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1.3.1 函数的单调性与导数 基础达标(含答案解析)



1.(2013· 马鞍山质检)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是( ) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 解析:选 D.f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′ =(x-2)ex, 令 f′(x)>0, 解得 x>2,故选 D. 2.y=xln x 在(0,5)上是( ) A.单调增函数 B.单调减函数 1?

?1 ? C.在? ?0,e?上单调递减,在? e,5?上单调递增 1? ?1 ? D.在? ?0,e?上单调递增,在?e,5?上单调递减 1 ? 1 1 1 解析: 选 C.y′=ln x+x·=ln x+1, 令 y′>0, 解得 x> , ∵5> , ∴y=xln x 在? ?e,5? x e e 1? 上为增函数,同理可求在? ?0,e?上为减函数. 3.下列区间中,使函数 y=x· cos x-sin x 为增函数的区间是( ) π 3π A.( , ) B.(π,2π) 2 2 3π 5π C.( , ) D.(2π,3π) 2 2 解析:选 B.f′(x)=cos x-xsin x-cos x=-x· sin x, 当 x∈(π,2π)时,f′(x)>0. 4.(2013· 高考课标全国卷)若存在正数 x 使 2x(x-a)<1 成立,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) 1 解析:选 D.∵2x(x-a)<1,∴a>x- x. 2 1 - 令 f(x)=x- x,∴f′(x)=1+2 xln 2>0. 2 ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴f(x)>f(0)=0-1=-1, ∴a 的取值范围为(-1,+∞),故选 D. 5.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函 数,且满足 xf′(x)+f(x)≤0 对任意正数 a、b, 若 a<b,则必有( ) A.af(a)≤f(b) B.bf(b)≤ f(a) C.af(b)≤bf(a ) D.bf(a)≤af(b) 解析:选 C.设 g(x)=xf(x), 则由 g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0, 知 g(x)在(0,+∞)上递减. 又 0<a<b,f(x)≥0,∴bf(b)<af(a),∴af(b)<bf(b)<af(a)<bf(a). 当 f(x)=0 时,f(b)=f(a)=0,∴af(b)≤bf(a).故选 C. 3 3 6.若函数 y=a (x3-x)的单调减区间为(- , ),则 a 的取值范围是________. 3 3 3 3 3 3 解析:由 f′(x)=a(3x2-1)=3a?x- ??x+ ?<0 的解集为?- , ?,知 a>0. 3 ?? 3? 3? ? ? 3

答案:(0,+∞) 4 7. (2013· 武汉调研)若函数 y=- x3+ax 有三个单调区间, 则 a 的取值范围是________. 3 解析:∵y′=-4x2+a,且 y 有三个单调区间, ∴方程 y′=-4x2+a=0 有两个不等的实根, ∴Δ=02-4×(-4)×a>0, ∴a>0. 答案:(0,+∞) 8.如果函数 f(x)=2x 2-ln x 在定义域内的一个子区间(k-1,k+1)上不是单调函数,那 么实数 k 的取值范围是________. 解析:显然函数 f(x)的定义域为(0,+∞), 2 1 4x -1 y′=4x- = . x x 1 ? 由 y′>0,得函数 f(x)的单调递增区间为? ?2,+∞?;由 y′<0,得函数 f(x)的单调递减 1? 区间为? ?0,2?,由于函数在区间(k-1,k+1)上不是单调函数,
[来源:Z|xx|k.Com]

? ?k-1<1, 2 ∴? 1 ? ?k+1>2,

k-1≥0,

3 解得:1≤k< . 2

3 答案:[1, ) 2 9.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=-x2+ln(x+1); (2)f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x≤2π). 解:(1)∵函数 f(x)的定义域为(-1 ,+∞), 1 且 f′(x)=-2x+ (x+1)′ x+1 -2x2-2x+1 1 =-2x+ = (x>-1), x+1 x+1 由-2x2-2x+1>0,即 2x2+2x-1<0 得 1+ 3 -1+ 3 - <x< ,又 x>-1, 2 2 -1+ 3 ∴f(x)的单调增区间是(-1, ), 2 ?-1+ 3 ?. 类似可得 f(x)的单调减区间是? ? ? 2 ,+∞? (2)f′(x)=cos x(1+cos x)+sin x(-sin x) =2cos2x+cos x-1 =(2cos x-1)(cos x+1). ∵0≤x≤2π, π 5 ∴由 f′(x)=0 得 x1= ,x2=π,x3= π, 3 3 则区间[0,2π]被分成四个子区间,如表所示: π π π x 0 π (0, ) ( ,π) 3 3 3 0 0 f′(x) + - f(x) ↗ ↘
[来源:学科网 ZXXK]

(π,

5π ) 3 - ↘

5π 3 0

5π ( ,2π) 3 + ↗



π 5π ∴f(x)=sin x(1+cos x)(0≤x≤2π)的单调递增区间为[0, ],[ ,2 π],单调递减区间为 3 3 π 5π [ , ]. 3 3 10.已知 a≥0,函数 f(x)=(x2-2ax)ex.设 f(x)在区间[-1,1]上是单调函数,求 a 的取 值范围. 解:f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex =ex[x2+2(1-a)x-2a]. 令 f′(x)=0,即 x2+2(1-a)x-2a=0. 解得 x1=a-1- 1+a2,x2=a-1+ 1+a2, 其中 x1<x2. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况见下表: x x1 x2 (-∞,x1) (x1,x2) (x2,+∞) 0 0 f′(x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ ∵a≥0, ∴x1<-1,x2≥0,f(x)在(x1,x2)上单调递减. 由此可得 f(x)在[-1,1]上是单调函数的充要条件为 x2≥1,即 a-1+ 1+a2≥1,解得 3 a≥ . 4 3 ? 故所求 a 的取值范围为? ?4,+∞?.
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