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高中指数函数与对数函数知识点总结及对应的练习题



基本初等函数知识点
1.指数 (1)n 次方根的定义: 若 x ? a ,则称 x 为 a 的 n 次方根, “n
n

”是方根的记号。

在实数范围内,正数的奇次方根是一个正数,负数的奇次方根是一个负数,0 的奇次方根是 0; 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数, 0 的偶次方根是 0, 负数没有偶次方根。 (2)方根的性质: ①

? a?
n

n

?a

②当 n 是奇数时, n a n ? a ;当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? (3)分数指数幂的意义:
m
m n

?a (a ? 0) ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a
(4)实数指数幂的运算性质:

?

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(1)ar ? as ? _______(a ? 0, r, s ? R)
(3) ? a
r s

( 2a ) r ? as ? _ _ _ _ _ a_? _ ( r s? 0R , ,
(4) __ b ? ( , r ? 0R , ? a b? ? _ _ _ _ _ _ a
r

)
)

?

? _______(a ? 0, r , s ? R)

2.对数 (1)对数的定义: x 一般地, 如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) , 那么数 x 叫做以 记作:x ? loga N .a 为底 ..N 的对数, ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式) 常用对数:以 10 为底的对数______; 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数______. (2)指数式与对数式的关系:

a x ? N ? __________ ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 )
(3)对数的运算性质: 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: ① loga (M · N ) ? ____________________;

M ? __________________________; N ③ log a M n ? _________________________ ( n ? R ) .
② log a 注意:换底公式

loga b ?

logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . logc a
n n

(4)几个小结论: ① logan b ? _____ ;② loga
m

M ? ______ ;

③ logan b ? _______ ;④ loga b ? logb a ? ____ (5)对数的性质:
1

负数没有对数; loga 1 ? ____;loga a ? _____ . 3.指数函数及其性质 (1)指数函数的概念: 一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. (2)指数函数的图像和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域{y | y>0} 值域{y | y>0} 在 R 上单调递增 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图像都过定点(0,1) 函数图像都过定点(0,1) 当 x>0 时,y>1 当 x>0 时,0<y<1 当 x<0 时,0<y<1 当 x<0 时,y>1 4.对数函数 (1)对数函数的概念: 函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 (0,+∞) . (2)对数函数的图像和性质: a>1
3 3 2.5 2.5 2 2 1.5 1.5

0<a<1
1

1
-1

1

1

0.5

0.5

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域{x| x>0} 值域为 R 在(0,+∞)上递增 函数图像都过定点(1,0) 当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 5.幂函数 (1)幂函数定义:

定义域{x| x>0} 值域为 R 在(0,+∞)上递减 函数图像都过定点(1,0) 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

? 一般地,形如 y ? x (? ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.

(2)幂函数性质归纳: ①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图像都过点(1,1) ,不过第四象限; ② ? ? 0 时,幂函数的图像通过原点,并且在区间 (0, ??) 上是增函数; ③ ? ? 0 时,幂函数的图像在区间 (0,??) 上是减函数.与 x 轴、y 轴没有交点; ④当 ? 为奇数时, y ? x 为奇函数;当 ? 为偶数时, y ? x 为偶函数。
? ?

2

习题 1. 3 a ? 6 ?a ? ( A. ? ?a ) B. ? a C. ?a D. a )

2.若函数 y ? a x ? b ?1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图像经过二、三、四象限,则一定有( A. 0 ? a ? 1 且 b ? 0 B. a ? 1 且 b ? 0 ) 1 1 x 0 1 x C. 0 ? a ? 1 且 b ? 0 y 1 0 1 x D. a ? 1 且 b ? 0 y

3.函数 f (y x) ? log2 x 的图像是(y 1 0 1 x 1 -1 0

A B 4.下列所给出的函数中,是幂函数的是( A. y ? ? x3 B. y ? x ?3

C ) D. y ? x3 ?1

D

C. y ? 2x3 ) C. y ? x 3
1

5.在 R 上是增函数的幂函数为( A. y ? x 2 6.化简
1

B. y ? x

2

D. y ? x

?2

?

a 3b 2 ? 3 ab 2 ( a ? 0, b ? 0) 的结果是__________. 1 1 4 b a 4b2 ? 3 a

?

7.方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解 x =_______. 8. 3 ? 12 ? 8 ,则
x y

1 1 ? ? ______ . x y
2 x? y

9.若 10 ? 3 , 10 ? 4 ,则 10
x y

? ________.
,若 f (a ) ?
0.6

10.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x, x ? 0
x ?2 , x ? 0

1 ,则 a ? ______ . 2

11.用 “<” 或 “>” 连结下列各式: 0.32 12.函数 f ( x) ? (m2 ? m ?1) xm
2

____ 0.320.5 ;0.320.5 ____ 0.340.5 ;0.8?0.4 ____ 0.6?0.4 .

?2 m?3

是幂函数,且在 x ? ? 0, ??? 上是减函数,则 m=_____.

