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讲义:2016一轮复习选修4-4极坐标与参数方程含答案



选修 4-4 坐标系与参数方程 知识点 考纲展示 1.理解坐标系的作用, 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的 变化情况. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,理解在极坐标系和平面直角 坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 4.了解参数方程,了解参数的意义. 5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 第 1 讲 坐标系

坐标系与参数方 程

1.坐标系 (1)坐标变换
? x?λ>0? ?x′=λ· 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ:? 的作用下, ?y′=μ· y?μ>0? ? 点 P(x,y)对应到点(λx,μy),称 φ 为坐标系中的伸缩变换. (2)极坐标系 在平面内取一个定点 O, 叫做极点; 自极点 O 引一条射线 Ox, 叫做极轴; 再选一个长度单位, 一个角度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

设 M 是平面内任意一点,极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为 ρ;以极轴 Ox 为始边,射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ,有序数对(ρ,θ)叫做点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ). 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内的任 ρ2=x2+y2 ? ?x=ρcos θ ? ? 意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x,y)和(ρ,θ),则? ,? . y ? tan θ= ?x≠0? ?y=ρsin θ ? x ?

1.常见直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π+θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π (3)直线过 M(b, )且平行于极轴:ρsin θ=b. 2 2.几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos θ; π (3)当圆心位于 M(a, ),半径为 a:ρ=2asin θ. 2 极坐标与直角坐标的互化 π? (1)[点的互化]①把点 M 的极坐标? ?-5,6?化成直角坐标; ②把点 M 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. π? 2 (2)[方程互化]在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cos θ+sin θ 和直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 .(ρ≥0,0≤θ<2π) ①求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; ②当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标. π 5 [解] (1)①∵x=-5cos =- 3, 6 2

5 5? π 5 y=-5sin =- ,∴点 M 的直角坐标是? ?-2 3,-2?. 6 2 ②ρ= ?- 3?2+?-1?2= 3+1=2, -1 3 tan θ= = . 3 - 3 7π ∵点 M 在第三象限,ρ>0,∴最小正角 θ= . 6 7π ? 因此,点 M 的极坐标是? ?2, 6 ?. (2)①圆 O:ρ=cos θ+sin θ,即 ρ2=ρcos θ+ρsin θ, 故圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2-x-y=0, π? 2 直线 l:ρsin? ?θ-4?= 2 ,即 ρsin θ-ρcos θ=1, 则直线 l 的直角坐标方程为:x-y+1=0. ②由①知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程, 2 2 ? ? ?x +y -x-y=0 ?x=0 将两方程联立得? ,解得? ,即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1), ?x-y+1=0 ?y=1 ? ? π 1, ?,即为所求. 将(0,1)转化为极坐标为? ? 2? 极坐标与直角坐标互化的注意点: ①在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的范围,否则点的极坐标将不唯一. ②在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. 1.点 P 的直角坐标( 6,- 2)化成极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)为( ) π 2π 5π 11π A.(2 2, ) B.(2 2, )C.(2 2, ) D.(2 2, ) 6 3 6 6 - 2 3 11π 解析:选 D.ρ= ? 6?2+?- 2?2=2 2,tan θ= =- ,又因为点在第四象限,得 θ= . 3 6 6 11π ? 因此,点 P 的极坐标为? ?2 2, 6 ?.故选 D. π? 2.在极坐标系中,点? ?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为________. π? 2 2 解析:点? ?2,3?化为直角坐标为(1, 3),方程 ρ=2cos θ 化为普通方程为 x +y -2x=0,故圆心为(1,0), 则点(1, 3)到圆心(1,0)的距离为 3. 答案: 3 π? 3.已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 ρ=2,ρ2-2 2ρ· cos? ?θ-4?=2. (1)把圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程. 解:(1)由 ρ=2 知 ρ2=4,所以 x2+y2=4; π? 2 因为 ρ2-2 2ρcos? ?θ-4?=2,所以 ρ - π π cos θcos +sin θsin ?=2,所以 x2+y2-2x-2y-2=0. 2 2ρ? 4 4? ? (2)将两圆的直角坐标方程相减, 得经过两圆交点的直线方程为 x+y=1. 化为极坐标方程为 ρcos θ+ρsin θ=1, π 2 θ+ ?= . 即 ρsin? 4 ? ? 2 π 2π 4.(选修 4-4 P12 习题 T3 改编)在极坐标系中 A(2,- ),B(4, )两点间的距离为( 3 3 A.2 B.3 C.6 D.3 3 )

解析:选 C.法一:(数形结合)在极坐标系中,A、B 两点如图所示,|AB|=|OA|+|OB|=6.

