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2014届高考数学创优导学案4-4



(对应学生用书 P323 (时间:45 分钟

解析为教师用书独有) 满分:100 分)

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) → → → 1.(2013· 武汉质检)已知 P 是△ABC 所在平面内一点,若CB=λPA+PB,其 中 λ∈R,则点 P 一定在 A.△ABC 的内部 C.AB 边所在直线上 B.A

C 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 ( )

→ → → 解析 B 由题意知:CB-PB=λPA, → → → 即CB+BP=λPA, → → → → ∴CP=λPA,即CP与PA共线, ∴点 P 在 AC 边所在直线上. → → → 2.△ABC 的三个内角成等差数列,且(AB+AC)· =0,则△ABC 一定是 BC ( A.等腰直角三角形 C.等边三角形 解析 C B.非等腰直角三角形 D.钝角三角形 )

在△ABC 中,BC 边的中线又是 BC 边的高,故△ABC 为等腰三角

π 形,又△ABC 的三个内角成等差数列,所以等腰△ABC 的一角为3,所以△ABC 一定为等边三角形. 3.河水的流速为 2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对 岸,则小船的静水速度大小为 A.10 m/s C.4 6 m/s B.2 26 m/s D.12 m/s ( )

解析 B 如图所示,小船在静水中的速度为 102+22=2 26 m/s. → → 4.(2013· 济南模拟)已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA· =x2, PB 则点 P 的轨迹是 A.圆 C.双曲线 解析 D B.椭圆 D.抛物线 ( )

→ → PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y),

→ → ∴PA· =(-2-x,-y)· PB (3-x,-y) =(-2-x)(3-x)+y2=x2. 即 y2=x+6. → → → 5.已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上,满足 2OA+AB+AC=0(其中 O 为坐 → → → → 标原点),又|AB|=|OA|,则向量BA在向量BC方向上的投影为 A.1 1 C.2 解析 C B.-1 1 D.-2 → → → → → → → → → → 由 2OA+AB+AC=(OA+AB)+(OA+AC)=OB+OC=0 得, = OB ( )

→ -OC,即 O,B,C 三点共线. → → → → → π 1 又|AB|=|OA|=1,故向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos3=2. → → 6.已知圆 O 的半径为 a,A,B 是其圆周上的两个三等分点,则OA· 等于 AB ( 3 A. a2 2 a2 → → → → 5π 解析 B ∵|OA|=a,|AB|= 3a, 〈OA,AB〉= 6 , → → → → 5π ∴OA· =|OA|· |· 6 AB |AB cos 3 ? 3? =a× 3a×?- ?=-2a2. ? 2? 3 B.- a2 2 C. 3 2 a 2 D. - ) 3 2

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 8 分,共 24 分) 7.已知向量 a=( 3sin θ,1),b=(1,cos θ),则 a· 的最大值为________. b ? π? 解析 a· b= 3sin θ+cos θ=2sin?θ+6?≤2. ? ? 【答案】 2 → → → → 8.若|AB|=2,|AC|=3,|AB+AC|= 19,则∠CAB=________. → → → → → → → → → → 解析 |AB+AC|2=AB2+2AB· +AC2=4+2AB· +9=19,∴AB· =3, AC AC AC → → AB· AC 3 1 cos ∠CAB= = =2,∴∠CAB=60° . → → 2×3 |AB||AC| 【答案】 60° π 9.(2013· 南京模拟)已知平面向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为3. 以 a,b 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长 度为________. π 解析 ∵|a+b|2-|a-b|2=4a· b=4|a||b|· 3=4>0,∴|a+b|>|a-b|.又|a-b|2 cos =a2+b2-2a· b=3,∴|a-b|= 3. 【答案】 3

三、解答题(本大题共 3 小题,共 40 分)

10.(12 分)如图,在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB=90° ,CA=CB,D 为 BC 的中点,E 是 AB 上的一点,且 AE=2EB.求证:AD⊥CE. → → 解析 方法一:AD· CE ? → 1 → ? ? → 2→? ? =?AC+ CB?·CA+ AB? 2 ?? 3 ? ? → 1→ → 2→ → 1→ → =-|AC|2+2CB· +3AB· +3AB· CA AC CB

→ 1→ → 2 2→ 2→ =-|AC|2+2|CB||CA|cos 90° 3 |AC|2cos 45° 3 |AC|2cos 45° + + → → =-|AC|2+|AC|2=0, → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. 方法二:建立如图所示的直角坐标系,

设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). a? ? ∵D 是 BC 的中点,∴D?0,2?. ? ? → → 又∵AE=2EB, 即(x-a,y)=2(-x,a-y),

?x=a, ? 3 x-a=-2x, ? ∴? 解得? 2 ?y=2a-2y, ? ?y=3a.
→ ? a? a? ? ∵AD=?0,2?-(a,0)=?-a,2?, ? ? ? ? → → ?a 2 ? OE=CE=?3,3a?, ? ? → → a 2 a ∴AD· =-a×3+3a×2=0. CE → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. 11.(12 分)已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 是 C 上的任意一 → → 点,点 N 在线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. 解析 设 M(x0,y0)、N(x,y). → → 由MA=2AN得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1), ?x0=3-2x, ∴? ?y0=3-2y.

∵点 M(x0,y0)在 C 上,∴(x0-3)2+(y0-3)2=4, 即(3-2x-3)2+(3-2y-3)2=4. ∴x2+y2=1.∴所求点 N 的轨迹方程是 x2+y2=1. 12.(16 分)已知长方形 ABCD,AB=3,BC=2,E 为 BC 中点,P 为 AB 上 一点. (1)利用向量知识判定点 P 在什么位置,∠PED=45° ; (2)若∠PED=45° ,求证:P、D、C、E 四点共圆. 解析

(1)如图,建立平面直角坐标系,则 C(2,0),D(2,3),E(1,0), → 设 P(0,y),∴ED=(1,3), → → → → → EP=(-1,y)(y>0),∴|ED|= 10,|EP|= y2+1,ED· =3y-1,代入 cos EP → → ED· EP 45° = ,解得 y=2. → → |ED|· | |EP ∴点 P 在靠近点 A 的 AB 的三等分处. (2)当∠PED=45° 时,由(1)知 P(0,2), → → ∴PD=(2,1),EP=(-1,2), → → ∴EP· =0, PD ∴∠DPE=90° ,又∠DCE=90° , ∴D、P、E、C 四点共圆.



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