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圆锥曲线.04圆锥曲线综合2(B级)理科



圆锥曲线综合 2

高考要求
内容 曲线与方程的对应关系 圆锥曲线与方程 直线与圆锥曲线的位置关系 要求层次 重难点

B C

轨迹方程;圆锥曲线与向量综 合;数学思想、方法

知识内容
原点连线问题
1.1 与原点连线互相垂直的问题 在解题实践时,我们发现有一类这样的问题,它们的共同点是图形中有两条从原点出发的射线 OA 和

OB 互相垂直.由于这类问题的表现形式具有很强的对称性,所以有一种富有技巧性的解法.下面以椭圆
为例说明这种解法. 设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 AB : Ax ? By ? C ? 0 交椭圆与两点 A ? x1 , y1 ? 、 a 2 b2
??? ??? ? ? OA ? OB ? 0

B ? x2 , y2 ? ,且 OA 与 OB 垂直,那么


x1 x2 ? y1 y2 ? 0

在排除特殊情形后,上式可以化为
y1 y2 ? ? ?1 x1 x2

可以想象,如果我们可以通过直线与圆锥曲线联立获得一个关于

y 的二次式,那么利用韦达定理考察 x

该二次式就可以解决问题. (当然,我们也可以利用直线方程将 y1 y2 转化为关于 x1 ? x2 和 x1 x2 的式子,但这 样破坏的式子的对称性) 问题的关键在于方程
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x2 y 2 ? ? 1 不是齐次的. a 2 b2
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我们将直线方程 Ax ? By ? C ? 0 转化为
1? ? Ax ? By , C

代入上式有
x 2 y 2 ? Ax ? By ? ? ? ?? ? a 2 b2 ? C ?
2

整理有
? B 2 1 ? 2 2 AB ? A2 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? y ? 2 xy ? ? 2 ? 2 ? x ? 0 b ? C a ? ?C ?C


? B 2 1 ? ? y ? 2 AB ? y ? ? A2 1 ? ? 2 ? 2 ?? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 0 b ?? x ? C ? x? ?C a ? ?C
2

……①

所以
A2 1 ? C 2 a 2 ? ?1 , B2 1 ? C 2 b2

也就是

A2 ? B2 1 1 ? 2? 2 C2 a b

……②

此时二次方程① 的判别式大于 0 即为直线 Ax ? By ? C ? 0 与椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 有两个交点的充分必要 a 2 b2

条件,而② 就是该直线与椭圆 E 的交点与原点的连线互相垂直的充分必要条件. 这种解法的关键在于化齐次的想法,而实现这种想法的关键在于对直线方程的变形.对于一般式
Ax ? By ? C ? 0 , 我们将其变形为 1 ?

Ax ? By y ? kx . 类似的, 对于斜截式 y ? kx ? b , 我们将其变形为 1 ? , b ?C

而截距式 用.

x y ? ? 1 是天然已经变形完成的式子.第七节将展示这种想法在求圆锥曲线的切线方程时的应 a b

1.2 原点连线问题的推广 1.2.1 判断点与已知直径的圆位置关系的问题

在上一小节中研究的问题也可以看做原点在以 AB 为直径的圆上的问题.一般的,如果要判断一个已 知点 P 是否在以已知线段 AB 为直径的圆内有以下三种途径: (1)计算 AB 的中点坐标 M ,线段 AB 的长度,进而计算出以 AB 为直径的圆的方程

? x ? xM ?
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2

? ? y ? yM ?

2

? AB ? ?? ? ? 2 ?

2

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这样就可以将 P 点的坐标 ? x0 , y0 ? 代入运算,通过比较 P 到圆心 M 的距离与半径的大小判断 P 与圆

M 的位置关系了;
(2)在 △ ABP 中,计算三条边的长度 AP 、 BP 和 AB ,通过比较 AP ? BP 与 AB 的大小关系
2 2
2

判断 △ ABP 中 ?APB 是锐角、直角或是钝角,进而判断 P 与以 AB 为直径的圆的位置关系; ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? (3)与(2)的想法类似,由于 ?APB 也是向量 PA 与 PB 的夹角,因此我们可以通过判断 PA ? PB 的 正负来比较 ?APB 与直角的大小关系,进而判断 P 与以 AB 为直径的圆的位置关系.
??? ??? ? ? 在解决实际问题时,由于途径(1)和(2)需要的条件比较苛刻,而对于向量的数量积 PA ? PB ,设

P ? x0 , y0 ? 、 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? 有
??? ??? ? ? PA ? PB ? ? x1 ? x0 , y1 ? y0 ? ? ? x2 ? x0 ?? y2 ? y0 ?

