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2015 年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷



2015 年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛试卷 参考答案及评分标准
说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 填空题只设 8 分和 0 分两档; 其他各题 的评阅, 请严格按照评分标准的评分档次给分, 不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理、 步骤正确, 在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分, 解答题中第 9 小题

4 分为一个档 次, 第 10、11 小题 5 分为一个档次, 不要增加其他中间档次.
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分. 1. 已知 z 为方程 z + z + z + z + 1 = 0 的根,则 z 【答案】1.
4 3 2 2015

= ______________.
2015

【解析】因为 z 5 ? 1 = ( z ? 1)( z 4 + z 3 + z 2 + z + 1) = 0 ,所以 z 5 = 1, 进而 z 2. 设 集 合 S = { 1,2, ? ,10} ,

= 1.

A = {a1 , a2 ,a 3 } 是 S 的 子 集 , 且 a1 , a2 ,a 3 满 足 :

1 ≤ a1 < a2 <a 3 ≤ 10, a2 ? a1 ≤ 4 ,那么满足条件的子集的个数为______________.
【答案】100. 【解析】依次取 a1 ∈ { 1,2,?,8},穷举可得. 3. 若函数 y = loga ( x ? ax + 1) 有最小值,则 a 的取值范围是______________.
2

【答案】 1 < a < 2 . 【解析】当 0 < a < 1 时,函数 y = loga x 单调递减. 由于 t = x ? ax + 1 没有最大值, 所
2

以函数 y = loga ( x ? ax + 1) 没有最小值.
2

当 a > 1 时,函数 y = loga ( x ? ax + 1) 有最小值, 当且仅当 t = x ? ax + 1 有大于 0 的
2 2

最小值, 当且仅当 ? = a ? 4 < 0 . 所以 1 < a < 2 .
2

4. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 0, an +1 = an + 1 + 2 an + 2 , 则 该 数 列 的 通 项 公 式

an = ______________.

【答案】 an = n + 2 ? 1 ? 2 . 【 解 析 】 因 为 an +1 + 2 = an + 2 + 2 an + 2 + 1 =

(

)

2

an +1 + 2 = an + 2 + 1 , 即 an + 2 =

{ a + 2} 是 首 项 为 2 + n ? 1 , 进而 a = (n + 2 ? 1) ? 2 .
n

(

an + 2 + 1 > 0 , 所 以

)

2

2 ,公差为 1 的等差数列. 于是

2

n

5. 设函数 f ( x) = 1? | 1 ? 2 x |,0 ≤ x ≤ 1 ,则曲线 y = f ( f ( x)) 的长为______________. 【答案】 17 . 【解析】分段画出图像, 所求长为 4 × 1 + (1 / 4) 2 = 17 . 6. 已知点 D 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点, 分别在边 AB、 AC 上随机各取一点 P 和 Q, 则角 ∠PDQ 为锐角的概率是______________.
1

【答案】

3 3 ? ln 3. 2 4

【解析】不妨设正三角形 ABC 的边长为 2, 以 DC 为 x 轴的正方向, DA 为 y 轴的正方 向, 建立坐标系. 则直线 AB 和 AC 的方程分别是:

y = 3x + 3,
∠PDQ 为锐角, 则内积

记点 P 和 Q 的坐标分别为 ? x1 ,? 3 x1 + 3 ,

(

y = ? 3 x + 3.
2

) (x ,?


3 x2 + 3 , 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1. 若角

)

DP ? DQ = ? x1 x2 + 3(1 ? x1 )(1 ? x2 ) > 0,
3? 1 ? 3 3 ?dx = ? ln 3. ?1 ? 2 ? 3 ? 2x ? 2 4

1 ? 3? ? 1 x2 < ? ? ?. 2? 3 2 ? x 1? ?

,有概率 在 0 ≤ x1 , x2 ≤ 1 上考虑满足上述条件的 (x1 , x2)

P=∫

1

0

6 3 α ?β ? ? 7. 已知 sin α + sin β = , 则 ? cos , cos α + cos β = ? = ______________. 2 ? 3 3 ?
【答案】1/4. 【解析】平方求和, 再用倍角公式即得.

2

x2 y2 25 8. 已知椭圆 + = 1 上一点 P 到点 (4,0) 的距离等于4,则 P 点到直线 x = ? 的 25 9 4
距离为______________. 【答案】7.5. 所 以 c = 4 , 且 P 到另一个焦点 (?4,0) 的距离为 2 × 5 ? 4 = 6 . 【解析】 因为 a = 5, b = 3 , 由于直线 x = ?

