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高中数学人教A版必修1课件:3.2.2 函数模型的应用实例



3.2.2 函数模型的应用实例

-1-

1.会利用已知函数模型解决实际问题. 2.能建立函数模型解决实际问题. 3.了解利用拟合函数模型解决实际问题.

函数模型的应用 (1)用已知的函数模型刻画实际问题; (2)建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解释有关现象,对 某些发展趋势进行预测,其基本过程如图所示:

名师点拨巧记函数建模过程: 收集数据,画图提出假设; 依托图表,理顺数量关系; 抓住关键,建立函数模型; 精确计算,求解数学问题; 回到实际,检验问题结果.

【做一做1】 一辆汽车的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所 示,那么图象所对应的函数模型是( ) A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 答案:A

【做一做 2】 已知大气压强 p(单位:百帕)与海拔高度 h(单位: 米)的关系式为 p=1 000· 百帕. 解析 :当 h=6 000 米时 ,p=1 000· 答案 :4.9
7 100
6 000 3 000

7 100

? 3 000

, 则海拔 6 000 米处的大气压强为

= 4.9(百帕).

1.常用的函数模型 剖析:在实际问题中,常用的函数模型如下表所示:
函数模型 正比例函数模型 反比例函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 解析式 f(x)=kx(k 为常数 ,k ≠0) f(x) = (k 为常数 ,k ≠0)
x k

f(x)=kx+b(k,b 为常数 ,k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数 ,a≠0) f(x)=a· bx+c(a,b,c 为常数 ,a≠0,b>0,b≠1) f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数 ,m≠0, a>0,a ≠1) f(x)=a· xn+b(a,b,n 为常数 ,a≠0,n ≠1)

2.在应用题中列出函数解析式的三种方法 剖析:解答应用题的实质是要转化题意,寻找所给条件中含有的 相等关系,用等式把变量联系起来,然后再整理成函数的解析式的 形式.常用的方法有: (1)待定系数法:若题目给出了含参数的函数关系式,则可用待定 系数法求出函数解析式中相关参数的值,从而得到确定的函数解析 式. (2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中 发现规律;再推广到一般情形,从而得到函数解析式. (3)方程法:用x,y表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意 义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出关于x,y的二元方程; 把x看成常数,解方程得y(即函数关系式),此种方法形式上和列方程 解应用题类似,故称为方程法.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型一

已知函数模型的应用题

【例1】 灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是 θ1 ℃,室内气温是θ0 ℃,t min后,开水的温度可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)ekt求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种 类型的热水瓶,测得瓶内水温为100 ℃,过1 h后又测得瓶内水温变 为98 ℃.已知某种奶粉必须用不低于85 ℃的开水冲调,现用这种类 型的热水瓶在早上六点灌满100 ℃的开水,问:能否在这一天的中午 十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20 ℃)? 分析:先用待定系数法来确定k的值,然后根据给出的时间列出方 程,解出水的温度,并与85 ℃相比,若高于这个温度,该热水瓶的水就 可以用,否则不可以用.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:根据题意,有 98=20+(100-20)e

-60k

,整理得 e

-60k

=

39 . 40

利用计算器,解得k≈0.000 422. 故θ=20+80e-0.000 422t. 从早上六点至中午十二点共6 h,即360 min. 当t=360时,θ=20+80e-0.000 422×360=20+80e-0.151 92.由计算器算得 θ≈89 ℃>85 ℃,即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调 奶粉.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练1】 某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且已知病毒 的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数), 则k= ,经过5 h,1个病毒能繁殖为 个. 解析:当t=0.5时,y=2,
∴2=
e2 ; ∴k=2ln

2,∴y=e2tln 2=22t.

∴当t=5时,y=22×5=1 024.
答案:2ln 2 1 024

题型一

题型二

题型三

题型四

题型二

建立函数模型的应用题

【例 2】 某投资公司投资甲、 乙两个项目所获得的利润分别是 M(单位:亿元)和 N(单位 :亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有 经验公式:M=
1 3

,N= . 今该公司将用 3 亿元投资这两个项目,若

1 6

设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元 . (1)写出 y 关于 x 的函数表达式; (2)求总利润 y 的最大值. 分析 :(1)总利润 =投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2) 转化为求(1)中函数的最大值 .

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)当甲项目投资 x 亿元时 ,获得利润为 M= 乙项目投资 (3-x)亿元 ,获得利润为 N=
1 (3-x),x∈[0,3]. 6

1 (3-x)(亿元),则有 6

1 3

(亿元),此时 y=
1 3

+

(2)令 = ,t∈[0, 3], 则x=t2, 此时 y=
1 1 1 2 2 + (3-t )=? (t-1)2 + . 3 6 6 3 2 x=1 时 ,y 有最大值 ,为 , 即总利润y 的 3

由 t∈[0, 3], 知当t=1,即
2 最大值是 亿元. 3

题型一

题型二

题型三

题型四

反思当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤是: 第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景, 找出题意中所蕴含的函数关系; 第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函 数问题,即实际问题函数化; 第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函 数问题的解; 第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检 验所得的结论是否符合实际问题的意义.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵. 记鲑鱼的游速为 v(单位 :m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发 现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时 ,v=1. 100

(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式; (2)计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数; (3)一条鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变 化?

