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广东省2012届高三全真模拟卷数学文 14



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学文科 14
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合 题目要求的 1、如图所示,U 表示全集,则用 A 、B 表示阴影部分正确的是( A. CU ( A ? B ) C. CU ( A ? B ) B. CU A ? CU B D. A ? B
?

/>2 ) 在其定义域上是(

)

2、函数 f ( x) ? 2 sin( x ? A.奇函数

) D. 减函数 ). D、10

B. 偶函数

C. 增函数

3、等差数列 ?a n ? 中,a 3 ? 7, a 9 ? 19, 则a 5为 ( A、13 B、12 C、11
2

4、原命题: “设 a、b、c ? R, 若a ? b, 则ac >bc”以及它的逆命题,否命题、逆否命题中, 真命题共有( A.
0

)个. B. C . 2
??? ? ??? ? ??? ?

D. 4 )

5、已知正方形 ABCD 边长为 1,则 AB ? BC ? AC ? ( A. 0 B. 2 C . 2

D. 2 2 )

6、一个正方体的体积是 8, 则这个正方体的内切球的表面积 是( A、 8? B、 6? C、 4? D、 ? )

7、方程 Ax ? By ? C ? 0 表示倾斜角为锐角的直线,则必有( A. AB ? 0 B. AB ? 0
x
2

C . BC ? 0
2

D. BC ? 0 ).

8、若焦点在 x 轴上的椭圆
3 2

?

y

? 1 的离心率为
8 3

1 2

,则 m =(
2 3

2

m

A、

B、 3

C、

D、

9、在空间直角坐标系 O ? xyz 中,过点 M (?4, ?2, 3) 作直线 OM 的垂线,则直线与平面 Oxy 的 交点 P( x, y, 0) 的坐标满足条件( A. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 C. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 )

B. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0 D. 4 x ? 2 y ? 29 ? 0
n n

10 、 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 于 任 意 的 a 、 b ? R , 满 足
f ( ab) ? af (b) ? bf ( a ) , f (2) ? 2 , an ?
f (2 ) n

( n ? N? ) bn ? ,

f (2 ) 2
n

( n ? N? ).考查

下列结论:① f (0) ? f (1) ;② f ( x) 为偶函数;③数列 {an } 为等比数列;④ {bn } 为等差数 列。其中正确的是 A、①②③ B、①③④ C、③④ ( D、①③ )

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11 ? 13 题) 11.有一杯 2 升的水,其中含有 1 个细菌,用一个小杯从这杯 水中取出 0.3 升的水,则小杯水中含有这个细菌的概率_______

12. 某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 日 9 时 至 14 时的销售额进行统计,其频率分布直方图如图 1 所示.已知 9 时至 10 时 的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时 的销售额为____万元 13. 阅读图 2 所示的框图,若输入 x 的值为 3,则输出 y 的值为____ _____ (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题) 如右图, A 、 B 是两圆的交点, AC 是小圆的直径,
D

和 E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点,已知 AC ? 4, BE ? 10 ,且 = .
?
4 )? 2 2

BC ? AD ,则 DE

15. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? A ( 2,
7? 4 ) 到这条直线的距离为________

,则点

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知 tan A ? 边长为 l. ,求: (1)角 C 的大小; (2)△ABC 最短边的长.
1 2 , tan B ? 1 3

,且最长边的

17 . (本小题满分 12 分) 央视为改版后的某栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为 3 分 30 秒,广告时 间为 30 秒,收视观众为 60 万,宣传片乙播映时间为 1 分钟,广告时间为 1 分钟,收视观众

为 20 万.广告公司规定每周至少有 3.5 分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不 多于 16 分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多? 18. (本小题满分14分) 如图组合体中,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧面 ABB1 A1 是圆柱 的轴截面, C 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点. (Ⅰ)求证:无论点 C 如何运动,平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ; (Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比 19. (本小题满分 14 分)甲、乙两人进行射击比赛,在一轮比赛中,甲、乙各射 击一发子弹.根据以往资料知,甲击中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.6,0.3,0.1,乙击 中 8 环,9 环,10 环的概率分别为 0.4,0.4,0.2. 设甲、乙的射击相互独立. (Ⅰ)求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率; (Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率.

20. (本小题满分 14 分) 抛物线 y 2 ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 , 该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与到定 点 N 的距离相 等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x 相切的圆. (1)求定点 N 的坐标; (2)是否存在一条直线同时满足下列条件: ①分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ②被圆 N 截 得的弦长为 2 . 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f ( x ) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围;
n

(Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( ? x) ,求证: F (1) F (2) ? F (n) ? (e

n ?1

? 2) 2 ( n ? N )

?

