9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)



河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四数学周 练试题(三)
一、选择题(共 12 小题,共 60 分) 1.已知 F2,F1 是双曲线
y2 x2 ? (a ? 0, b ? 0) 的上,下两个焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F1 a2 b2

为圆心,| OF1 |为半径的圆上,则双曲线的离心率为( A.2 B. 3 C.3 D. 2



2.以椭圆 A.

x2 y2 ? ? 1 的焦点为顶点、顶点为焦点的的双曲线方程是( 24 49



x2 y2 ? ?1 25 24

B.

x2 y2 ? ?1 24 25

C.

y2 x2 ? ?1 25 24

D.

y2 x2 ? ?1 24 25

3.已知函数 f (x) ? x ? 2 ? 2x ? 2015 ? x ? 2 ? 2x ? 2015 (x ? R ) ,则使方程

f (m2 ? 3m ? 2) ? f (m ?1) 成立的整数 ..m 的个数是(
A.3 个 B.4 个 C.5 个



D.无穷多个

4.已知函数 f (x) 是定义在 ( ? ?, 0) ? (0, ??) 上的奇函数, 在区间 ( ? ?, 0) 单调递增且 f ( ? 1) ? 0 .若 实数 a 满足 A. [1, 2]

f ( log 2 a) ? f ( log 1 a) ? 2 f (1) , 则实数 a 的取值范围是(
2



B. ( ? ?, ] ? (1, 2]

1 2

C. (0, 2]

D. (0, ] ? (1, 2] )

1 2

5.若关于 x 的方程 a2 x ? (1 ? lg m)a x ? 1 ? 0 (a ? 0 且 a ? 1) 有实数解,则实数 m 的取值范围是( A. 0 ? m ? 10?3 或 m ? 10 B. 0 ? m ? 10?3 C. m ? 10 D. 0 ? m ?

1 10
) D. (3, 4)

6.方程 x ? 2 ? log3 x ? 0 的根所在的区间为( A. (0, 1) B. (1, 2) C. (2, 3)

7.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2AD,设 ?DAB ? ? , ? ? (0, ) ,以 A、B 为焦点且过点 D 2 的双曲线的离心率为 e1 ,以 C、D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ,则 e1 ? e2 ( )

?



1第

A.随着 ? 角的增大而增大 C.为定值 1

B.随着 ? 角的增大而减小 D.为定值 2

8.若所有满足 a | x | ?b | y |? 1(a ? 0, b ? 0) 的实数 x, y 均满足 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1
? 2 2 ,则 a ? 2b 的取值范围为(

) D. (0,2]

A. [2,??)

B. [1, 2 ]

C. [1,?? )

9.对实数 a 和 b 定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 2 2 设函数 f ( x ) ? ? x ? 2 ? ? ? x ? x ? , x ? R ,若函 b , a ? b ? 1. ?


数 y ? f ( x) ? c 恰有两个不同的零点,则实数 c 的取值范围是( A、 ? ??, ?2? ? ? ?1, ? B、 ? ??, ?2? ? ? ?1, ? ?

? ?

3? 2? 3? 4?

? ?

C、 ? ?1, ? ? ? , ?? ?

? ?

1? ?1 4? ?4

? ?
? ?


D、 ? ?1, ? ? ? ? , ?? ?

? ?

3? ?1 4? ?4

10.函数 y ? ln cos x ? ?

?? ? ? ? x ? ? 的大致图像是( 2? ? 2



2第

11.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,且 0 ? f (?1) ? f (?2) ? f (?3) ? 3 ,则( A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6 C. 6 ? c ? 9 上 的 函 数 D. c ? 9



12 . 定 义 在

?? 1,1?

? x? y ? f ?x ? ? f ? y ? ? f ? 1 , ?时 0 f? ? 1 ? xy ? ? ; 当 x ?? ? ? ?
). D. Q ? P ? R

?x

? 若 0 .

?1? P ? f ? ?? ?5?

?1? ?1? f ? ? , Q ? f ? ? , R ? f ? 0 ? ;则 P, Q, R 的大小关系为( ? 11 ? ?2?
B. R ? P ? Q C. P ? R ? Q

A. R ? Q ? P

第 II 卷(非选择题)

二、填空题(4 小题,共 20 分)

x2 y 2 13 . 设 AB 是 椭 圆 2 ? 2 ? 1 的 不 垂 直 于 对 称 轴 的 弦 , M 为 AB 的 中 点 , O 为 坐 标 原 点 , 则 a b

k AB ? kOM ? ___________.
14.设 P 是双曲线


x2 y2 ? ? 1 上一点,M,N 分别是两圆: ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上的点,则 9 16
3第

| PM | ? | PN | 的最大值为____________.