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)设 v=k· log3
1

, 100

∵当 Q=900 时 ,v=1,∴ 1=k· log3 , 100
(2)令 v=1.5,则 1.5 =
1 log3 , 2 100

900

∴k= 2 , ∴v 关于 Q 的函数解析式为 v= 2 log3 100.
解得 Q=2 700,故一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时 ,耗氧量为 2 700 个单位 . (3)设鲑鱼耗氧量为 Q1,Q2 时 ,游速分别为 v1,v2, 由题意 :v2-v1=1, 即 log3 ∴
2 1 1 ? log3 1 = 1. 2 100 2 100 1 log3 2 = 1, ∴ 2 = 9, 即Q2=9Q 1. 2 1 1

1



故鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍 .

题型一

题型二

题型三

题型四

题型三

拟合函数模型的应用题

【例3】 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立 了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有 连续10年的实测资料,如下表所示.

题型一

题型二

题型三

题型四

年序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

最大积雪深度 x/cm 15.2 10.4 21.2 18.6 26.4 23.4 13.5 16.7 24.0 19.1

灌溉面积 y/hm2 28.6 21.1 40.5 36.6 49.8 45.0 29.2 34.1 45.8 36.9

题型一

题型二

题型三

题型四

(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象; (2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出 图象; (3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,请估计 可以灌溉的土地面积是多少? 分析:首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象来判断 问题所适用的函数模型.

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)描点作图如图甲:

题型一

题型二

题型三

题型四

(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们 假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx(a,b为 常数,b≠0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx, 21.1 = + 10.4, 得 45.8 = + 24.0,
用计算器可算得a≈2.4,b≈1.8. 这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙, 可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能 较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系. (3)由(2),得当x=25时,y=2.4+1.8×25=47.4,即当最大积雪深度为 25 cm时,估计可以灌溉土地47.4 hm2.

题型一

题型二

题型三

题型四

反思对于此类的实际应用问题,关键是建立适当的函数关系式,再 解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答.这个过 程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是: (1)根据原始数据,绘出散点图. (2)通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或 拟合曲线. (3)根据所学的函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式. (4)利用函数关系式,根据条件对所给的问题进行预测,为决策和 管理提供依据.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练3】 某企业常年生产一种出口产品,自2012年以来,每 年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2012年为第1年,前4年 年产量f(x)(单位:万件)如下表所示:
x f(x) 1 4.00 2 5.58 3 7.00 4 8.44

(1)画出2012~2015年该企业年产量的散点图; (2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变 化的函数模型,并求出函数解析式; (3)2016年(即x=5)因受到某种原因的影响,年产量减少30%,试根 据所建立的函数模型,确定2016年的年产量为多少?

题型一

题型二

题型三

题型四

解:(1)画出散点图,如图所示. (2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a≠0). + = 4, 由已知得 3 + = 7, = 1.5, 解得 = 2.5. ∴f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5, 且|5.58-5.5|=0.08<0.1. f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.06<0.1. ∴一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化. (3)根据所建的函数模型,预计2016年的年产量为 f(5)=1.5×5+2.5=10(万件), 又年产量减少30%,即10×(1-30%)=7(万件),即2016年的年产量 为7万件.

题型一

题型二

题型三

题型四

题型四

易混易错题

易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制 【例4】 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x. 问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.

题型一

题型二

题型三

题型四

错解 :设四边形 EFGH 的面积为 S, 则 S=ab-2
1 2 2

+

=-2x2+(a+b)x=-2
+ 时,S 4

1 (-)(-) 2 + 2 (+)2 + . 4 8

根据二次函数的性质可知 , 当 x=
(+)2 有最大值 . 8

错因分析 :错解中没有考虑所得二次函数的定义域,就直接利用 二次函数的性质求解,从而导致出错 .

题型一

题型二

题型三

题型四

正解 :设四边形 EFGH 的面积为 S,则 S=ab-2
(+)2 ,x∈(0,b]. 8 1 2 2 1 + (-)(-) 2

= ?2x +(a+b)x=-2
2

+ 2 4

+

因为 0<b<a,所以 0<b<

(+)2 有最大值 ; 8 + 当 > , 即a>3b 时 ,易知 S(x)在 (0,b]上是增函数 ,所以当 4

+ + + .当 ≤b,即 a≤3b 时 ,当 x= 时,S 2 4 4

x=b

时 ,S 有最大值 ab-b2. 综上可得 :当 a≤3b,x= 时 ,S 有最大值 ab-b2.
+ 时,S 4 (+)2 有最大值 ; 当a>3b,x=b 8

题型一

题型二

题型三

题型四

反思利用函数解决实际问题时,要遵循定义域优先的原则,即必须 考虑到自变量的实际意义,否则会出现错解.

题型一

题型二

题型三

题型四

【变式训练4】 渔场中鱼群的最大养殖量为m(m>0),为了保证鱼 群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼 群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养 殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k>0). (1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域; (2)求鱼群年增长量的最大值.

题型一

题型二

题型三

题型四

解 :(1)根据题意知 ,空闲率是 y=kx· ,0<x<m.
-

- , 故y 关于

x 的函数关系式是

- = ? 2+kx 2 =? + ,0<x<m. 2 4 则当 x= 时 ,ymax = . 2 4 所以 ,鱼群年增长量的最大值为 . 4

(2)由 (1)知 ,y=kx·



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