π 2π π π 法二:A(2,- );B(4, )的直角坐标为 A(2cos(- ),2sin(- )) 3 3 3 3 =A(1,- 3), 2π 2π B(4cos ,4sin )=B(-2,2 3). 3 3 ∴|AB|= ?-2-1?2+?2 3+ 3?2= 36=6.故选 C. π π 5.(选修 4-4 P15 习题 T5 改编)在极坐标系中,求点 A(2,- )到直线 ρsin(θ+ )=2 的距离. 4 4 π π 解:法一:点 A(2,- )的直角坐标为(2cos(- ), 4 4 π 2sin(- )),即( 2,- 2), 4 π 由直线 ρsin(θ+ )=2,得 4 π π ρsin θcos +ρcos θsin =2, 4 4 即 x+y-2 2=0. 点( 2,- 2)到直线 x+y-2 2=0 的距离 | 2- 2-2 2| d= =2. 12+12 π π 法二:(数形结合法)在极坐标系中,直线 ρsin(θ+ )=2 是过点 M(2 2,0),N(2, )的直线,如图,显然 A 到 4 4 直线 l 的距离为|AM|=2.

曲线的极坐标方程的应用 (2015· 高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积. 4 [解] (1)因为 x=ρcos θ, y=ρsin θ, 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)将 θ= 代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得 4 ρ2-3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2. 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为 . 2 在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较

麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决. π? ? π? 1.在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为? ?3,3?、?4,6?,则△AOB(其中 O 为极点)的面积为( A.3 3 B.3

)

C.6 3 D.6 π π 1 1 ? ? ? 解析:选 B.由题意知 A,B 的极坐标分别为? OB· sin∠AOB= ?3,3?、?4,6?,则△AOB 的面积 S△AOB=2OA· 2 π ×3×4×sin =3. 6 2.在以 O 为极点的极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 和直线 ρsin θ=a 相交于 A,B 两点.若△AOB 是等边三角形, 则 a 的值为________. 解析:由 ρ=4sin θ 可得 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2=4. 由 ρsin θ=a 可得 y=a.

设圆的圆心为 C,y=a 与 x2+(y-2)2=4 的两交点 A,B 与 O 构成等边三角形,如图所示. 由对称性知∠COB=30° ,OD=a. 3 3 a,∴B 点的坐标为? a,a?. 3 ?3 ? 4 3 又∵B 在 x2+y2-4y=0 上,∴? a?2+a2-4a=0,即 a2-4a=0,解得 a=0(舍去)或 a=3. 3 ?3 ? 答案:3 3.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为 ? 2,π?,直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-π?=a,且点 A 在直线 l 上.圆 C 的极坐标方程为 ρ=2 cos θ. 4? ? ? 4? (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; (2)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系. π? ? π? 解:(1)由点 A? ? 2,4?在直线 ρcos?θ-4?=a 上, 可得 a= 2,所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1. 1 2 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= = <1,所以直线 l 与圆 C 相交. 2 2 在 Rt△DOB 中,易求 DB=

5.(选修 4-4 P15 习题 T4(4)改编)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C π? 的极坐标方程为 ρcos? ?θ-3?=1,M,N 分别为 C 与 x 轴、y 轴的交点. (1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. π θ- ?=1 得 解:(1)由 ρcos? ? 3? 1 3 ρ? cos θ+ sin θ?=1. 2 ?2 ? 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2 即 x+ 3y=2. 当 θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0). π 2 3 2 3 π? 当 θ= 时,ρ= ,所以 N? . 2 3 ? 3 ,2?