? x1 x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? x02 ? y1 y2 ? y0 ? y1 ? y2 ? ? y02
然后再利用直线的方程或是圆锥曲线的方程,结合韦达定理计算上式就可以了.因此这种途径在解题 中被广泛应用.

??? ??? ? ? 特别地,当 P 点为原点时, PA ? PB ? x1 x2 ? y1 y2 ,这就与上一小节中所研究的问题类似了.因此,有
时候我们可以通过平移坐标系的方法将点 P 转化为原点,从而简化运算. 值得注意的是,如果需要使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,我们可以将其变形为
y1 y2 ? ? ?1 ,然后利用化齐次的办 x1 x2

法进行直线与圆锥曲线方程的联立. 但是如果需要判断 x1 x2 ? y1 y2 与 0 的大小关系, 就需要实现判断 x1 x2 的 正负了.有时为了方便判断,我们也可以通过平移坐标轴来保证 x1 x2 的符号. 1.2.2 定点连线问题
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 换个角度看等式 PA ? PB ? 0 ,可以认为这是一个定值问题.实际上,我们经常遇到需要使得 PA ? PB 为 ??? ??? ? ? 定值 m 的问题.解决这类问题的思路很简单,只需要用向量的坐标运算计算 PA ? PB ,然后利用直线或抛 ......

物 .

简 式 子 联 合 韦 达 定 理 加 以 解 决 . . . . ??? ??? ? ? 唯一需要注意的是,如果 PA ? PB 的表示式的分母中含有变量,那么不妨将定值 m 设出来,然后将代

线 .

方 .

程 .

化 .

数式变形为整式加以解决.

切线问题
2.1 圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题是直线与圆锥曲线问题中的常见问题,也是圆锥曲线问题中的重难点问题.在正 式展开这个问题之前,我们先复习一下圆的切线方程以及抛物线的切线方程求法. 对于圆 E : x2 ? y 2 ? r 2 和圆上一点 P ? x0 , y0 ? 而言,过点 P 的圆 E 的切线与 OP 垂直,于是切线方程为

x0 x ? y0 y ? r 2 .
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而对于抛物线 y ? ax2 和其上一点 P ? x0 , y0 ? ,我们利用导数得到切线的斜率为 2ax0 ,因此切线方程为

y ? y0 ? 2ax0 ? x ? x0 ? .

对于一般的圆锥曲线 Ax2 ? By 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,我们既不能通过良好的几何性质(例如圆的切线与 切点半径连线垂直) ,也不能通过导数获得切线的斜率.此时,只能依靠直线与圆锥曲线联立后考察判别 式来得到切线方程.

对于椭圆和双曲线的切线,我们可以通过联立直线与圆锥曲线的方程通过考察判别式的方法求解其方 程. 设椭圆或双曲线的方程为 E : mx2 ? ny 2 ? 1 ,其在第一象限的部分有一点 P ? x0 , y0 ? ( x0 ? 0 、 y0 ? 0 ) 满足 mx02 ? ny02 ? 1 ,设切线为 Ax ? By ? 1 (这里使用了直线的截距式,因为形如 Ax ? By ? 0 的直线不可能 是 E 的切线) ,与 E 的方程联立得
mx2 ? ny2 ? ? Ax ? By ?
2

整理得

? A2 ? m? ? x ? ? 2 AB ? x ? ? B2 ? n ? ? 0 ? ? y ? y?
?A ? B ? ? 1? △? 4 A2 B2 ? 4 ? A2 ? m?? B2 ? n? ? 4mn ? n ?m ?
2 2

2

P在椭圆上

l与椭圆相切

根据不等式知识
A2 B 2 ? A2 B 2 ? 2 2 2 ? ?? ? ? ? ? mx0 ? ny0 ? ≥ ? Ax0 ? By0 ? ? 1 m n ?m n ?

切线方程

A2 B2 A B ? 等号当且仅当 m 2 ? n 2 ,也即 时取得. mx0 ny0 mx0 ny0
于是 A ? mx0 , B ? ny0 为所求,此时切线方程为 mx0 x ? ny0 y ? 1 . 当点 P ? x0 , y0 ? 位于其他象限时,可以利用椭圆和双曲线的对称性得到类似的结论. 综上,我们可以总结出对于一般的圆锥曲线 Ax2 ? By 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,过其上一点 P ? x0 , y0 ? 的切 线的方程为
Ax0 x ? By0 y ? D E ? x ? x0 ? ? ? y ? y0 ? ? F ? 0 . 2 2

这个结论的证明比较复杂,在这里不再详尽说明. (事实上,在证明几种标准形式的圆锥曲线情形后, 通过对坐标系进行平移变换就可以得到一般的圆锥曲线的切线方程了. ) 当然,我们亦可以利用导数得到标准的圆锥曲线在第一象限上的切线方程.但是由于这种做法破坏的
x 、 y 的对称性,并且也不比上述方法简洁优美,所以在这里不再赘述.有兴趣的同学可以利用导数自行
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证明.