15.已知抛物线 C : y 2 ? 2x ,过抛物线 C 上一点 P(1, 2 ) 作倾斜角互补的两条直线 PA 、 PB ,分别交抛 物线 C 于 A 、 B 两点.则直线 AB 的斜率为 .

2 16.已知 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ? ?0,3? 时, f ( x) ? x ? 2 x ?

1 , 2
.

若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 ? ?3, 4? 上有 10 个零点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 三、解答题(8 小题,共 70 分)

x2 y2 17.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点,F1、F2 分别为椭圆a2+b2=1 的左、右焦 点.已知△F1PF2 为等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满足 AM ?BM =-2,求点 M 的轨迹方程. 18.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)过点 A(1,-2). (Ⅰ)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (Ⅱ)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的 距离等于
5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5

???? ? ???? ?

19.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. ) 已知数列{ an }满足: a1 ? 1, | an?1 ? an |? p , n ? N , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和。
n *

若{ an }是递增数列,且 a1 , 2a2 ,3a3 成等差数列,求 p 的值; 若p?

1 ,且{ a2 n?1 }是递增数列, { a2 n }是递减数列,求数列{ an }的通项公式; 2

若 p ? 1 ,对于给定的正整数 n ,是否存在一个满足条件的数列 {an } ,使得 Sn ? n ,如果存在,给出一个 满足条件的数列,如果不存在,请说明理由。 20.(本题满分 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. ) 如图所示,一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下球状液体,其中球状 液体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴? (2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟),瓶内液面与进气管的距离为 h (单位:厘米),已知 当 x ? 0 时, h ? 13 .试将 h 表示为 x 的函数.(注: 1cm3 ? 1000 m m3 )
页 4第

21.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? x ln x , g ? x ? ?

ax 2 ,直线 l : y ? ? k ? 3? x ? k ? 2 . 2

(1)函数 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行,求实数 k 的值; (2)若至少存在一个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求实数 a 的取值范围; (3)设 k ? ? ,当 x ? 1 时 f ? x ? 的图象恒在直线 l 的上方,求 k 的最大值. 22.(本题小满分 12 分) 如图,直三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, D , ? 分别是 ?? , ??1 的中点, ??1 ? ?C ? C? ? (1)证明: ?C1 // 平面 ?1CD ; (2)求异面直线 ?C1 和 ?1D 所成角的大小; (3)当 ?? ? 2 2 时,求三棱锥 C ? ?1D? 的体积.

2 ?? . 2



5第

23.(本题小满分 12 分)

/ C 如 图 , 在 直 角 梯 形 ?? CD 中 , ?D / ? , ??DC ? 90? , ?? ? 平 面 ?? CD , ?F//CD ,
?C ? CD ? ?? ? ?F ? 1 ?D ? 1 . 2

(1)求证: C ? // 平面 ?? F ; (2)在直线 ? C 上是否存在点 ? ,使二面角 ? ? ? D ? ? 的大小为 在,说明理由.

? ?若存在,求出 C? 的长;若不存 6

24.(本题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. ) 已知数列{ an }满足: a1 ? 1, | an?1 ? an |? p , n ? N , Sn 为数列 {an } 的前 n 项和。
n *

若{ an }是递增数列,且 a1 , 2a2 ,3a3 成等差数列,求 p 的值; 若p?

1 ,且{ a2 n?1 }是递增数列,{ a2 n }是递减数列,求数列{ an }的通项公式; 2

若 p ? 1 ,对于给定的正整数 n ,是否存在一个满足条件的数列 {an } ,使得 Sn ? n ,如果存在,给出一个 满足条件的数列,如果不存在,请说明理由。



6第

参考答案 1.A 【解析】
c 试题分析:设点 F2 关于渐近线的对称点为 P,PF2 交渐近线与 M,则 OM ? , MF2 ? b 在直角三角形 O F2M 2

