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柱坐标系与球坐标系简介


柱坐标系与球坐标系
“一师一优课 一课一名师”活动

贵州省册亨县民族中学:梅 瑰

学习目标定位:预习教材P16- P18
?

?
?

1、了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的 位置的方法并理解柱坐标系、球坐标系中三个分 量的几何意义; 2、掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标之间的互 化。 3、高考考纲要求:了解柱坐标系、球坐标系中 表示空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标 系中表示点的位置的方法相比较,了解它们的区 别。

平面直角坐标系
y

2

P (2,3)

O

3

x

平面中的点可以用 有序实数对(x,y) 来表示点

空间直角坐标系
z
2 D ' (0,0, 2)

C '?0,4,2?
B '(3, 4, 2)
4

?3,0,2? A '
O ?0,0,0?
3

y

C (0, 4,0)
B (3, 4,0)

A x (3, 0, 0)

平面极坐标系
(?,?)

? x ? ? cos? ? ? y ? ? sin ?

? ? 2 ? x2 ? y2 ? y ? t an? ? , x ? 0 ? x ?

柱坐标系
如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是 空间任意一点,它在Oxy平面上的射影为Q,Q点的 极坐标为(ρ,θ ),则P的位置可用有序数组(ρ,θ, z) 表示, (ρ,θ, z)叫做点P的柱坐标. ? ?0

0 ? ? ? 2?
? x ? ? cos ? ? ? y ? ? sin ? ?z ? z ?

z?R

z

柱坐标与空间直角坐标的互化
?? 2 ? x2 ? y2 ? y ? ? tan ? ? x ? ? ?z ? z x

P x,y , z) P (( ρ,θ, z)

o θ

y Q (ρ,θ)

例题讲解
?

例1:点P的柱坐标是(4, 3 ,?2), 则它的直角坐标是

?

(2,2 3,?2)
?

例2:点Q的直角坐标是 (1, 3,2) , 则它的柱坐标是

( 2,

?
3

, 2)

球坐标
贵州省册亨县被誉为“中华布依第一县”, 它是一个“山水册页、幸福亨通”的地方, 位于东经105.78°北纬25.00°。

地球的纬度与经度:

球坐标系
建立空间直角坐标系Oxyz.设P(x,y,z)是空间任意 一点,记|OP|=r,OP与Oz轴正向所夹的角为 ? .点P 在Oxy平面上的射影为Q,Ox轴按逆时针方向旋转 到OQ时所转过的最小正角为θ.则P的位置可用有序 (r, ? ,?) 数组 表示, 叫做点P 的球坐标. (r, ? ,?)

r ? 0 0 ? ? ? ? 0 ? ? ? 2?
球坐标与直角坐标互化: ? x ? r sin ? cos ? ? ? y ? r sin ? sin ? ? z ? r cos ? ?

z

?

P(r, ? ,?)

o r θ Q x

y

r? x ?y ?z
2 2

2

例题讲解
?

例3:点A的球坐标 ( 4, ? , ? ), 化为直角坐标。
2 3

(2,2 3, 0)
?

例4:点P的直角坐标

(?2,2, 2 2 ) 化为球坐标 。

(4,

? ?

, ), 4 4

课堂小结
? ?

?

本节课主要学习了: 1、柱坐标系、球坐标系中如何刻画空间中 点的位置的方法; 2、学会柱坐标、球坐标与空间直角坐标之 间的互化。

巩固练习
?

?


?

?

1、点A的柱坐标是 (2, ,5) ,则它的直角坐 6 标是 ; 2、点B的直角坐标是 (1, 3,4),则它的柱坐 标是 . ? ? (2, , ) 3、点C的球坐标是 4 4 ,则它的直角坐 标是 ; 4、点D的直角坐标是 (4,4, 4 2 ) ,则它的球坐 标是 .
A( 3,1,5)
B ( 2,

?

?
3

, 4)

C(1,1, 2 )

D(8,

? ?

, ) 4 4

课后练习
? ? ? ?

1、点A的直角坐标是 (4, 3,4),则它的柱坐标 是 . 2、点Q的直角坐标是(1,? 3,2),则它的柱坐标 是 . 3、点B的直角坐标是 (?2,2, 2 ),则它的球坐标 是 . 4、将下列各点的柱坐标化为直角坐标:
P ( 2,

?

?

5、将下列各点的球坐标化为直角坐标: 6、预习参数方程
3? A(4, , ), B(5, ? , ) 2 3 2

6

,1), Q ( 4,

2? ,?3) 3

? 5?

?


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