(2)M 点的直角坐标为(2,0). 2 3? N 点的直角坐标为?0, . 3 ? ? 所以 P 点的直角坐标为?1,

?

3? , 3?

π 2 3 π? 则 P 点的极坐标为? ,所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= (ρ∈R). 6 ? 3 ,6? 第 2 讲 参数方程

1.曲线的参数方程
?x=f?t?, ? 在平面直角坐标系 xOy 中,如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t 的函数? 并且对于 t 的每 ?y=g?t?. ? 一个允许值,由上述方程组所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上,则该方程叫做这条曲线的参数方程,其中变数 t 称为参数. 2.一些常见曲线的参数方程 ? ?x=x0+tcos α (1)过点 P0(x0,y0),且倾斜角为 α 的直线的参数方程为? (t 为参数). ?y=y0+tsin α ? (2)圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2 的参数方程为 ? ?x=a+rcos θ ? (θ 为参数). ?y=b+rsin θ ? x2 y2 (3)椭圆方程 2+ 2=1(a>b>0)的参数方程为 a b ? ?x=acos θ ? (θ 为参数). ?y=bsin θ ? ?x=2pt2 ? (4)抛物线方程 y2=2px(p>0)的参数方程为? (t 为参数). ? ?y=2pt

1.极坐标方程与参数方程互化时,以普通方程(直角坐标方程)为联系达到相互转化. 2.在利用参数方程求解具体问题时,注意参数的几何意义和范围. 3.数形结合思想是求有关参数方程的最值问题的高效方法.

参数方程化为普通方程(或极坐标方程)

?x=2+ 22t, (1)[参数方程化为普通方程]①在平面直角坐标系中,求曲线 C:? 2 ?y=1+ 2 t
? ?x=1+cos θ, ②若直线 3x+4y+m=0 与圆? (θ 为参数)相切,求实数 m 的值. ?y=-2+sin θ ?

(t 为参数)的普通方程.

? ?x=4+5cos t, (2)[参数方程化为极坐标方程]【2013 年新课标全国卷 i】已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数), ? ?y=5+5sin t 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. ①把 C1 的参数方程化为极坐标方程;

②求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 2 2 2 [解] (1)①因为 x=2+ t,所以 t=x-2,代入 y=1+ t,得 y=x-1,即 x-y-1=0. 2 2 2 ?x=1+cos θ, ? ②圆? 消去参数 θ,化为普通方程是(x-1)2+(y+2)2=1.因为直线与圆相切,所以圆心(1,-2) ?y=-2+sin θ ? |3+4×?-2?+m| 到直线的距离等于半径,即 =1,解得 m=0 或 m=10. 5 ?x=4+5cos t, ? (2)①将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, ? y = 5 + 5sin t ? 即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. ?x=ρcos θ ? 将? ,代入 x2+y2-8x-10y+16=0,得 ? y = ρ sin θ ? ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. ②C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0. ?x2+y2-8x-10y+16=0, ? 由? 2 2 ?x +y -2y=0, ?
? ? ?x=1, ?x=0, 解得? 或? ?y=1 ? ? ?y=2.

π π 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为( 2, ),(2, ). 4 2 消去参数的方法一般有三种: ①利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数; ②利用三角恒等式消去参数; ③根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数.
?x=t ?x=3cos φ ? ? 1. 【2013 湖南】在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:? ,(t 为参数)过椭圆 C:? ,(φ 为参 ?y=t-a ?y=2sin φ ? ? 数)的右顶点,则常数 a 的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 ?x=t ? 解析:选 C.直线 l:? ,消去参数 t 后得 y=x-a. ?y=t-a ? ? ?x=3cos φ x2 y2 椭圆 C:? ,消去参数 φ 后得 + =1. 9 4 ?y=2sin φ ? 又椭圆 C 的右顶点为(3,0),代入 y=x-a 得 a=3. ? ?x=cos α, 2.直线 3x+4y-7=0 截曲线? (α 为参数)的弦长为________. ?y=1+sin α ? |0+4-7| 3 8 解析:曲线可化为 x2+(y-1)2=1,圆心(0,1)到直线的距离 d= = ,则弦长 l=2 r2-d2= . 5 9+16 5

8 答案: 5 3. 以直角坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C 的极坐标方程为 C: ρ=
? ?x=2+t 直线 l:? (t 为参数), ?y=2-2t ? (1)求 C 的直角坐标方程与 l 的极坐标方程; (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系,并求曲线 C 上的点到直线 l 的距离 d 的范围.