中有

3c ? b ? 3c 2 ? 4b 2 ? 3c 2 ? 4c 2 ? 4a 2 ? c 2 ? 4a 2 ? e ? 2 ,选 A. 2

考点:双曲线性质 【名师点睛】求双曲线离心率或离心率范围的两种方法 一种是直接建立 e 的关系式求 e 或 e 的范围;另一种是建立 a,b,c 的齐次 关系式,将 b 用 a,c 表示,令两边同除以 a 或 a 化为 e 的关系式,进而求解. 2.C 【解析】 试题分析:椭圆 方程是
x2 y2 ? ? 1 的焦点为 (0, ?5) 、双曲线顶点为 (0, ?5) ,因此双曲线焦点为 (0, ?7) ,双曲线 24 49
2

y2 x2 ? ? 1 ,选 C. 25 24

考点:椭圆与双曲线方程 【名师点睛】 用待定系数法求双曲线标准方程的四个步骤 (1)作判断:根据条件判断双曲线的焦点在 x 轴上,还是在 y 轴上,还是两个坐标轴都有可能. (2)设方程:根据上述判断设出方程. (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a,b,c 的方程组. (4)得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 3.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 分 段 函 数 图 像 知 : 满 足 方 程 的 自 变 量 为 : ?2 ? m2 ? 3m ? 2 ? 2, ?2 ? m ?1 ? 2 或

m2 ? 3m ? 2 ? ?(m ?1)
解得: 0 ? m ? 3 ,所以满足条件的整数 m 为 4 个,选 B. 考点:利用函数性质解方程 【名师点睛】 1.研究函数性质时一般要借助于函数图像,体现了数形结合思想; 2.有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决;
页 7第

3.方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决. 4.D 【解析】 试题分析:因为函数 f (x) 为奇函数,所以 f ( log 1 a) ? f (-log 2 a) ? ? f ( log 2 a) , f ( ? 1) ? 0 ? f (1) 因
2

此不等式等价于 2 f (log2 a) ? 2 f (1), f (log 2 a) ? f (1) ? f (?1) ,因为奇函数 f (x) 在区间 ( ? ?, 0) 单调递

, ) 单 调 递 增 , , 因 此 0 ? log2 a ? 1或 log2 a ? ?1 , 解 得 增 , 所 以 函 数 f (x) 在 区 间 ( 0 ?? 也

1? a ? 2 或 0 ?a?

1 ,选 D. 2

考点:函数奇偶性与单调性综合 5.B 【解析】 试题分析:设 t ? a x ? 0, 则t 2 ? (1 ? lg m)t ? 1 ? 0 有正数解,由于两根之积为 1,因此必有两个正根,即

? ? (1 ? lg m)2 ? 4 ? 0, ?(1 ? lg m) ? 0 ? 1 ? lg m ? ?2 ? lg m ? ?3 ? 0 ? m ? 10?3 ,选 B.
考点:二次方程实根分布 【名师点睛】 数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找 思路.含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的 位置关系,讨论二次方程根的大小等.本题解题的关键在于利用换元思想方法,将问题转化为一元二次方 程根的分布,即二次函数零点的分布,关键在于作出二次函数的草图,由此列出不等式组,要注意二次函 数的对称轴及Δ 与方程根的关系. 6.A 【解析】 试题分析:令 f ( x) ? x ? 2 ? log3 x ,因

f (1) ? 1 ? 2 ? log 3 1 ? 3 ? 0, f (
考点:零点存在性定理 【名师点睛】

1 1 1 26 )? ? 2 ? log 3 ?? ? 0, 因此选 A. 27 27 27 27

要判断在给定区间连续的函数是否存在零点, 只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件; 如果题目没有给出具体区间,则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求.但应注意到:不满足 f (a)·f(b)<0 的函数也可能有零点,此时,应结合函数性质分析判断.对于一般函数零点个数的判断,
页 8第

不仅要用到零点存在性定理,还必须结合函数的图象和性质才能确定,如三次函数的零点个数问题. 7.C 【解析】 试 题 分 析 :

e1 ?

AB CD AB CD 2CD 2 ,e ?2 ,? e e ? 1 ? ? , 2 DB ? DA AC ? DA DB ? DA AC ? DA AC 2 ? AD 2



3 1 AC 2 ? AD2 ? ( CD)2 ? ( CD)2 ? 2CD2 ,因此 e1e2 ? 1, 选 C. 2 2
考点:椭圆及双曲线定义 【名师点睛】 (1)椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程;二是利用定义求焦 点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)利用定义和余弦定理可求得|PF1|·|PF2|,再结合|PF1| +|PF2| =(|PF1|+|PF2|) -2|PF1|·|PF2| 进行转化,可求焦点三角形的周长和面积. 8.A 【解析】 试 题 分 析 : 因 为
2 2 2

x2 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? ( y ? 1)2 ? x2 ? ( y ? 1)2
?2 2

