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上海市普陀区2013届高三一模数学试题(理)


2012 学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷
考生注意: 2013.1 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚,并在规定的区域贴上条形 码. 2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分.考 试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分 1. 不等式 | 2 ? x |? 1 的解为 . . .

2. 函数 y ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期 T ? 3. 若集合 A ? {x |

6 ? 1} ,集合 B ? {?1 , 0 , 1 , 2 , 3} ,则 A ? B ? x?5

4.如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,直线 BD1 与平面

BCC1 B1 所成的角的大小为

(结果用反三角函数值表示).

(第 4 题图)

5. 若函数 f ( x) ? a ? log3 x 的图像经过点 (1, 1) ,则 f

?1

(?8) ?

.

6. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 ,则数列 {an } 的通项公式 为 .

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意 取两个,则编号的和是奇数的概率为 (结果用最简分数表示). y
2

1 10 ) 的二项展开式中,常数项等于 8. 在 (2 x ? x
2

.

9. 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A ? 0 , ? 图,则 f (0) ? .

?
2

?? ?

?
2

)的部分图像如右

O
.

?
3

x

10. 在 △ ABC 中,若 AB ? AC ? 2 , AB ? BC ? ?7 ,则 AB ?

??? ??? ? ?

(第 9 题图)

11. 若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) ,且 f (0) ? 1 ,则 f (?10) ?

_.

12.若 C(? 3,0) 、 D( 3,0) , M 是椭圆 的最小值为 .

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 ? 4 MC MD

13. 三棱锥 S ? ABC 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为

SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,则截面 EFGH
将三棱锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为 .

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 , 2 ? , x ?1 ? 2 ?
若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 .

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知函数 y ? f (x) ( x ? R ),则“ f (1) ? f (2) ”是“函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数” 的?????????????????????????????????( (A)充分非必要条件. (C)充要条件. 16. 双曲线 (B)必要非充分条件. (D)非充分非必要条件. ) )

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a 2 ? ? ? b2 )的焦点坐标为????????( 2 a ?? b ??
(B) (? a 2 ? b 2 ,0) . (D) (0,? a 2 ? b 2 ) .

(A) (? a 2 ? b 2 ,0) . (C) (? a 2 ? b2 ? 2? ,0) .

a n ?1 ? b n ?1 ? 5 ,则 a ? b 的值不可能是??????( 17. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim ... n ?? a n ? b n
(A) 7 . (B) 8 . (C) 9 . (D) 10 .



18. 如图,四边形 ABCD 是正方形, 延长 CD 至 E , 使得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发, 沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断 正确的是??????????????????????????????( .. (A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. (B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个. )

??? ?

??? ?

??? ?

E

D

C
P

A

B

(第 18 题图)

(C) ? ? ? 的最大值为 3. (D) ? ? ? 的最小值不存在. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分。 如图, 某种水箱用的 “浮球” 是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm , , 圆柱筒长 2 cm .
[

(1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100 克,共需胶多少?
2cm

3

6cm (第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A( x, y) 到点 F (2,0) 和直线 x ? ?2 的距离相等. (1)求动点 A 的轨迹方程; (2)记点 K (?2,0) ,若 AK ?

y

2 AF ,求△ AFK 的面积.

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 中 ? A 、 ? B 、 ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?

1 . 3

?
4

) 的值.

22. (本题满分 16 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中 , 点 An 满 足 OA ? (0,1) , 且 An An ?1 ? (1,1) ; 点 Bn 满 足 1

2 OB1 ? (3,0) ,且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) n ,0) ,其中 n ? N * . 3 ???? ? (1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; ..
(2)记四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 a n ? P 成立?
*

若存在,求 P 的值;若不存在,请说明理由.

23.(本题满分 18 分) 本大题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 设函数 f (x ) 和 g (x) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f (x) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)函数 f ( x) ? 2 x 与 g ( x) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数” ,求集合 M ; (2)若函数 f ( x) ? a x ( a ? 0且a ? 1)与 g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”, 求证: a ? 1 ;
* (3)函数 f ( x) ? x ? 2 与 g (x) 在集合 M ? {x | x ? ?1 且 x ? 2k ? 3 , k ? N } 上互为

“H 函数” 当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 ( x ? 1) , g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数,求函数 g (x) , 且 在集合 M 上的解析式.


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