6 2 , 13+5cos 2θ

解:(1)由 ρ=

x2 y2 ρ2(18-10sin2θ)=72,∴18x2+8y2=72,∴ + =1,即为曲线 C 的直角坐标方程. 4 9 ? x = 2 + t ? 由? 得 2x+y-6=0,即有 2ρcos θ+ ?y=2-2t ? ρsin θ-6=0,这就是直线 l 的极坐标方程. x2 y2 (2)将 y=6-2x 代入 + =1 得 4 9 25x2-96x+108=0, Δ=(-96)2-4×25×108=-1 584<0, 故直线 l 与曲线 C 没有交点,所以直线 l 与曲线 C 相离. 设曲线 C 上的点 P(2cos θ,3sin θ),且点 P 到 l 的距离为 d, |4cos θ+3sin θ-6| |5sin?θ+φ?-6| 则 d= = , 5 5 4 其中 φ 为锐角,tan φ= , 3 ∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴-11≤5sin(θ+φ)-6≤-1, 1 11 5 11 5? ∴ ≤d≤ ,即 d 的取值范围为? , . 5 ? ?5 5 5 5.(选修 4-4 P36 例 1 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的参数方程为

6 2 得 13+5cos 2θ

?x=2- 22t ? 2 ?y=-1+ 2 t

π tan θ ? θ≠kπ+ ?, (t 为参数),曲线 C 的极坐标方程为 ρ= 2? cos θ?

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和一个参数方程; 1 1 (2)直线 l 与曲线 C 有两个交点 A、B,当 t= 2时,点 P 为直线上的点,求 + 的值. |PA| |PB| tan θ 解:(1)由 ρ= 得 ρcos θ=tan θ. cos θ y y 将 x=ρcos θ, =tan θ 代入得 x= , x x 2 故曲线 C 的直角坐标方程为 x =y(x≠0). ? ?x=t1 取 x=t1,则 y=t2 1,可得曲线 C 的一个参数方程为? 2 (t1 为参数 t1≠0). ?y=t1 ? (2)将 t= 2代入直线 l 的参数方程得 P(1,0),设直线 l 上动点 M(x,y),令|PM|=m,得直线 l 的参数方程为

?x=1- 22m ? 2 ?y= 2 m



代入 x2=y 整理得 m2-3 2m+2=0, 设|PA|=m1,|PB|=m2, 则 m1+m2=3 2,m1m2=2,且 m1 与 m2 同号, 1 1 1 1 m1+m2 ∴ + = + = |PA| |PB| m1 m2 m1m2 3 2 = . 2

参数方程的应用(直线的参数方程中 t 的几何意义)

?x=5+ 23t, 已知直线 l:? 1 ?y= 3+2t

(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线

C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)设点 M 的直角坐标为(5, 3),直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求|MA|· |MB|的值. [解] (1)ρ=2cos θ 等价于 ρ2=2ρcos θ. 将 ρ2=x2+y2,ρcos θ=x 代入 ρ2=2ρcos θ 得曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0.

?x=5+ 23t, (2)将? 1 ?y= 3+2t

(t 为参数)代入 x2+y2-2x=0,

得 t2+5 3t+18=0. 设这个方程的两个实根分别为 t1,t2,则由参数 t 的几何意义知,|MA|· |MB|=|t1t2|=18. (1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数方程的互化公式,主要是通过互 化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等. (2)根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义,有如下常用结论: 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交,交点为 M1,M2,所对应的参数分别为 t1,t2. ①弦长 l=|t1-t2|; ②弦 M1M2 的中点?t1+t2=0; ③|M0M1||M0M2|=|t1t2|. 1.极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲 线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; 1 x= t, 2 (2)直线 l: (t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交于 E,求|EA|+|EB|的值. 3 y=1+ t 2

? ? ?