13.幂函数 f ( x ) 的图像经过点 ? 2, ? ,则 f ?

? ?

1? 4?

?1? ? 的值为______. ?2?

3

?1? 14.函数 y ? ? ? ?2?
15.计算:
0.5

x2 ?2 x ? 2

的递增区间是___________.

37 ? 7? ? 10 ? 3 ?2 0 2 ? 0.1 ? ? ? ? 2 ? ? 3? ? ; 48 ? 9? ? 27 ?

?2

(log 4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log 9 2) ? log 1 4 32
2

ex a ? 是 R 上的偶函数. 16.设 a>0, f ( x) ? a ex
(1) 求 a 的值; (2) 证明: f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数

17.设函数 f ( x) ? log2 (a ? b ) 且 f (1) ? 1, f (2) ? log2 12
x x

(1) (2)

求 a,b 的值; 当 x ? ?1,2? 时,求 f ( x) 最大值

4

指数函数、对数函数测试题答案 一、1、A;2、D;3、D;4、A;5、A;6、C;7、B;8、C;9、D;10、C;11、D;12、D; 13、A。 二、14、a<b<c;15、a=0;16、x>0;17、log1.1 1. 三、 21、解:由题意得:
0 .1

<log0.1

1 .1

;18、1/4。19、44;20、

x +3x-4≥0 X+5≠0 x-|x|≠0

2

① ② ③

由①得 x≤-4 或 x≥1,由②得 x≠-5,由③得 x<0. 所以函数 f(x)的定义域{x| x≤-4, x≠-5}

22、解: (1)∵f(x)=

2x _1 f ( x) = x 2 +1

∴f(-x)=

2 2?x

?x

1 ?1 ?1 2x 1? 2x 2x ?1 = = =1 ?1 1? 2x 2x ?1 ? 1 2x

∴f(-x)=-f(x),即 f(x)是奇函数。 (2)设 x 1 ﹥x 2

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 则 f(x 1 )= x ,f(x 2 )= x 2 2 ?1 2 1 ?1
f(x 1 )-f(x 2 )=

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ?1 ? 2 x2 ?1 = ﹥0 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

所以,f(x)在定义域内是增函数。 23 解: (1)函数 f(x)+g(x)= f(x)=loga
2 ( x ?1)

+loga

(1? x )

=loga

1? x 2

则 1-x >0,函数的定义域为{x|-1<x<1} (2) 函数 f(-x)+g(-x)= f(x)=loga 所以函数 f(x)+g(x)为偶函数。 (3) f(x)+g(x) =loga
1? x 2 1? x 2

=f(x)+g(x)

<0,

5

则 0<1-x <1,x 的集合为{x|-1<x<1}

2

24、解:∵方程 (

1 x 1 ) =3-2a 有负根, ( ) x ﹥1 3 3

∴3-2a﹥1,即 a﹤1 A 的取值范围(-∞,1) 25、解: (1)∵f(x)=
x

loga (a x _ 1) (a>0 且 a≠1)
x

∴a -1﹥0,即 a ﹥a

0

当 a﹥1 时,x 的定义域(0,+∞) 当 0﹤a﹤1 时,x 的定义域(-∞,0) (2)当 a﹥1 时,y=a -1 是增函数,f(x)= 当 0﹤a﹤1 时,y=a -1 是减函数,f(x)= (3)∵f(x)=
x x

loga (a x _ 1) 是单调增。 loga (a x _ 1) 是单调减

loga (a x _ 1) (a>0 且 a≠1)
( a 2 x ?1)

∴ f(2x)=loga f
?1

,

(x)=loga
( a 2 x ?1)

( a x ?1)

即 loga a
x 2x

= loga
2x

( a x ?1)

-1=a +1,a

x

-a -2=0,
2

x

a =-1,(无解) a =2,x=loga 26、解:(1)设 x=a=0, ∵f(x+a)=f(x)+f(a) ∴f(0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0 (2)设 x=-a ∵f(x+a)=f(x)+f(a) ∴f(0)=f(-a)+f(a),即 f(-a)=-f(a) ∴f(x)为奇函数. 27 略

x

28、解: (1)由题意可知,用甲车离开 A 地时间 th 表示离开 A 地路程 Skm 的函数为:

S=

75t (0≤t﹤2) 150 (2≤t≤4) 150+100t (4﹤t≤5.5)

(2)由题意可知,若两车在途中恰好相遇两次,那么第一次相遇应该在甲车到达中点 C 处停留 的两个小时内的第 t 小时的时候发生,2h<t<4h,
6

则 150/4<U<150/2,即 37.5km/h<U≤75km. 而第二次相遇则是甲车到达中点 C 处停留两小时后,重新上路的第 t 小时赶上乙车的,4h <t<5.5h, 则 150/4<U<300/5.5,即 37.5km/h<U<54.55km/h 所以,综合以上情况,乙车行驶速度 U 的取值范围是: 37.5km/h<U<54.55km/h。

7



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