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浙江省宁波市效实中学学高一数学下学期期中试题-精


浙江省宁波市效实中学 2015-2016 学年高一数学下学期期中试题
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分. 1. sin 20? cos170? ? cos 20? sin10? ? A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

D.

1 2

2.若等差数列 ?an ? 满足 a3 ? a5 ? a7 ? a9 ? a11 ? 80 ,则 a8 ? A. 8 B. 9 C. 10

1 a9 ? 2 D. 11

3.若 A 是 ?ABC 的内 角,当 cos A ? A. ?

3 5

B.

3 5

7 A ,则 cos ? 25 2 4 C. ? 5

D.

4 5

4.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,则下列四个命题: ①数列 ?an ? 是递 增数列; ③数列 ? ② 数列 ?nan ? 是递增数列; ④数列 ?an ? 3nd? 是递增数列;

? an ? ? 是递增数列; ?n?

其中正确命题的个数为 A. 1 B. 2

C. 3

5.若 tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 ? 0, ? , ? ? ( A.

?
2

D. 4

, ? ) ,则 ? ? ? 为
D.

3? 5? ? B. C. 4 4 4 6.若 sin C ? sin( B ? A) ? sin 2 A ,则 ?ABC 的形状为
A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形

7? 4
D.等边三 角形

C.等腰直角三角形

7.等比数列 ?an ? 的前 4 项和为 5 , 前 12 项和为 35 , 则前 8 项和为 A. ?10 B. 15 C. ? 15 D. ?10或15

8. 已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? a , 其前 n 项和为 Sn , 且满足 Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ? 4(n ? 2) . 若对任意的 n ? N , an ? an?1 恒成立,则 a 的取值范围是
*

A. (

23 29 , ) 4 4

B. (

20 29 , ) 3 4

C. (

23 20 , ) 4 3

D. ( ?? ,

20 ) 3

二、填空题:本大题共 7 小题,共 25 分.

1

9 .已知钝角 ..?ABC 的面积为 ▲ .

1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则角 B ? 2




, AC ?

10.若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? 前 n 项和有最 ▲ 值.

时,数列 ?an ? 的

11. ?ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a, b, c , a ? 2, B ? 45? ,①当 b ? ▲ 个解;②若三角形有两解,则 b 的取值范围是 ▲ .

2 时,三角形有

12 . f ( x) ? cos( ▲ .

?
2

? x) ? cos x ? 3 sin 2 x 的 最 小 正 周 期 为



,单调递减区间为

13.若等 差数列 {4n ? 1} 与等比数列 {3 } 的公共项按照原来的顺序排成数列为 {an } ,
n

则 a8 ?

▲ .

14.设数列 ?an ? 是等差数列,前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 是单调递增的 等比数列, b1 ? 2 是

a1 与 a2 的等差中项 ,a3 ? 5 ,b3 ? a4 ? 1,若当 n ? m (m ? N * ) 时,Sn ? bn 恒成立,
则 m 的最小值为 ▲ . 15.数列 ?an ? 满足: 2a1 ? 2 a2 ? 2 a3 ? ? ? 2 an ? (n ? 1) (n ? N*) ,则数列 ?an ? 的前
2 3 n 2

n 项和为 ▲ .
三、解答题:本大题共 5 小题,共 51 分.要求写出解题过程或演算步骤. 16. (本题满分 8 分)用数学归纳法证明 1 ? 3 ? 6 ? ? ?

n(n ? 1) n(n ? 1)(n ? 2) ? . 2 6

17. (本题满分 10 分)已知 sin( x ?

?
4

)?

7 7 2 , cos 2 x ? , 25 10

(I)求 cos ?

? 7? ? ? x ? 的 值; ? 12 ?

(II)求

sin 2 x ? 2sin 2 x 的值. 1 ? tan x

2

18( .本题满分 10 分) 在 ?ABC 中, 角 A,B,C 所对边分别为 a, b, c , (I)若 b ? 3 ,求 ?ABC 周长的取值范围;

sin A a ?b ? 1? . sin B ? sin C a?c

(II)设 m ? ? sin A,1? , n ? ?6 cos B, cos 2 A ?, 求 m ? n 的取值范围.

u r

r

u r r

19. (本题满分 11 分)数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足: 2S n ? 3an ? 6n(n ? N*) (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 b n ?

an

?n

,其中常数 ? ? 0 ,若数列 ?bn ? 为递增数列,求 ? 的取值范围.

