2a ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 + (? ) 2 ? ( ? 2) 2 2 2 2 2
? 3 1 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2

? a ? 10 . 又 c ? 2 ,
? b 2 ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 .
所以,所求标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 10 6
2

另法:∵ b ? a ? c ? a ? 4
2 2 2

∴可设所求方程为

5 x2 y2 3 ? ? 1 ,然后将点( , ? )的坐标代入可求出 a , 2 2 2 2 a a ?4

从而求出椭圆方程. 【方法总结】由学生的思考与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长, 根据条件写出方程;其二是由已知焦距,求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭 圆上的条件,用待定系数的办法得出方程 变式练习: 1.两个焦点坐标分别是(0,-3) , (0,3) ,且经过点(0,5) ,则椭圆的 方程为

y2 x2 ? ? 1. 25 16

6

2. 焦距为 4, 焦点在 x 轴上, 且经过点 P (3, -2 6 ) 的椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 36 32

例 2 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1) . (2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10) ,P 到离它较近的一个焦点的 距离等于 2. 【审题要津】 椭圆的标准方程中有两个参数, 故有两个独立的条件就可以求出椭圆的方 程.本例运用待定系数法即可求出. 解:(1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,所以可设它的标准方程为:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)

? 22 0 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 ?a ?a ? 4 b ∴? ?? 2 ? 0 ? 1 ?1 ? ?b ? 1 2 2 ?a b ?
x2 ? y2 ? 1 故所求椭圆的标准方程为 4
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2
∵P(0,-10)在椭圆上, P 到它较近的一焦点的距离等于 2, ∴ c ? 10 ? 2 ? 8 . ∴ b ? a ? c ? a ? 64 .
2 2 2 2

∴所求椭圆的标准方程是

y2 x2 ? ? 1. a 2 a 2 ? 64
100 ?1, a2

将点 P(0,-10)的坐标代人,得 ∴ a ? 100, b ? 36 .
2 2

因此,所求椭圆的标准方程是

y2 x2 ? ?1. 100 36

【方法总结】当已知(1)椭圆上的两点; (2) a、b、c 之一与椭圆上一点时,都可 以用待定系数法去求椭圆的标准方程. 变式练习:写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆经过两点 P( ?2 2 ,0) ,Q(0,
7

5 );

(2)平面内有两个定点的距离是 8,写出到这两个定点的距离的和是 10 的点的轨迹方 程. (答案: (1)

x2 y2 x2 y2 y2 x2 ? ? 1; ? ? 1或 ? ? 1. (2) ) 8 5 25 9 25 9 y2 x2 ? ? 1 上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,且∠F1PF2=30°,求 5 4
1 | PF1 | ? | PF2 | sin ?F1 PF2 去 2

例 3 点 P 是椭圆 △F1PF2 的面积.

【审题要津】 由于已知了∠ F1 P F2 的大小, 故可用 S ?

求△F1PF2 的面积,又由椭圆的定义知 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 2 5 ,再结合余弦定理即可求 出 | PF 1 | ? | PF2 | . 解:由椭圆的方程知: a ? 5, b ? 2 ,∴ c ?

a 2 ? b 2 ? 1 ,∴ | F1 F2 |? 2 .

又由椭圆的定义知 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a ? 2 5 , 在△F1PF2 中,由余弦定理得

| F1 F2 |2 ? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?2 | PF1 | ? | PF2 | cos?F1 PF2 ,
4 ? (| PF1 | ? | PF2 |) 2 ? 2 | PF1 | ? | PF2 | ? 2 | PF1 | ? | PF2 | cos30? ,

4 ? 20 ? (2 ? 3) | PF1 | ? | PF2 | ,
∴ | PF 1 | ? | PF2 | ? 16(2 ? 3) ∴ S ?F2 PF2 ?

1 1 1 | PF1 | ? | PF2 | sin ?F1 PF2 = ? 16(2 ? 3 ) ? = 4(2 ? 3) . 2 2 2

【方法总结】由椭圆的定义可以知道 | PF 1 | ? | PF 2 | ,所以,在涉及到△F1PF2 的面积 问题中,常将椭圆的定义、三角形的面积、余弦定理等综合运用解决问题. 变式练习:已知经过椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点 F2 作垂直于 x 轴的直线 AB,交椭圆于 25 16

A、B 两点,F1 是椭圆的左焦点. (1)求△A F1B 的周长; (2)如果 AB 不垂直于 x 轴,△A F1B 的周长有变化吗?为什么? 解:由已知 a ? 5, b ? 4, 所以,c ?

a2 ? b2 ? 3.

(1) ?AF 1 B的周长 ?| AF 1 | ? | AF 2 | ? | BF 1 | ? | BF 2 | .① 由椭圆的定义,得

| AF1 | ? | AF2 |? 2a , | BF1 | ? | BF2 |? 2a . ②
8

所以, ?AF 1 B的周长 ? 4a ? 20. (2)如果 AB 不垂直于 x 轴,△A F1B 的周长不变化. 这是因为①②式仍然成立, ?AF 1 B的周长 ? 4a ,这是定值.