2.2 利用伸缩变换将椭圆变换为圆 与双曲线的标准方程

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 相比椭圆的标准方程 2 ? 2 ? 1 在形式上极为接近圆的标准方程 a2 b a b

x2 ? y 2 ? r 2 .在这一节,我们着重讲述利用伸缩变换将椭圆变换为圆,再利用圆的良好几何性质解决问题
的方法. 对椭圆的标准方程

x2 y 2 ? ? 1 ,我们需要在 y 轴进行伸缩变换 a 2 b2
? x ? x? ? ? b2 y ? 2 y? ? a ?
……①

得到方程

x?2 y?2 ? ?1. a2 a2
伸缩变换不会改变直线与圆锥曲线的交点个数、也不会改变共线线段长度的比例关系(例如中点等好 的性质) 、也不会改变平行和直线共点关系.但是伸缩变换会改变线段的长度,这需要引起充分的注意. 在 伸 缩 变 换 ①下 , 椭 圆 方 程 E :

x2 y 2 ? ? 1 变 为 圆 E? : x?2 ? y?2 ? a2 , 椭 圆 上 的 点 P ? x0 , y0 ? 变 为 a2 b2

a ? ? P ? ? x0 , y0 ? ,因此过圆 E? 上一点 P ? 的圆的切线方程为 b ? ?

l ? : x0 x? ?

a y0 y? ? a2 b

该直线通过伸缩变换① 就可以得到过椭圆 E 上一点 P 的椭圆的切线方程

l : x0 x ?


a2 ? y0 y ? a2 b2

x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

用类似的想法可以从另外一方面理解第五节所述的内容,这对锻炼对圆锥曲线问题的思考能力是很有 好处的.

2.3 切点弦问题 假设椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 在两点 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? 处的切线分别为 l1 、 l2 ,若 l1 、 l2 相交于点 a2 b2

P ? x0 , y0 ? ,那么
l1 :
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x1 x y1 y ? 2 ?1 a2 b
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l2 :

x2 x y2 y ? 2 ?1 a2 b

P在椭圆外

点 P 同时位于直线 l1 和直线 l2 上,于是
? x1 x0 y1 y0 ? a 2 ? b2 ? 1 ? ? ? x2 x0 ? y2 y0 ? 1 ? a2 b2 ?
切点弦方程

l与椭圆相交

所以直线 MN 的方程为
x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

这就意味着当定点 P ? x0 , y0 ? 位于椭圆外时, 它对应的“切线方程”实际上是该点对应的切点弦方程. 下 面给出点 P ? x0 , y0 ? 对于几种标准圆锥曲线的切点弦方程: 圆 E : x2 ? y 2 ? r 2 的切点弦方程

x0 x ? y0 y ? r 2
椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1 的切点弦方程 a2 b2
x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 的切点弦方程 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b

抛物线 E : y 2 ? 2 px 的切点弦方程
y0 y ? p( x ? x0 )

在实际应用中,我们还可以通过联立切点弦方程与圆锥曲线的方程得到关于切点坐标的有关信息.

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例题精讲
题型一:原点连线问题
?p ? 【例1】 (宣武· 题 20)已知 p ? 0 ,动点 M 到定点 F ? , 0 ? 的距离比 M 到定直线 l : x ? ? p 的距离小 理· ?2 ?

p . 2

(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程;
??? ??? ? ? (2)设 A, B 是轨迹 C 上异于原点 O 的两个不同点, OA ? OB ? 0 ,求 ?AOB 面积的最小值;

p? ? (3)在轨迹 C 上是否存在两点 P, Q 关于直线 m : y ? k ? x ? ? ? k ? 0 ? 对称?若存在,求出直线 m 2? ?

的方程,若不存在,说明理由.

【例2】 (2009 山东 22)设椭圆 E : 原点, (1)求椭圆 E 的方程;

x2 y 2 ? ? 1 ( a , b ? 0 )过 M 2 , 2 , N a 2 b2

?

?

?

6 , 两点, O 为坐标 1

?

