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离散型随机变量的均值和方差 导学案



随机变量的均值和方差
【回归教材】 1. 设服从二项分布 B(n, p) 的随机变量 ? 的期望和方差分别为 2.4,1.44 , 求二项分布的参数

n, p 的值

2. 马老师从课本上抄录一个随机变量 ξ 的概率分布律如下表: x P(ξ=x) 1 ? 2 ! 3 ?

请小牛同学计算 ξ 的数学期望.尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断 定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案 Eξ=__________

3. 一个袋子里装有大小相同的 3 个红球和 2 个黄球,从中同时取出 2 个,求其中含红球个 数的期望

【知识回顾】 1.离散型随机变量 X 的均值与方差 离散型随机变量 X 的概率分布为 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

(1)均值(数学期望): E (X ) ?

? =________________________

(2)方差: D( X ) ? ? 2 ? ________________________ (3)标准差: ? ? ________________________

2.两点分布、二项分布的均值、方差

(1)若 X ~ 0 ? 1 分布, 则 E ( X ) ? __________ D( X ) ? __________ _, __

(2)若 X ~ B(n, p),

则 E ( X ) ? __________ D( X ) ? __________ _, __

1

注:离散型随机变量的均值与方差的意义 1.离散型随机变量的均值 (1)均值是算数平概念的推广,是概率意义下的平均; (2) E (X ) 是一个实数,由 X 的分布列唯一确定,它描述 X 取值的平均状态; (3) E (aX ? b) ? aE( X ) ? b ,说明随机变量 X 的线性函数 Y ? aX ? b 的均值等于随机变 量 X 均值的线性函数。 2.离散型随机变量的方差 (1) D(X ) 表示随机变量 X 对 E (X ) 的平均偏离程度, D(X ) 越大表面平均偏离程度越 大,说明 X 的取值越 分散;反之, D(X ) 越小, X 的取值越集中在 E (X ) 附近,统计中 常用 D(X ) 来描述 X 的分散程度。 (2) D(X ) 与 E (X ) 一样,也是一个实数,由 X 的分布列唯一确定。 (3) D(aX ? b) ? a 2 D( X ) ,说明随机变量 X 的线性函数 Y ? aX ? b 的方差等于随机变量

X 方差的线性函数。

【经典例题】 例 1 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装 有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率;

(2)求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X).

2

例 2 某投资公司在 2010 年年初准备将 1000 万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选 择: 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 30%,也可能亏损 15%,且这两种情况发生的概率分别为

7 2 , 9 9

项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利 50%,可能亏损 30%, 也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为 , ,

3 1 1 5 3 15

针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由

变式:某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系统会 随机(即等可能)为你打开一个通道.若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、 3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打开一 个你未到过的通道,直至走出迷宫为止.令 ? 表示走出迷宫所需的时间. (1)求 ? 的概率分布列; (2)求 ? 的数学期望

3

变式 2: 随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、 三等品 20 件、次品 4 件.已知生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、 1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位:万元)为 X. (1)求 X 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 X 的数学期望) ; (3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为 1%,一等品率提高为 70%.如 果此时要求 1 件产品的平均利润不小于 4.73 万元,则三等品率最多是多少?

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【巩固练习】 1.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生 得到甲公司面试的概率为

2 ,得到乙、丙公司面试的概率均为 p ,且三个公司是否让其面 3

试是相互独立的。记 X 为该毕业生得到面试得公司个数。 P ( X ? 0) ? 若 的数学期望 E (X )

1 ,求随机变量 X 12

2.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2,3, 4) .现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号. (1)求 ξ 的分布列,期望和方差; (2)若 η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值

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