20. (本题满分 12 分)已知数列 ?x n ?满足 x 1 ? 1 , x 2 ? ? ,并且 数, n ? 2,3,4,?) . (Ⅰ)若 x1 , x3 , x5 成等比数列,求 ? 的值;
? (Ⅱ)设 0 ? ? ? 1 ,常数 k ? N ,证明

xn?1 x ? ? n ( ? 为非零常 xn xn?1

x1? k x2? k x ?k ? ? … ? n?k ? (n ? N? ) . x1 x2 xn 1 ? ? k

3

答案 1~5 CADBD 6~8 BBC

3? 5? 11? , k? ? ], k ? Z ; , 5 ; 10、8,大; 11、1, ( 2, 2) ; 12、? ,[ k? ? 4 12 12 11 2n ? 5 8 13、 9 ; 14、 4 ;15、 ? 2 2n 1? 2 ? 3 ? 右边,等式成立 16、证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ? 6 k (k ? 1) k (k ? 1)(k ? 2) ? (2)假设 n ? k 时等式成立,即 1 ? 3 ? 6 ? ? ? 2 6 当 n ? k ? 1 时, k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) k (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) 1? 3 ? 6 ??? ? ? ? 2 2 6 2 k (k ? 1)(k ? 2) ? 3(k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)( k ? 2)( k ? 3) ? ? ,所以等式成立 6 6
9、 由(1) (2)知,原等式成立。 17、解: (I)

24 7 6? 2 ; (2) ? 175 20

18、解: (I)

sin A a ?b b ?c a b?c 2 2 2 ? 1? ? ? , , a ? c ? b ? ac , sin B ? sin C a?c a?c b?c a?c

故 cos B ?

1 a b c 3 ? ? ? ? 2, , 2 sin A sin B sin C sin ? 3

周长 l ? a ? b ? c ? 3 ? 2sin A ? 2sin B ? 所 以 A?

? 1 ? ? ? ), sin( A ? ) ? ( ,1) ( Q A ? ? 即 A ? 时 , a ? c , 6 6 6 6 2 6 2 3 sin A a ?b ? 1? 不成立) , l ? (1 ? 3, 2 ? 3) 。 sin B ? sin C a?c u r r 3 2 17 2 (II) m ? n ? 6sin A cos B ? cos 2 A ? ?2sin A ? sin A ? 1 ? ?2(sin A ? ) ? 4 8 u r r 2? 17 ) , sin A ? (0,1] , m ? n ? (1, ] 。 因为 A ? (0, 3 8
?( ,
19、 (I) n ? 2 , 2S
n?1

?

? 5?

? 2? 3 ? 2sin( A ? ) ,因 A ? (0, ) 6 3

? 3an?1 ? 6(n ?1) , 2a n ? 3an ? 3an?1 ? 6 ,

an ? 3an?1 ? 6 ,?an ? 3 ? 3(an?1 ? 3) , {an ? 3} 是等比数列,公比为 3 。
又 2a1 ? 3a1 ? 6 , a1 ? 6 ,?an ? 3 ? (a1 ? 3) ? 3 (II) b n ?
n?1

? 3n?1 ,? an ? 3n?1 ? 3

?n

an

?

3n?1 ? 3

?n

,因为数列 ?bn ? 为递增数列, b

n ?1

? bn 恒成立。
4



3n ? 2 ? 3

? n ?1

?

3n ?1 ? 3

?n

3n ? 2 ? 3 6 ? 3 ? n ?1 恒成立, ? ? n ?1 ,? 0 ? ? ? 3 3 ?3 3 ?3

20、 (1) x3 ? ? 3 , x4 ? ? 6 , x5 ? ?10 ,因为 x1 , x3 , x5 成等比数列, x32 ? x1x5 ,

? ? ?1
(2)?

xn?1 x x x x ? ? n , { n ?1 } 是以 2 ? ? 为首项, ? 为公比的等比数列, n?1 ? ? n xn xn?1 x1 xn xn
n ( n ?1) 2

方法 1: xn ? ?

,设 an ?

( n ? k )( n ? k ?1) n ( n ?1) ( k ?1) k ? kn ? xn? k 2 2 2 , ?? ?? xn



an ? ? k ,?{an } 为等比数列 an?1
( k ?1) k 2 2 (1 ? ? nk ) nk ? ? (1 ? ? ) 1? ? k 1? ? k ( k ?1) k

左? ?

( k ?1) k (k ? 1)k ? ? k ,? ? 2 ? ? k ,因为 0 ? ? ? 1 ,常数 k ? N? , 0 ? 1 ? ? nk ? 1 , 2

所以 (1 ? ? )
nk

?

( k ?1) k 2

1? ?k

?

?k x1? k x2? k xn?k ?k ,即 。 ? ? … ? ? 1? ?k x1 x2 xn 1 ? ? k

( n ? k ?1? n ) k ( k ?1) k kn ? xn?k xn?k xn?k ?1 xn?1 n ? k ?1 n?k ?2 n 2 2 方法 2: ? ? ? …? ?? ?? ?…? ? ? ? ?? xn xn?k ?1 xn?k ?2 xn ( k ?1) k x1?k x2?k x ? ? … ? n? k ? ? 2 (? k ? ? 2k ? … ? ? nk ) x1 x2 xn
( k ?1) k

??

( k ?1) k 2

( k ?1) k 2 1 ? ? nk (k ? 1)k nk ? 2 ? ? k ? ? ? ?k , ??k ? ? (1 ? ? ) , , k k 2 1? ? 1? ?

nk ? 因为 0 ? ? ? 1 ,常数 k ? N , 0 ? 1 ? ? ? 1 ,

所以 (1 ? ? )
nk

?

( k ?1) k 2

1? ?k

?

?k x1? k x2? k xn?k ?k ,即 。 ? ? … ? ? 1? ?k x1 x2 xn 1 ? ? k

5


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