参考答案

一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 B 8 A 9 C 10 B

选择题参考答案: 1. 从图形可以看出阴影部分为 CU ( A ? B ) ,选 A 2. 将函数表达式化简 f ( x) ? 2 sin( x ?
?
2 ) ? 2 cos x ,由于余弦函数是偶函数,则该函数也

是偶函数,因为余弦函数在整个定义域上单调性不唯一,则整个定义域上不是单调函数,选 B 3.根据公式 a3 ? a1 ? 2d ? 7, a9 ? a1 ? 8d ? 19 , 解方程得到 ?
? a1 ? 3 ?d ? 2

故 a5 ? a1 ? 4d ? 11 ,选 C 4. 因 为 c 可 能 为 0 , 则 原 命 题 不 成 立 , 逆 否 命 题 也 不 成 立 , 逆 命 题 为 “ a、b、c ? R, 若ac ? bc , 则a ? b ” 显然是成立的,则否命题也 成立,选 C
2 2

5.化简:

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC ? AC ? AC ? AC

=2 AC ? 2 2 ,选 D 6.正方体的体积为 8,故边长为 2,内切球的的半径为 1,则表面积 S ? 4? R 2 ? 4? ,选 C 7.倾斜角为锐角, 则直线的斜率为正数, Ax ? By ? C ? 0 , 由 则斜率 k ? ?
A B ? 0, 化简 AB ? 0 ,

??? ?

选B

8.由题意,则 a ?

2, c ?

2 ? m, e ?

c a

?

2?m 2

?

1 2



化简后得 m ? 1.5

,选 A

9.本题可利用排除法,点 M (?4, ?2, 3) 必符合直线,代入检验,C 选项符合题意 10, 令 a ? b ? 0 , 得 到 f (0) ? 0 ; a ? b ? 1 , 得 到 f (1) ? 0 , 故 ① 正 确 ,
f ( ab) ? af ( b) ? bf ( a)
n ?1



f (2) ? 2
n n

, (

n?N

?

) ,

bn ?

f (2 ) 2
n

n



bn ?1 ?

f (2 2

)

n ?1

?

f (2 ? 2 )
n

2

n ?1

?

2 f (2 ) ? 2 f (2) 2
n ?1

? bn ? 1 ,

说明 {bn } 为等差数列,故④正确,同理③可以类似推出,观察选项,选 B

二、填空题:本大题查基本知识和基本运算, 体现选择性.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题. 11.
3 20

12. 13.

10

14. 6 3
2 2

15.

填空题参考答案:

11.本题为几何概型,概率为体积之比,即 P ?

0.3 2

? 0.15

12.观察统计表格中两段的频率之比,则人数为 2.5 ?

0.4 0.1

? 10 (万)

13.由 3 ? 1 ,则代入 y ? x ? 4 x ? 4 计算可得到 y ? 1
2

14. 设 BC ? AD ? x ,连接 AE , ?CAE ? ?CED ,则有

CA CE

?

CB CD

,?

4 x ? 10

?

x 4? x

, ,化简

得到 x ? 2 ,根据勾股定理,则 DE ? 12 ? 6 ? 6 3
2 2

15. 直线 ? sin(? ?

?
4

)?

2 2

,可化为 x ? y ? 1 ? 0 ,点 A ( 2,

7? 4

) 可化为 A( 2, ? 2) ,根据

点到直线的距离公式 d ?

2?

2 ?1 2

?

2 2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解: (1)tanC=t an[π -(A+B)] ??2 分 =-tan(A+B)
1 ?? tan A ? tan B 1 ? tan A tan B ?? 2 1? 1 2 ? 1 3 ? 1 3 ? ?1

??4 分

∵0 ? C ?? , ∴C ?

3? 4

??6 分

(2)△ABC 最短边的长. 解:∵0<tanB<tanA,∴A、B 均为锐角, 则 B<A, 又 C 为钝角,∴最短边为 b ,最长边长为 c ??8 分 由 tan B ?
1 3


10 10

解得 sin B ? 由
b sin B ? c

,??10 分

sin C

∴b ?

c ? sin B sin C

1? ?