解:(1)在 ρ=2(cos θ+sin θ)中, 两边同乘 ρ,得 ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ), 则 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y,即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程,化简得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0,设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2= 5. 2.在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C:ρsin2θ=2acos θ(a>0),

?x=-2+ 22t 过点 P(-2,-4)的直线 l:? 2 ?y=-4+ 2 t

(t 为参数)与曲线 C 相交于 M,N 两点.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数 a 的值. ? ?x=ρcos θ 解:(1)把? 代入 ρsin2θ=2acos θ,得 y2=2ax(a>0), ?y=ρsin θ ?

?x=-2+ 22t 由? 2 ?y=-4+ 2 t

(t 为参数),消去 t 得 x-y-2=0,∴曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程分别是 y2

=2ax(a>0),x-y-2=0.

?x=-2+ 22t (2)将? 2 ?y=-4+ 2 t

(t 为参数)代入 y2=2ax,

整理得 t2-2 2(4+a)t+8(4+a)=0. 设 t1,t2 是该方程的两根, 则 t1+t2=2 2(4+a),t1· t2=8(4+a), ∵|MN|2=|PM|· |PN|, ∴(t1-t2)2=(t1+t2)2-4t1· t2=t1· t2, ∴8(4+a)2-4×8(4+a)=8(4+a),∴a=1.

求参数方程条件下的最值

?x= 3cos φ 已知曲线 C1 的参数方程是 C1:? (φ 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 ?y=4sin φ π? 坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=a(a>0),直线 l 的极坐标方程是 ρsin? ?θ+3?=1,曲线 C2 与直线 l 有两交点 A, B. (1)求 C2 与 l 的普通方程,并求 a 的取值范围; (2)设 P 为 C1 上任意一点,当 a=2 时,求△PAB 面积的最大值. [解] (1)由 ρ=a(a>0)得 ρ2=a2,即 C2 的普通方程为 x2+y2=a2. π? 由 ρsin? ?θ+3?=1 得 1 3 ρsin θ+ ρcos θ=1,即 l 的普通方程为 3x+y-2=0. 2 2 |-2| 因为曲线 C2 与直线 l 有两交点 A,B,所以圆心到直线的距离 d= <a,即 a 的取值范围为(1,+∞). ? 3?2+12 (2)设 P( 3cos φ,4sin φ),当 a=2 时, |3cos φ+4sin φ-2| |5sin?φ+α?-2| 7 |AB|=2 22-1=2 3,P 到直线的距离 d= = ≤ ,所以△PAB 面积的最大值 S 2 2 ? 3?2+12
1 1 7 7 3 = |AB|dmax= ×2 3× = . 2 2 2 2 求参数方程中最值问题的三个策略: ①曲线方程上的点用参数方程表示;直线用普通方程表示;利用相关距离公式将目标转化为求以参数为变量的 函数的最值; ②当曲线是圆时,数形结合更快捷方便; ③利用直线参数方程中参数的几何意义时,需特别注意方向性.

?x=1+2t 1.已知直线 l:? 3 ?y= 2 t

1

?x=cos θ ? (t 为参数),曲线 C1:? (θ 为参数). ?y=sin θ ?

(1)设 l 与 C1 相交于 A,B 两点,求|AB|; 1 3 (2)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的 ,纵坐标压缩为原来的 ,得到曲线 C2,设点 P 是曲线 C2 上的 2 2 一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 解:(1)l 的普通方程为 y= 3(x-1),C1 的普通方程为 x2+y2=1.

?y= 3?x-1? 1 3 联立方程? 2 2 ,解得 l 与 C1 的交点为 A(1,0),B? ,- ?,则|AB|=1. 2 2 ? ? ?x +y =1

?x=2cos θ (2)C 的参数方程为? 3 ?y= 2 sin θ
2

1

1 3 (θ 为参数).故点 P 的坐标是? cos θ, sin θ?. 2 ?2 ?