25 25 是椭圆的左准线方程, 因此 P 点到直线 x = ? 的距离为 4 4

d=

6 15 = = 7.5 . e 2

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. ( 本 小 题 满 分 16 分 ) 在 三 棱 锥 S-ABC 中 , SA = 4, SB ≥ 7, SC ≥ 9 , AB = 5, BC ≤ 6, AC ≤ 8 , 求三棱锥 S-ABC 体积的最大值. 【解析】设 ∠SAB = α , 则

SA2 + AB 2 ? SB 2 4 2 + 52 ? 7 2 1 ………. 4 分 cos α = ≤ =? , 2 × SA × AB 2× 4×5 5 2 6 sin α = 1 ? cos 2 α ≤ . 5 1 于是 S ?SAB = × SA × SB × sin α ≤ 4 6 , ………. 8 分 2 1 ………. 12 分 VC ? SAB ≤ × S ?SAB × BC ≤ 8 6 . 3 取 SB = 7, BC = 6 且 CB 垂直平面 SAB 时, 可以验证满足已知条件且上式等号成立, 所
以三棱锥 S-ABC 体积的最大值为 8 6 . ………. 16 分

2

10.(本小题满分 20 分)已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 上两个动点 A( x1 , y1 ) ( y1 > 0) ,

B( x2 , y2 ) ( y2 < 0) .
(1) 设 AB 的连线与 x 轴交于 C,抛物线在 A、B 两点的切线的交点坐标为 D ( x3 , y3 ) , 证明: | OC | + x3 = 0 ,其中 O 为坐标原点; (2) 若 OA ⊥ OB ,求线段 AB 的中点的轨迹方程. 【解析】 (1)因为 y1 = 2 px1 , y2 = 2 px2 , y2 ? y1 = 2 p ( x2 ? x1 ) ,直线 AB 的方程是:
2 2 2 2

y ? y1 =

y2 ? y1 ( x ? x1 ). 当 y = 0 时, x2 ? x1

2 x2 ? x1 y2 ? y12 y2 yy y1 + 1 = ? 1 2 , y1 + x1 = ? y2 ? y1 2 p ( y2 ? y1 ) 2p 2p yy ………. 5 分 所以 | OC |= ? 1 2 . 2p 另一方面,抛物线在 A、B 两点的切线方程分别为: yy1 = p ( x + x1 ), yy2 = p ( x + x2 ), yy ………. 10 分 求得其交点的横坐标为 x3 = 1 2 . 于是 | OC | + x3 = 0 . 2p

x=?

( y1 y2 ) 2 ( 2 )由( 1 )知, x1 x2 = . 因为 OA ⊥ OB ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0. 进而, 4 p2 y1 y2 + ( y1 y2 ) 2 = 0 ? y1 y2 = ?4 p 2 . 2 4p
………. 15 分

设线段 AB 的中点的坐标为 ( x, y ) ,则 x =

x1 + x2 y + y2 ,y= 1 . 于是 2 2 2 1 x +x y 2 + y2 ( y1 + y2 )2 ? 2 y1 y2 = 1 4 y 2 + 8 p 2 . x= 1 2 = 1 = 2 4p 4p 4p

[

]

[

]

整理可得

y 2 = px ? 2 p 2 为所求的轨迹方程.
11. (本小题满分 20 分)设数列 {an }满足 a1 = 1, an +1 =
2 (1) 当 n ≥ 4 时, n < an < n +1;

………. 20 分

an n + (n ∈ N * ) . 证明 n an

(2) 数列 ?

?1? 的前 n 项和 S n 满足: 当 n ≥ 4 时, 2? ? an ?
3 3 + ln(n + 2) ? ln 5 < S n < + ln n ? ln 3. 2 2

【解析】 (1)用数学归纳法证明命题:当 n ≥ 4 时, n + 当 n = 4 时,命题成立. 假设当 n ≥ 4 时, n + 所以

2 2 < an < n + 1. n

2 x n2 2 < an < n + 1 . 由于函数 f ( x ) = 2 + 在 (0, n 2 ) 上严格递减, n x n

3

2 2 2 a n 2 n + n + 2 < n + 2, a 2 > n + 1 + n + 2 > n + 1. an = + + 2 < +1 n +1 2 2 n2 n +1 n an n2 n+ n
2 n 2 2

n+

命题成立. 由数学归纳法可知,命题得证. 进而,当 n ≥ 4 时, n < an < n + 1.
2

………. 5 分

(2)当 n ≥ 4 时, 由(1)可得

1+

n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ?+ < Sn = ∑ 2 < 1 + + + + + ? + . 4 4 5 6 4 4 4 5 n +1 n k =1 ak x ………. 10 分 证明: < ln(1 + x ) < x, x > 0. 1+ x

由上式可得

1 1 1 1 ? ? 1? ? + ?+ > ln?1 + ? + ? + ln?1 + ? = ln( n + 2) ? ln 5, ………. 15 分 n +1 5 6 ? 5? ? n +1? 1 1 1 1 ? ? 1? ? + ? + < ln?1 + ? + ? + ln?1 + ? = ln n ? ln 3. n 4 5 ? 3? ? n ?1? 所以当 n ≥ 4 时, 3 3 ………. 20 分 + ln(n + 2) ? ln 5 < S n < + ln n ? ln 3. 2 2

4



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