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圆锥曲线单元测试(理科)



圆锥曲线单元测试(理科) 一、选择题: 1、若双曲线与 x 2 ? 4 y 2 ? 64有相同的焦点,它的一条渐近线方程是 x ? 3 y ? 0 , 则双曲线的方程是(
x2 y2 ? ?1 A. 36 12

)
x2 y2 ? ? ?1 C. 36 12 y2 x2 ? ? ?1 D. 36 12

y2 x2 ?

?1 B. 36 12

2.若双曲线的两条渐进线的夹角为 600 ,则该双曲线的离心率为

6 6 2 3 C.2 或 D.2 或 3 3 3 2 2 3、与圆 x +y -4y=0 外切, 又与 x 轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ( ). 2 2 A. y =8x B. y =8x (x>0) 和 y=0 2 2 C. x =8y (y>0) D. x =8y (y>0) 和 x=0 (y<0) x2 x2 ? y 2 ? 1 (m ? 1) 与双曲线 ? y 2 ? 1 (n ? 0) 有相同的焦点 F1、F2,P 4、若椭圆 m n 是两曲线的一个交点,则 ?F1 PF2 的面积是( )
A.2 B. A.4 5、已知椭圆 x 2 ? B.2 C.1 D.
1 2

y2 ? a 2 (a ? 0) 与 A(2,1) ,B(4,3)为端点的线段没有公共点, 2

则 a 的取值范围是( A. 0 ? a ?
3 2 2
1 3

) B. 0 ? a ?
3 2 82 或a ? 2 2

C. 0 ? a ?

D.

3 2 82 ?a? 2 2

x2 y2 ? ? 1 ( a?b?0)焦点为顶点,以椭圆 C1 的顶点为焦点的双 a2 b2 曲线 C2,下列结论中错误的是( ) 2 2 x y ? 2 ?1 A. C2 的方程为 2 B. C1、C2 的离心率的和是 1 2 a ?b b C. C1、C2 的离心率的积是 1 D.短轴长等于虚轴长
6、.对于椭圆 C1: 7、双曲线
y2 x2 ? ? 1 的渐近线方程是( 3 4

)
3 C. y ? ? x 4 4 D. y ? ? x 3

A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

2 3 x 3

1 8、抛物线 y ? ? x 2 的准线方程是( 8 1 A. x ? B. y ? 2 32

). C. y ?
1 32

D. y ? ?2

9、已知 | AB |? 4 ,点 P 在 A、B 所在的平面内运动且保持 | PA | ? | PB |? 6 ,则 | PA | 的 最大值和最小值分别是 A. 5 、3 ( ) C.5、1 D.6、4 )

B.10、2

10、抛物线 y 2 ? 12x 上与焦点的距离等于 8 的点的横坐标是( A、2 B、3 C、4 D、5

二、填空题: (4 分×4=16 分) x2 y2 ? 1 具有相同的离心率且过点( 2 , - 3 )的椭圆的标准方程 11. 与椭圆 ? 4 3 是 。 12.双曲线的实轴长为 2a,F1, F2 是它的左、右两个焦点,左支上的弦 AB 经过点 F1,且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列,则|AB|= . 13. 设 F1 、 F2 是双曲线 x2 ? y 2 ? 4 的两焦点, Q 是双曲线上任意一点,从 F1 引

?FQF 1 2 平分线的垂线,垂足为 P,则点 P 的轨迹方程是
x2 y2 ? ? 1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题: 14.若方程 4 ? t t ?1



①若 C 为椭圆,则 1<t<4; ③曲线 C 不可能是圆;

②若 C 为双曲线,则 t>4 或 t<1; ④若 C 表是椭圆, 且长轴在 x 轴上, 则1 ? t ?
3 . 2 (把所有正确命题的序号都填在横线

其中真命题的序号为 上) 三 、解答题: (本大题共 4 小题,共 44 分,解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 15. (本题 10 分)中心在原点,焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦

