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与数论有关的竞赛题类型探究



第 6期  章 国水 : 与 数 论 有 关的 竞 赛 题 类 型 探 究  ?5 ?   ( 2 0 1 1 年 全 国初 中数 学联 赛试题 )   解  当 / 2<8时 ,   2  + 2 5 6= 2   ( 1+ 2   ) .   而得 到 , z =1 1 .   评注 指数 不定 方程 的形式 千姿 百态 , 很 多 问  题形 式简 单 , 解答 较 为 复 杂. 不 过 由 于初 中所 学 内  若 它是 完全 平方 数 , 则 n必 为偶数. 但 易知 1+ 2   不是 完 全平 方 数.   当   >8时 ,   2  +2 5 6 =2   f 2   一 。+1  .   容的限制 , 命题 时常常设定其解答方法为常用的相  关 策略 , 本例 结合 “ 2的正整 数 次幂 ” , 借助 “ 奇偶 分  析” 加 以解 答 .   不定 方 程作 为数 论 的一 个分支 , 有 着悠 久 的历  若 它是 完全 平 方 数 , 则2   +1为 某 个 奇 数 的 平  方. 设2 一。 +1=( 2 k+1 )   ( k为 自然 数 ) , 则  2   一  =  ( j } +1 ) 。   史与丰富的内容 , 其案例不一而足 , 对应的解 法也  不拘 一格. 很 多不 同形 式 的不 定方程 , 其解 法相 通 ,   往往需 要 多种 方法 同时运 用 , 需 要读 者在 深谙 相关  方法 和技巧 的基 础 上灵 活运 用.   由于 k和 k +1一个 为奇 数一个 为偶 数 , 则 k=1 , 进  与 数 论 有 关 的 竞 赛 题 类 型 探 究  ●章 国水  ( 元培中学 浙江绍兴 3 1 2 0 0 0 )   a i + 2 是奇数, 这 说 明 一个 偶 数后 面 一定 要接 2个 或  初 等 数论 问题 是数 学竞 赛 的热点 内容 , 它 所涉  及 的范 围 主要 有十进 制整 数及 表示 方 法 、 奇 数 和偶  数、 整除 性 ( 被 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 9 , 1 1等 数 整 除 的 判  2个 以上 的 奇 数 , 除 非 接 的这 个 奇 数 是 最 后 一个  数.   定) 、 素 数 和合数 、 最 大 公 约数 与 最 小 公 倍 数 、 带 余  除法 、 同余 、 完全 平 方 数 、 不 定 方程 等 等 . 初 等 数 论  问题 在初 中数 学竞 赛 中 占有 较 大 比例 , 本 文 通过对  因此 口 1 , n 2 , 0 3 , 口 4 , 0 5只 能是 : 偶, 奇, 奇, 偶,   奇, 有 如 下 5种 情 形 满足 条 件 : 2 , 1 , 3 , 4, 5 ; 2 , 3 , 5 ,   4, 1 ; 2 , 5 , 1 , 4, 3 ; 4, 3 , 1 , 2 , 5 ; 4 , 5, 3 , 2 , 1 . 故选 D .   2 带余 除 法  全 国各地初中数学竞赛 中的有关初等数论 的试题  进 行研 究 , 结合 一些 有关 数论 的竞 赛试 题 进行 题型  及解 法 介绍 .   给定 整数 a , b , b ≠0 , 如果 有 整 数 q , r ( 0 ≤r <   I   b   I ) 满 足 a=q b+r , 则 q和 r 分 别称 为 a除 以 b的  商 和余 数. 特别 地 , 当r = 0时 , 称 a被 b整 除 ,


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