从而点 P 到直线 l 的距离 d= =

? 3cos θ- 3sin θ- 3? 2 ?2 ?
2

π π 3? 6 2sin?θ- ?+2?,当 sin?θ- ?=-1 时,d 取得最小值,且最小值为 ( 2-1). 4 ? ? 4? 4? 4

?x=-t 2.已知曲线 C1 的参数方程为? (t 为参数),当 t=1 时,曲线 C1 上的点为 A,当 t=-1 时,曲线 C1 上 ?y= 3t 6 的点为 B.以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ= . 4+5sin2θ (1)求 A、B 的极坐标; (2)设 M 是曲线 C2 上的动点,求△MAB 面积 S 的最大值. ?x=-1 解:(1)当 t=1 时,? ,即 A 的直角坐标为 A(-1, 3); ?y= 3 ?x=1 当 t=-1 时,? ,即 B 的直角坐标为 B(1,- 3). ?y=- 3 2π? ? 5π? ∴A 的极坐标为 A? ?2, 3 ?,B 的极坐标为 B?2, 3 ?. 6 (2)由 ρ= ,得 ρ2(4+5sin2θ)=36, 4+5sin2θ x2 y2 ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 + =1. 9 4 设曲线 C2 上的动点 M 的坐标为 M(3cos α,2sin α),
由(1)知|AB|= ?1+1?2+?- 3- 3?2=4. 直线 AB 的方程为 3x+y=0. |3 3cos α+2sin α| ∴M 到 AB 的距离 d= = ? 3?2+12 | 31sin?α+φ?| 31 ,∴dmax= . 2 2 1 1 31 ∴Smax= |AB|· dmax= ×4× = 31. 2 2 2

π? 1.(选修 4-4 P15 习题 T5 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l:ρsin? ?θ+4?=
?x=2cos α ? 2 2,曲线 C 的参数方程为? (α 为参数). ?y=sin α ? (1)求 l 与 C 的直角坐标方程; (2)A、B 是曲线 C 上距离最远的两点,在 l 上是否存在点 P,使 PA⊥PB,若存在,求出 P 点坐标,若不存在, 说明理由. 解:(1)∵直线 l 的极坐标方程为 π? 2 2 ρsin? ?θ+4?=2 2,∴ 2 ρsin θ+ 2 ρcos θ=2 2,∴x+y-4=0 为直线 l 的直角坐标方程. ?x=2cos α ? x2 ∵曲线 C 的参数方程为? (α 为参数),∴曲线 C 的直角坐标方程为 +y2=1. 4 ?y=sin α ?

(2)由 A、B 是曲线 C 上距离最远的两点,则 A、B 为椭圆 C 长轴上的两个端点,由(1)知,A(-2,0),B(2,0),

→ → 假设直线 l 上存在一点 P(x,4-x),使得 PA⊥PB,即PA=(-2-x,x-4),PB=(2-x,x-4), → → 则PA· PB=0,即-(2+x)(2-x)+(x-4)2=0, x2-4x+6=0, ∵Δ=16-24=-8<0,故方程 x2-4x+6=0 无解,即直线 l 上不存在点 P,使得 PA⊥PB. ? ?x=2+tcos α, π 2.(选修 4-4 P36 例 1 改编)已知直线 l 的参数方程为? (t 为参数,α 为倾斜角,且 α≠ ),它与 2 ?y=tsin α ? 2 2 x y 曲线 + =1 交于 A,B 两点. 16 12 (1)写出直线 l 的一般方程及直线 l 通过的定点 P 的坐标; (2)求|PA|· |PB|的最大值.
?x=2+tcos α, ? 解:(1)∵? ?y=tsin α ?