1.判定下列椭圆的焦点位置,并指明 a2、b2,写出焦点坐标:

x2 y2 x2 y 2 x2 y2 ? ? 1, ? ?1, 2 ? 2 ? 1. 144 169 25 16 m m ?1
解:椭圆 和( 0,5 ) ;

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上, a 2 ? 169, b 2 ? 144,焦点坐标为( 0,?5 ) 144 169

椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上,a 2 ? 25, b 2 ? 16,焦点坐标为( ? 3,0 )和( 3,0 ) ; 25 16 x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上, a 2 ? m 2 ? 1, b 2 ? m 2 ,焦点坐标为( 0,?1 ) 2 2 m m ?1

椭圆

和( 0,1 ) . 2.已知椭圆方程, 2 x ? 3 y ? 6 ,则这个椭圆的焦距为(
2 2

A

).

(A)2

(B) 3

(C) 2( 3 ? 2)

(D) 2( 3 ? 2)

3.下列各组两个椭圆中,其焦点相同的是( D ) . (A)

x2 y2 y2 x2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 ? ?1 (B ) ? ? 1与 ? ?1 4 2 4 2 4 2 8 4

(C )

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ? 1与 2 ? 2 ? 1 ( D ) ? ? 1与 ? ? 1(m ? 0) 4 2 4 2 4?m 2?m 4 2
D ).

4.a=6,c=1 的椭圆的标准方程是 ( (A)

y2 x2 y2 x2 y2 x2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D)以上答案都不对 36 35 35 36 5 36
2 2

5.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(0,1) . 6.已知△ABC 中,B(-3,0) ,C(3,0) ,AB、BC、AC 成等差数列,则顶点 A 的轨迹方程

9



x2 y2 ? ? 1( y ? 0) . 36 27
7. 和椭圆 9x2+4y2=36 的焦点相同, 且经过 Q(2,?3) 的椭圆的标准方程是
2 2

x2 y2 ? ? 1. 10 15

x y 8.设 P 是椭圆 + =1 上一点,P 到两焦点 F'1、F2 的距离之差为 2,则△P F1F2 形状为 16 12 直角 三角形.
2 2 9.化简 x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10

解:此方程表示以 (0,?3), (0,3) 为焦点的椭圆,其中 a ? 5, c ? 3 , ∴ b2 ?

a 2 ? c 2 ? 16.
x2 y2 ? ? 1. 16 25

因此,原方程化简为

10.已知椭圆的两焦点为 F1(-1,0) ,F2(1,0) ,P 为椭圆上一点,且 2| F1 F2|=|P F1|+ |P F2|. (1)求此椭圆方程; (2)若点 P 在第二象限,∠F2F1P=120°,求△F1F2P 的面积. 解: (1)由已知 | F1 F2 |? 2 ,∴ 2a ?| PF 1 | ? | PF 2 |? 2 | F 1 F2 |? 4 . ∴ a ? 2 , 又c ? 1, ∴b ? a ? c ? 3 .
2 2 2

所以,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(2)在△F1F2P 中,由余弦定理得

| PF2 |2 ?| PF1 |2 ? | F1 F2 |2 ?2 | PF1 | ? | F1 F2 | cos?F2 F1 P ,
即 又

| PF2 |2 ?| PF1 |2 ? | F1 F2 |2 ? | PF1 | ? | F1 F2 | .
| PF1 | ? | PF2 |? 4 ,
6 , 5 1 1 6 3 ? | PF1 | ? | F1 F2 | sin ?F2 F1 P ? ? ? 2 sin 120 ? ? 3. 2 2 5 5

解得, | PF1 |? 所以, S ?F1F2 P

1. (2009 北京)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 | PF1 |? 4 ,则 9 2
10

| PF2 |?
.w

; ?F 1PF 2 的大小为

.

解:∵ a2 ? 9, b2 ? 3 , ∴ c ? a2 ? b2 ? 9 ? 2 ? 7 , ∴ F1 F2 ? 2 7 , 又 PF 1 ? 4, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? 6 ,∴ PF2 ? 2 ,

又由余弦定理,得 cos ?F1 PF2 ?

22 ? 42 ? 2 7 2? 2? 4
?

?

?

2

1 ?? , 2

? ∴ ?F 1PF 2 ? 120 .故应填 2, 120 .

2. (2009 年上海卷)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, a2 b2

P 为椭圆 C 上一点,且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =____________. 1 ? PF 2 .若 ?PF

?| PF1 | ? | PF2 |? 2a ? 解:依题意,有 ?| PF1 | ? | PF2 |? 18 ,可得 4c2+36=4a2,即 a2-c2=9,故有 b ? 2 2 2 ?| PF1 | ? | PF2 | ? 4c
=3.

11



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