(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A , B ,且 ??? ??? ? ? OA ? OB ?若存在,写出该圆的方程;若不存在,说明理由. (3)在(2)的条件下,求 AB 的取值范围.

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【例3】 (2010 浙江高考)已知 m ? 1 ,直线 l : x ? my ? 圆 C 的左、右焦点.

m2 x2 ? 0 ,椭圆 C : 2 ? y 2 ? 1 , F1 , F2 分别为椭 2 m

(1)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点, △ AF1 F2 , △BF1 F2 的重心分别为 G , H .若原点 O 在 以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

【例4】 (2010 湖北高考)已知一条曲线 C 在 y 轴右边, C 上每一点到点 F ?1 , 0 ? 的距离减去它到 y 轴距 离的差是 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在正数 m ,对于过点 M ? m , 0 ? 且与曲线 C 有两个交点 A , B 的任一直线,都有
??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 ?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

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题型二:切线问题
【例5】 (2011 北京理科)已知椭圆 G:

x2 ? y 2 ? 1,过点 ? m , 0 ? 作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 4

A,B 两点。
(1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。

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【例6】 (2011 全国Ⅰ)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A? 0 , ? 1? ,B 点在直线 y ? ?3 上, M 点满足

???? ??? ???? ??? ? ? ???? ??? ? MB / / OA , MA ? AB ? MB ? BA , M 点的轨迹为曲线 C 。
(Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) P 为 C 上的动点, l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

【例7】 (2010 上海卷高考)已知椭圆 ? 的方程为

x2 y 2 b ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为 ? ?a , ? . a 2 b2

???? 1 ??? ??? ? ? ? ? 0 (1) 若直角坐标平面上的点 M 、A ? 0 , b ? 、B ? a , ? 满足 PM ? PA ? PB , 求点 M 的坐标; 2

?

?

(2) 设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 ? ? 证明: E 为 CD 的中点;

b2 , a2

b (3) 对于椭圆 ? 上的点 Q ? a cos? , sin ? ? (0 ? ? ? π)

,如果椭圆 ? 上存在不同的两个交点 P1 、

??? ???? ??? ? ? P2 满足 PP ? PP2 ? PQ ,写出求作点 P1 、 P2 的步骤,并求出使 P1 、 P2 存在的 ? 的取值范围. 1
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【例8】 (2010 年江苏理科 18) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆

x2 y 2 右顶点为 A 、 ? ? 1 的左、 9 5

B ,右焦点为 F .设过点 T ? t , m? 的直线 TA , TB 与此椭圆分别交于点 M ? x1 , y1 ? 、 N ? x2 , y2 ? ,
其中 m ? 0 , y1 ? 0 , y2 ? 0 .

(1) 设动点 P 满足 PF 2 ? PB 2 ? 4 ,求点 P 的轨迹;
1 (2) 设 x1 ? 2 , x2 ? ,求点 T 的坐标; 3

(3) 设 t ? 9 ,求证:直线 MN 必过 x 轴的一定点(其坐标与 m 无关) .
y

A

O

F

B

x

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【例9】 (崇文· 题 19) 理· 已知椭圆

x2 y 2 过椭圆上一点 P 引圆 O 的 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 和圆 O :x 2 ? y 2 ? b2 , 2 a b

两条切线,切点分别为 A , B . (1) )若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e ; (ⅰ (ⅱ )若椭圆上存在点 P ,使得 ?APB ? 90? ,求椭圆离心率 e 的取值范围. (2)设直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M , N ,求证:
a2 ON
2

?

b2 OM
2

为定值.

【例10】 (2010 东城· 理)已知抛物线的焦点 F 在 y 轴上,抛物线上一点 A(a , 4) 到准线的距离是 5 ,过点

F 的直线与抛物线交于 M , N 两点,过 M , N 两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为 T .
(1)求抛物线的标准方程; ??? ???? ? ? (2)求 FT ? MN 的值; ??? ? ???? ? ???? (3)求证: | FT | 是 | MF | 和 | NF | 的等比中项.

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课堂总结
高考数学的圆锥曲线题型变化多端,主要有几类题型,我们本讲主要说:
(1)中点弦问题 在韦达定理横行于圆锥曲线的解答题中,我们其实还有一种非常优秀的方法---点差法。对于什么 样的中点弦,我们会使用点差法,而点差法中我们需要注意的问题,比如斜率本身的限制等,我 们需要特殊关注 (2)定点弦问题 弦上定比分点,或者定点分比问题,是我们常见的问题。我们的目标就是避过复杂的运算方法, 转化成横坐标或者纵坐标之间的比例,利用韦达定理处理的更加轻松。 (3)顶点弦问题 顶点似乎在圆锥曲线并不是那么实际的几何意义,其实并非如此,关于顶点很多问题都是在解析 几何中需要讨论出来的,让我更加清晰的认识到顶点的重要.