点 F1,F2,且 F1 F2 ? 2 13 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为 4, 离心率之比为 3:7。求这两条曲线的方程。

y2 x2 ? 1 的焦点为 F1,F2.离心率为 2。 16.设双曲线: 2 ? 3 a

(1)求此双曲线渐近线 L1,L2 的方程; (2)若 A,B 分别为 L1,L2 上的动点,且 2 AB ? 5 F1 F2 ,求线段 AB 中点 M 的轨迹

方程,并说明轨迹是什么曲线。

17.抛物线 y 2 ? 4 x 上有两个定点 A、B 分别在对称轴的上下两侧,F 为抛物线的焦 点,并且|FA|=2,|FB|=5,在抛物线 AOB 这段曲线上求一点 P,使△PAB 的面积最 大,并求这个最大面积.

18.如图:直线 L: y ? mx ? 1 与椭圆 C:ax2 ? y 2 ? 2(a ? 0) 交于 A、B 两点,以 OA、 OB 为邻边作平行四边形 OAPB。 (1) 求证:椭圆 C: ax2 ? y 2 ? 2(a ? 0) 与直线 L: y ? mx ? 1 总有两个交点。 (2) 当 a ? 2 时,求点 P 的轨迹方程。 (3)是否存在直线 L,使 OAPB 为矩形?若存在,求出此时直线 L 的方程;若不 存在,说明理由。

高二数学选修 2—1 圆锥曲线单元测试参考答案: 1---10 ADDCB BABCD
y2 x2 x2 y 2 11、 ? ? 1 或 ? ? 1 25 25 8 6 3 4
12、4a 13、 x2 ? y 2 ? 4 14、 (2)
2 x2 y x2 y2 ? ? 1 15、 解: 设椭圆的方程为 2 , 双曲线得方程为 2 ? 2 ? 1 , 半焦距 c= 13 a1 b12 a 2 b2

由已知得:a1-a2=4
c c : ? 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2

所以:b12=36,b22=4,所以两条曲线的方程分别为:
x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ?1 49 36 9 4

16、解: (1)由已知双曲线的离心率为 2 得:

a2 ? 3 2 ? 2 解得 a =1,所以双曲线 a

的方程为
y2 ? x2 x x ? 1 ,所以渐近线 L1,L2 的方程为 y ? ?0和 y? =0 3 3 3

(2) c2=a2+b2=4, 得 c=2 , 所以 F1 F2 ? 2c ? 4 , 又 2 AB ? 5 F1 F2 所以 AB =10 设 A 在 L1 上,B 在 L2 上,设 A(x1 ,
x1 3 ) ,B(x2,- x2 3 )

所以 ( x1 ? x2 ) 2 ? (

x1 3

?

x2

1 ) 2 ? 10 即 ( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 10 3 3
x1 ? x 2 x ? x2 ,y= 1 2 2 3

设 AB 的中点 M 的坐标为(x,y) ,则 x= 所以 x1+x2=2x , x1-x2=2 3 y

x2 3y 2 1 ? ?1 所以 (2 3 y) 2 ? ? 4 x 2 ? 10 整理得: 75 25 3

所以线段 AB 中点 M 的轨迹方程为:

x2 3y 2 ? ? 1 ,轨迹是椭圆。 75 25

17、解:由已知得 F (1,0) ,不妨设点 A 在 x 轴上方且坐标为 ( x1 , y1 ) , 由 FA ? 2 得 x1 ? 1 ? 2, x1 ? 1 所以 A(1,2),同理 B(4,-4), 所以直线 AB 的方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . 设在抛物线 AOB 这段曲线上任一点 P( x0 , y0 ) ,且 1 ? x0 ? 4,?4 ? y0 ? 2 .

则点 P 到直线 AB 的距离 d=

2 x0 ? y 0 ? 4 1? 4

2? ?

2 y0 ? y0 ? 4 4

5

1 9 ( y 0 ? 1) 2 ? 2 2 ? 5

所以当 y0 ? ?1 时,d 取最大值

9 5 ,又 AB ? 3 5 10
1 1 9 5 ?3 5 ? ? 27, 此时 P 点坐标为 ( ,?1) . 4 2 10

所以△PAB 的面积最大值为 S ?



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