10 10 ? 5 5 2 2

??12 分

17. (本小题满分 12 分) 解:设电视台每周应播映片甲 x 次,片乙 y 次总收视观众为 z 万人. 则有如下条件:

目标函数

??6 分

作出满足条件的区域:如下图

由图解法可得:当 x=3, y=2 时,zmax=220.??10 分 答:电视台每周应播映甲种片集 3 次,乙种片集 2 次才能使得收视观众最多.??12 分

18. (本小题满分 14 分) 证明: 因为侧面 ABB1 A1 是圆柱的的轴截面, 是圆柱底面圆周上不与 A 、 B 重合一个点,所以 AC ? BC ???2 分 又圆柱母线 AA1 ?平面 ABC ,
BC ? 平面 ABC ,所以 AA1 ? BC ,

又 AA1 ? AC ? A ,所以 BC ?平面 A1 AC , 因为 BC ? 平面 A1 BC , 故平面 A1 BC ? 平面 A1 AC ;?????????????6 分

(Ⅱ)当点 C 是弧 AB 的中点时,求四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比。 解:设圆柱的底面半径为母线长度为 h , 当点 C 是弧 ? 的中点时,三角形 ABC 的面积为 r , AB
2

三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 r 2 h , 三棱锥 A1 ? ABC 的体积为 r 2 h ,
3 1

四棱锥 A1 ? BCC1 B1 的体积为 r 2 h ?

1 3

r h?
2

2 3

r h,
2

??????10 分 圆柱的体积为 ? r 2 h , ??????????12 分

四棱锥 A1 ? BCC1 B1 与圆柱的体积比为 2 : 3? .???????14 分

19. (本小题满分 14 分 ) 解:记 A1,A2 分别表示甲击中 9 环,10 环,
B1,B2 分别表示乙击中 8 环,9 环,
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数, B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数,

C1,C2 分别表示三轮中恰有两轮,三轮甲击中环数多于乙击中的环数.

(Ⅰ) A ? A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 ? B2 ,??????2 分
P ( A) ? P ( A1 ? B1 ? A2 ? B1 ? A2 ? B2 ) ? P ( A1 ? B1 ) ? P ( A2 ? B1 ) ? P ( A2 ? B2 ) P ( A1 ) ? P ( B1 ) ? P ( A2 ) ? P ( B1 ) ? P ( A2 ) ? P ( B2 )

? 0.3 ? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.1? 0.4 ? 0.2 .??????7 分

Ⅱ)求在独立的三轮比赛中,至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率. 解: B ? C1 ? C2 ,??????8 分
P (C1 ) ? C3 [ P ( A)] [1 ? P ( A)] ? 3 ? 0.2 ? (1 ? 0.2) ? 0.096 ,??10 分
2 2 2

P (C2 ) ? [ P ( A)] ? 0.2 ? 0.008 ,????12 分
3 3

P ( B ) ? P (C1 ? C2 ) ? P (C1 ) ? P (C2 ) ? 0.096 ? 0.008 ? 0.104 .?14 分

20. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为抛物线 y ? 2 px 的准线的 方程为 x ? ?2
2

所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知:

点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 (2,0) ??????6 分

(2)假设存在直线满足两个条件,显然斜率存在, 设的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1? 以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的 半径为 2 , 因为被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d ?
2k ? 1 1? k
2

?1,

解得 k ? 0或

4 3



当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾! 当k ?
4 3

时,的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0

由?

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? y?x



解得点 A 坐标为 ?13,13? ,
?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? y ? ?x

由?

,解得点 B 坐标为 ?

? 13 ? 7

,?

13 ? ?, 7 ?

显然 AB 中点不是 E (4,1) ,矛盾!

所以不存在满足条件的直线. 21. (本小题满分 14 分)

??????14 分

解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e ? ex ,所以 f ?( x) ? e ? e .
x x

由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, ?) , ? 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??, . 1)

?????4 分 (Ⅱ)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知 f ( x ) 是偶函数. 于是 f ( x ) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ≥ 0 成立. 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .?????6 分
x

①当 k ? (0, 时, f ?( x) ? e ? k ? 1 ? k ≥ 0( x ? 0) . 1]
x

此时 f ( x) 在 [0, ?) 上单调递增. ? 故 f ( x) ≥ f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.?????8 分

②当 k ? (1, ?) 时, ln k ? 0 . ? 当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:
x
f ?( x )

(0, k ) ln

ln k

(ln k, ?) ?

?

0

?

f ( x)

单调递减

极小值

单调递增

由此可得,在 [0, ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . ?

依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1, 1 ? k ? e . ? 综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .?????10 分

(Ⅲ)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,
x

?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e

x1 ? x2

?e

? ( x1 ? x2 )

?e

x1 ? x2

?e

? x1 ? x2

?e

x1 ? x2

?e

? ( x1 ? x2 )

?2?e

x1 ? x2

?2,

?????11 分
? F (1) F ( n) ? e
n ?1

? 2,
n ?1

F (2) F ( n ? 1) ? e ?? F ( n) F (1) ? e
n ?1

?2

?????12 分
? 2.

由此得, [ F (1) F (2) ? F (n)] ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ? 1)]?[ F (n) F (1)] ? (e
2

n ?1

? 2)

n

?????13 分
n

故 F (1) F (2) ? F (n) ? (e

n ?1

? 2) 2 ,n ? N

?



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