课后检测
【习题1】 已知抛物线 y ? ? x2 ? 3 上存在关于直线 x ? y ? 0 对称的相异两点 A 、 B ,则 AB 等于( A. 3 B. 4 C. 3 2 D. 4 2 )

【习题2】

直线 y ? x ? b 交抛物线 y ?

1 2 x 于 A, B 两点, O 为抛物线的顶点, OA ? OB ,则 b 的值为 2

_____.

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【习题3】

中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆,它的离心率为

3 ,与直线 x ? y ? 1 ? 0 相交于两点 2

M 、 N ,且 OM ? ON .求椭圆的方程.

【习题4】

直线 y ? kx ? 2 与椭圆

??? ??? ? ? x2 ? y 2 ? 1 交于不同两点 A 和 B ,且 OA ? OB ? 1 (其中 O 为坐标原 3

点) ,求 k 的值.

【习题5】

椭圆中心是坐标原点 O ,焦点在 x 轴上, e ?
20 ,且 OP ? OQ ,求此椭圆的方程. 9

3 ,过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于 P 、Q 两 2

点, PQ ?

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【习题6】

(2009 年石景山一模)已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,过其右焦点

且倾斜角为 45? 的直线被双曲线截得的弦 MN 的长为 6 . (1)求此双曲线的方程; (2)若直线 l : y ? kx ? m 与该双曲线交于两个不同点 A 、 B ,且以线段 AB 为直径的圆过原点, 求定点 Q(0 ,? 1) 到直线 l 的距离 d 的最大值,并求此时直线 l 的方程.

【习题7】

(2009 年海淀一模)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,短轴两个 a 2 b2

端点为 A 、 B ,且四边形 F1 AF2 B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2) C 、D 分别是椭圆长轴的左、 若 右端点, 动点 M 满足 MD ? CD , 连结 CM , 交椭圆于点 P . ???? ??? ? ? 证明: OM ? OP 为定值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆恒过直 线 DP 、 MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

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【习题8】

若曲线 y ? 2 x 2 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则切线 l 的方程为( B. x ? 4 y ? 9 ? 0 D. 4 x ? y ? 2 ? 0



A. x ? 4 y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0

【习题9】

已知过定点 A (2, 0) 的直线和抛物线 y ?

1 2 x 有且只有一个交点,求满足条件的直线方程. 4

【习题10】 (2008 广东高考)设 b ? 0 ,椭圆方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 ,抛物线方程为 x2 ? 8( y ? b) .如图所 2b2 b

b 示,过点 F (0 , ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G .已知抛物线在点 G 的切

线经过椭圆的右焦点 F1 . (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2)设 A , B 分别是椭圆长轴的左、右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使得 ?ABP 为 直角三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) .
y F G

F1 A O B x

图4

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【习题11】 (2010 年海淀一模) 给定椭圆 C :

x2 y 2 , 半径为 a 2 ? b2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 称圆心在原点 O , 2 a b

的圆是椭圆 C 的“准圆”.若椭圆 C 的一个焦点为 F ( 2 , 0) ,其短轴上的一个端点到 F 的距离为
3.

(I)求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程; (II)点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的一个动点,过点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有一 个交点,且 l1 , l2 分别交其“准圆”于点 M , N . (1) 当 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时,求 l1 , l2 的方程; (2) 求证: MN 为定值.

【习题12】 (2009 年,浙江高考)已知椭圆 C1 : 且垂直长轴的弦长为 1 . (1)求椭圆 C1 的方程;

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右顶点为 A(1 ,0) ,过 C1 的焦点 a 2 b2

C (2) 设点 P 在抛物线 C2 : y ? x2 ? h(h ?R) 上, 2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M ,N . 当线段 AP

的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.

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【习题13】 已知圆 O : x2 ? y 2 ? 2 交 x 轴于 A , B 两点,曲线 C 是以 AB 为长轴,离心率为

2 的椭圆, 2

其左焦点为 F .若 P 是圆 O 上一点,连结 PF ,过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x ? ?2 于点 Q . (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为 (1 , 1) ,求证:直线 PQ 与圆 O 相切. (3)试探究:当点 P 在圆 O 上运动时(不与 A , B 重合) ,直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置 关系?若是,请证明;若不是,请说明理由.

MSDC 模块化分级讲义体系

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