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2014年高考数学(文)难题专项训练(10)概率+统计与统计案例


【冲击高分系列】2014 年高考数学(文)难题专项训练:概率+ 统计与统计案 例

1.(2013 湖北黄冈市高三三月质量检测,10,5 分)将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 ,则函数 在 上为增函数的概率是( )



A.

B.

C.

D.

2. (2012 山东省济南市第二次模拟,12,5 分)下列命题:

① 函数

,

的最小值为 2;

② 线性回归方程对应的直线 点;

至少经过其样本数据点(

,

),(

,

),…,(

,

)中的一个

③ 命题 p: x R,使得

,则

p:

x R,均有 x2+x+1≥ 0;

④ 若 x1,x2,…,x10 的平均数为 a,方差为 b,则 x1+5,x2+5,…,x10+5 的平均数为 a+5,方差为 b+25. 其中,错误命题的个数为( A. 0 B. 1 C. 2 ) D. 3

3.在发生某公共卫生事件期间, 有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标 志为“连续 10 天, 每天新增疑似病例不超过 7 人”. 根据过去 10 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例 数据, 一定符合该标志的是( ) A. 甲地:总体均值为 3, 中位数为 4 B. 乙地:总体均值为 1 , 总体方差大于 0 C. 丙地:中位数为 2, 众数为 3 D. 丁地: 总体均值为 2, 总体方差为 3 4.设集合 A={1, 2}, B={1, 2, 3}, 分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b, 确定平面上的一个点 P(a, b), 记“点 P(a, b)落在直线 x+y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5, n∈N), 若事件 Cn 的概率最大, 则 n 的所有可能值为

( A. 3

) B. 4 C. 2 和 5 D. 3 和 4

5.电子钟一天显示的时间是从 00∶00 到 23∶59, 每一时刻都由四个数字组成, 则一天中任一时刻显 示的四个数字之和为 23 的概率为( )

A.

B.

C.

D.

6.甲、乙、丙、丁 4 个足球队参加比赛, 假设每场比赛各队取胜的概率相等, 现任意将这 4 个队分成 两个组(每组两个队)进行比赛, 胜者再赛. 则甲、乙相遇的概率为( )

A.

B.

C.

D.

7.在区间

上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为(

)

A.

B.

C.

D.

8.(2013 年四川成都高新区高三 4 月模拟,13,5 分)在区间

内任取两个数 .

,则使方程

的两个根分别作为椭圆与双曲线的离心率的概率为

9.(2013 山东青岛高三三月质量检测,16,5 分) 给出以下命题:

① 双曲线

的渐近线方程为



② 命题





” 是真命题;

③ 已知线性回归方程为

,当变量 增加 个单位,其预报值平均增加 个单位;

④ 已知







,依照以上

各式的规律,得到一般性的等式为 则正确命题的序号为

, (



(写出所有正确命题的序号 ) .

10. 有 20 张卡片, 每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k, k+1, 其中 k=0, 1, 2, …, 19. 从这 20 张 卡片中任取一张, 记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如:若取到标有 9, 10 的卡片, 则卡片上 两个数的各位数字之和为 9+1+0=10)不小于 14”为 A, 则 P(A)= . 11.三张卡片上分别写上字母 E, E, B, 将三张卡片随机地排成一行, 恰好排成英文单词 BEE 的概率 为 . 12. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, O 是 AC 与 BD 的交点, P, Q, M, N 分别是线段 OA, OB, OC, OD 的 中 点. 在 A, P, M, C 中任取一点记为 E, 在 B, Q, N, D 中任取一点记为 F. 设 G 为满足向量 则在上述的点 G 组成的集合中的点, 落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为 = + . 的点,

13.设函数 y=f(x)在区间[0, 1]上的图象是连续不断的一条曲线, 且恒有 0≤f(x)≤1, 可以用随机模拟方法 近似计算由曲线 y=f(x)及直线 x=0, x=1, y=0 所围成部 分的面积 S. 先产生两组(每组 N 个)区间[0, 1]上 的均匀随机数 x1, x2, …, xN 和 y1, y2, …, yN, 由此得到 N 个点(xi, yi)(i=1, 2, …, N). 再数出其中满足 yi≤f(xi)(i=1, 2, …, N)的点数 N1, 那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为 . 14. 为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系, 下表记录了小李某月 1 号到 5 号每天打篮球时间 x(单位:小时)与当天投篮命 中率 y 之间的关系: 时间 x 命中率 y 1 0. 4 2 0. 5 3 0. 6 4 0. 6 5 0. 4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 的投篮命中率为 .

;用线性回归分析的方法, 预测小李该月 6 号打 6 小时篮球

15.设有关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (Ⅰ)若 a 是从 0, 1, 2, 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0, 1, 2 三个数中任取的一个数, 求上述方程有 实根的概率; (Ⅱ)若 a 是从区间[0, 3]任取的一个数, b 是从区间[0, 2]任取的一个数, 求上述方程有实根的概率. 16.对于正整数 n≥2, 用 Tn 表示关于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b=0 有实数根的有序数组(a, b)的组数, 其中 a, b ∈,1, 2, …, n-(a 和 b 可以相等);对于随机选取的 a, b∈,1, 2, …, n-(a 和 b 可以相等), 记 Pn 为关 于 x 的一元二次方程 x2+2ax+b=0 有实数根的概率.

(Ⅰ)求



;

(Ⅱ)求证:对任意正整数 n≥2, 有 Pn>1-

.

参考答案

1.D

2. D

3. D

4. D

5. C

6. D

7. A

8. 9. ①③④

10.

11.

12.

13. 14.0. 5;0. 53 15.设事件 A 为“方程 x2+2ax+b2=0 有实根”. 当 a≥0, b≥0 时, 方程 x2+2ax+b2=0 有实根的充要条 件为 a≥b. (Ⅰ)基本事件共有 12 个:(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (3, 0), (3, 1), (3, 2). 其 中第一个数表示 a 的取值, 第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件, 事件 A 发生的概率为

P(A)=

= .

(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为 {(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2-. 构成事件 A 的区域为 ,(a, b)|0≤a≤3, 0≤b≤2, a≥b-.

所以所求的概率为 P(A)=

= .

16.(Ⅰ)因为方程 x2+2ax+b=0 有实数根, 所以 Δ=4a2-4 b≥0, 即 b≤a2. (i)n≤a≤n2 时, 有 n2≤a2, 又 b∈,1, 2, …, n2}, 故总有 b≤a2, 此时, a 有 n2-n+1 种取法, b 有 n2 种取法, 所以 共有(n2-n+1)n2 组有序数组(a, b)满足条件;

(ii)当 1≤a≤n-1 时, 满足 1≤b≤a2 的 b 有 a2 个, 故共有 12+22+32+…+(n-1)2= 满足条件.

组有序数组(a, b)

由(i)(ii)可得

=(n2-n+1)n2+

=

.

从而

=

=

.

(Ⅱ)证明:我们只需证明:对于随机选取的 a, b∈*1, 2, …, n+, 方程 x2+2ax+b=0 无实数根的概率 1-Pn< 若方程 x +2ax+b=0 无实数根, 则 Δ=4a -4b<0, 即 a <b. 由 b≤n 知 a< (a, b)的组数小于 n , 从而, 方程 x2+2ax+b=0 无实数根的概率 1-Pn<
2 2 2 2

.

. 因此, 满足 a <b 的有序数组 = , 所以 Pn>1.


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