, 所 以

x2 ? y2 ? 2 y ? 1 ? x2 ? y 2 ? 2 y ? 1

表 示 椭 圆

y2 ? x2 ? 1 2

及 其 内 部 , 因 此

1 1 ? 1, ? 2 ? a ? 1, 2b ? 1 ? a ? 2b ? 2 ,选 A. a b

考点:椭圆定义 【名师点睛】 1.椭圆定义的应用范围 (1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆. (2)解决与焦点有关的距离问题. 2.焦点三角形的应用 椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长;利用定义和余 弦定理可求|PF1||PF2|;通过整体代入可求其面积等. 9.B 【解析】

3 ? 2 x ? 2 , ? 1 ? x ? ? 3 ? 2 试题分析: 令 x2 ? 2 ? ( x ? x2 ) ? 1, 即 2x2 ? x ? 3 ? 0 , 解得 ? 1 ? x ? , 则 f ( x) ? ? , 3 2 2 ? x ? x , x ? ?1或x ? ? 2 ?



9第

则 f ( x) 的图象如图所示,且曲线的端点分别为 (?1,1), (?1,?2), ( , ), ( ,? ) ,令 y1 ? f ( x) , y2 ? c , 由 图 象 , 可 知 当 c ? ?2 或 ? 1 ? x ? ?

3 1 2 4

3 2

3 4

3 时 , 直 线 y2 ? c 与 y1 ? f ( x) 的 图 象 有 两 个 交 点 , 即 函 数 4

y ? f ( x) ? c 恰有两个不同的零点;故选 B.

考点:1.分段函数;2.函数的零点. 【思路点睛】本题考查分段函数、函数的零点以及数形结合思想的应用,属于中档题;处理函数的零点个 数问题,一般有两种思路,一是转化为相应方程的根的求解或个数问题,此类方程是基本函数对应的方程, 第二类,涉及的方程不容易解出,常用的方法是合理分离,构造新的函数,利用直线与曲线的交点个数、 两条曲线的交点个数问题. 10.A 【解析】 试题分析:? f (? x) ? ln cos(? x) ? ln cos x ? f ( x) ,? y ? ln cos x 为偶函数,其图象关于 y 轴对称,故

排除选项 B、D,又? f ( ) ? ln

?

4

2 ? ln 1 ? 0 ,故排除选项 C;故选 A. 2

考点:1.函数的奇偶性;2.函数的图象. 【方法点睛】本题考查函数的解析式与图象和性质,属于基础题;利用函数的解析式确定其图象的大致形 状,往往利用排除法,主要从几方面(定义域、最值、奇偶性、单调性、对称性,特殊点对应的特殊值) 进行验证排除,如本题中,先由函数 y ? ln cos x ? ? D,在通过特殊点 11.C 【解析】
页 10 第

?? ? ? ? x ? ? 为偶函数、图象关于 y 轴对称排除选项 B、 2? ? 2

? 的函数值排除选项 C. 4

试题分析:由已知可知, f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? t ? x3 ? 6 x 2 ? 11x ? 6 ? t ,且 0 ? t ? 3 ,c ? 6 ? t , 所以 6 ? c ? 9 。故选 C。 考点:求参数范围。 12.B 【解析】 试 题 分 析 : 令 x ? y ? 0 , 则 可 得 f (0) ? 0 , 令 x ? 0 , 则 ? f ( y) ? f (? y), 即 f ( x ) 为 奇 函 数 , 令

1 ? x ? y ? 0 ,则

x? y ? x? y ? ? 0 ,所以 f ? x ? ? f ? y ? ? f ? ? ? 0 ,即 x ? ? 0,1?时f ? x ? 递减, 1 ? xy ? 1 ? xy ?

?1? 又P ? f ? ?? ?5?

?1? ?1? f ? ? ? f ? ?? ? 11 ? ?5?

? 1 1 ? ? 5 ? 11 ? 2 2 1 2 1 ? 1? f ?? ? ? f ? ? f ( ) ,因 ? ,所以 f ( ) ? f ( ) ,即 ? 7 2 7 2 7 ? 11 ? ? 1? 1 ? 1 ? ? 5 11 ?

