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一道不等式竞赛题的初等证明



2 0 1 5年 第 2期  一 河 北理科教 学研 究  短 文 集锦  遭试题 , 还要 思考 它还 能怎 么考 , 这样 既发  证明 : 在不等式( ※) 中令 k= n 。 , n  +   1 , …, n   并相加 , 即得结论中不等式 .   在 结论 不等式 中令 儿  =   ,  := 2 2— 1   1 , 即得 考题 1中不 等式 , 令 凡  = 1 , n  = n ,   即得考 题 2中不 等式 .   ( 湖北省 广 水 市 第一 高级 中学  聂 文 喜  4 3 2 7 0 0 )   散 了思 维 , 又使 我们 的备 考有更 好 的针对 性 ,   提 高 了备 考 的效率 .   4   问题 推 广  在不 等式 ( ※) 中令 k:   , n, 2+1 1 , …,   3   一1 并 相力 Ⅱ 即得 :   变式 题 1   设 数列 { a   } 的通项 a  =1+   丢 + … +  , 证 明 。 。   一 a n +   1 > I n 3 .   在不 等式 ( ※) 中令 k: n,  , n+1 , …,   4   一1 并 相加 即得 :   变式 题 2 设 数列 { 口   } 的通项 a  =1+   +… +   , 证明 。   一a n+  3 > l n 4 .  题  已知 a> 1 , b> 1 , c> 1 , 且 a+b   + c = 9 ,试 证 :   +   +   ≥   在不 等式 ( ※) 中令 k= 1 2, n+1 , …, t 2 1   — 1 并 相加 即得 :    ̄ / 6 c+c a+n 6 ( 1 ) ( 第 三 届 全 国 大学 生 数学  变式 题 3   设数 列 {   } 的通项  =1+   +… +   , t ≥2 , t ∈N  , 证明 a t n—a n+   t一 1   竞赛预赛题)   这是 一道 大学 生 竞 赛 题 , 参 考 解 答 应 用  导数给 出了她 的证明 . 在数学竞赛辅导中本  人 向 同学们 推 崇 了如下 优 美 的初 等 证 法 , 现  提 出来 与大 家共享 .   > l nt’   在 不等 式 ( ※)中令 k = t 。 2, 1 t 。 2 +1 1 ,   … 证明: ( 1 ) 式 等价 于 (   +   6 c+c a+ 0 6 § 0 + b + C+2   +   )  ≥   +2   +   , t : 2 —1 1 并相 加 即得 :   变 式题 4 设数 列 { a   } 的通项 口  =1 +   +… +  +   ,   t z> >   t l ≥2 ,   t l ,   t 2∈ ∈   N+ 。 , 证 明  让 明  + … , 2   ≥ b c+ c a+Ⅱ 6 甘(   一1 )  +   1 (  ̄ / 广   )  +(   )  ≤ 1 2 ( 2 ) ( 因为 a   at 2   n — 一 +   at I  n +  > m   鲁 . ’   >  n + b+ c = 9) .   记( 2 )式 的左 边 为  . 利 用 代 数 恒 等 式  ( a c一6 d ) 。= ( a  一 b   ) ( c  一 d   )+( 6 c一   考题 1 与考 题 2 可 统一 推广 为 :   结 论  设


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