?t为参数,α为倾斜角,且α≠π?, 2? ?
y tsin α = =tan α,∴直线 l 的一般方程为 xtan α-y-2tan α=0. x-2 tcos α 直线 l 通过定点 P 的坐标为(2,0). ?x=2+tcos α, ? (2)∵l 的参数方程为? ?y=tsin α, ? 2 2 x y 椭圆方程为 + =1,右焦点坐标为(2,0). 16 12 又∵3(2+tcos α)2+4(tsin α)2-48=0,即(3+sin2α)t2+12cos α· t-36=0. ∵直线 l 过椭圆的右焦点,∴直线 l 恒与椭圆有两个交点. 36 ∴|PA|· |PB|= . 3+sin2 α π ∵0≤α≤π,且 α≠ ,∴0≤sin2α<1, 2 ∴|PA|· |PB|的最大值为 12. 3.(选修 4-4 P37 例 2 改编)以直角坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.点 M 的极坐标为( 5, π 1 x2 y2 0, ?,椭圆 C: + =1. θ),且 tan θ= ,θ∈? ? 2? 2 16 4 (1)求点 M 的直角坐标与曲线 C 的参数方程; (2)过点 M 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且 M 为线段 AB 的中点,P 是 C 上的一个动点,求△PAB 面积的 最大值. π? 1 2 5 5 解:(1)由 tan θ= ,θ∈? ?0,2?得 cos θ= 5 ,sin θ= 5 ,又 ρ= 5,∴x=ρcos θ=2,y=ρsin θ=1,∴点 M 2 的直角坐标为(2,1). ? ? ?x=acos β ?x=4cos β 将 a=4,b=2 代入? 可得椭圆 C 的参数方程为? (β 为参数). ?y=bsin β ?y=2sin β ? ? ∴

?16+ 4 =1 (2)法一:设 A(x ,y ),B(x ,y ),则? x y ?16+ 4 =1
1 1 2 2 2 2 2 2

x2 1

y2 1



?x1+x2??x1-x2? ?y1+y2??y1-y2? 相减得 + =0. 16 4 y1-y2 1 1 ∵M(2,1)为 AB 中点,∴x1+x2=4,y1+y2=2,代入上式可得 =- ,即直线 l 的斜率 k=- . 2 2 x1-x2 1 ∴直线 l 的普通方程为 y=- x+2. 2

?y=-2x+2 由? x y ?16+ 4 =1
2 2

1



解得 A(0,2),B(4,0),∴|AB|=2 5, 过椭圆 C 上的动点 P 作直线 l1∥l,则当 l1 与椭圆 C 相切时可求点 P 到直线 l 的最大值. 1 x2 y2 设 l1 的方程为:y=- x+m,代入 + =1 整理得 2x2-4mx+4m2-16=0, 2 16 4 2 2 由 Δ=16m -8(4m -16)=0,解得 m=± 2 2. 显然当 m=-2 2,P(-2 2,- 2)时, 4? 2+1? 点 P 到直线 l 距离最大为 d= , 5 4? 2+1? 1 1 从而(S△PAB 最大)= |AB|· d= ×2 5× =4( 2+1). 2 2 5 ? ?x=2+tcos α 法二:设直线 l 的参数方程为? (t 为参数,α 为直线 l 的倾斜角), ?y=1+tsin α ? x2 y2 代入 + =1 整理得(3sin2α+1)t2+4(cos α+2sin α)t-8=0. 16 4 1 ∵M 是 AB 中点,∴t1+t2=0,即 cos α+2sin α=0,∴tan α=- . 2 5 2 5 ∴sin α= ,cos α=- . 5 5 8 ∴t1t2=- =-5, 3sin2α+1 ∴|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2= 0-4×?-5?=2 5. 又直线 l 的普通方程为 x+2y-4=0, 设 P(4cos θ,2sin θ),则 P 到直线 l 的距离 |4cos θ+4sin θ-4| d= 5 π? 4| 2sin? ?θ+4?-1| π 5π θ+ ?=-1,即 θ= +2kπ(k∈Z), = ,∴当 sin? 4 ? ? 4 5 4? 2+1? P(-2 2,- 2)时,dmax= . 5 4? 2+1? 1 1 ∴(S△PAB 最大)= |AB|· dmax= ×2 5× =4( 2+1). 2 2 5



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