0 ? P ? Q ,故选 B.
考点:抽象函数比大小. 【方法点睛】 抽象函数问题的解法突破: (1) 赋值法, 利用题目中的等量关系得到特殊变量对应的函数值, 从而得到函数的奇偶性;(2)利用题目中的不等关系,判断出函数的单调性;(3)利用奇偶性及单调性 比大小,同时也可以解不等式.如本题:①通过等量关系 f ?x ? ? f ? y ? ? f ? ? 1 ? xy ? ? 赋值得到 f (0) ? 0 , ? ? 同时令 x ? 0 ,则 ? f ( y) ? f (? y) ,即 f ( x ) 为奇函数;②通过不等关系 x ? ? ?1,0?时f ? x ? ? 0. 得到函数

? x? y ?

x ? ? 0,1?时f ? x ? 递减,从而利用单调性比大小.
13. ?

b2 a2

【解析】 试题分析:设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,代入椭圆方程得 b x1 ? a y1 ? 1, b x2 ? a y2 ? 1 ,两式相减得
2 2 2 2 2 2 2 2

b ? x1 ? x2 ?? x1 ? x2 ? ? ?a
2

2

? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? ? b2 ,即 k AB ?kOM ? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ,变形为 x ? x x ? x ? 1 2 ?? 1 2 ? a 2

??

b2 a2

考点:点差法求解椭圆中点弦问题 14.9 【解析】 试题分析:设两圆 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 和 ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 圆心分别为 A , B,则 A, B 正好为双曲线两焦点,
页 11 第

| PM | ? | PN |?| PA | ?2 ? (| PB | ?1) ?| PA | ? | PB | ?3 ? 2a ? 3 ? 6 ? 3 ? 9 ,即最大值为 9

考点:双曲线定义 15. ?

2 2

【解析】

试题分析:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则

k PA ? ?k PB ?

y1 ? 2 y ? 2 y ? 2 y ? 2 ?? 2 ? 12 ?? 22 y1 y2 x1 ? 1 x2 ? 1 ?1 ?1 2 2

?

1 1 ?? ? y1 ? y2 ? ?2 2 , y1 ? 2 y2 ? 2

因此

k AB ?

y1 ? y2 y1 ? y2 2 2 ? 2 ? ?? 2 x1 ? x2 y1 y2 y1 ? y2 2 ? 2 2

考点:抛物线参数方程

(0, ) 16.
【解析】

1 2

(0, ) 试题分析:由图像得,实数 a 的取值范围是

1 2

考点:函数零点 【名师点睛】 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.
页 12 第

17.(1) 【解析】

1 2 (2)18x -16 3 xy-15=0(x>0) 2

试题分析:(1)由等腰三角形,结合图形可知|PF2|=|F1F2|,将三点坐标代入可得到关于 a, b, c 的方程, 整理化简即可求得离心率的值;(2)求动点轨迹方程的一般步骤:设所求点坐标为 ? x, y ? ,找到所求点满 足的关系式并将其转化为点的坐标表示,将得到的关系式化简可得到动点的轨迹方程,最后注意验证是否 有不满足要求的点, 本题中首先设出点 M 的坐标 (x,y) 由题意求得点 A,B 坐标, 将三点坐标代入 AM ?BM =-2 中化简即可求得轨迹方程 试题解析:(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0). 由题意,可得|PF2|=|F1F2|, 即

???? ? ???? ?

?a ? c?

2

? b 2 =2c,

整理,得 2 ? 得

?c?2 c ? + -1=0, a ?a?

c c 1 =-1(舍),或 = . a a 2 1 所以 e= . 2
(2)由(1)知 a=2c,b= 3 c,可得椭圆方程为 3x +4y =12c , 直线 PF2 的方程为 y= 3 (x-c).
2 2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12c A,B 两点的坐标满足方程组 ? ? ? y ? 3 ? x ? c?
2 2 2

消去 y 并整理,得 5x2-8cx=0,解得 x1=0,x2=

8 c. 5

8 ? x2 ? c ? x ? 0 ? 5 ? 1 ? ,? 得方程组的解 ? ? ? y1 ? ? 3c ? y ? 3 3 c 2 ? 5 ?
不妨设 A ? ? c,

?8

?5

3 3 ? c ? ,B 0, ? 3c . 5 ? ?

?

?

设点 M 的坐标为(x,y),则 AM = ? ? x ? 5 c, y ? 5 c ? ?, ? ?

???? ?

?

8

3 3 ?

???? ? BM =(x,y+ 3 c).
页 13 第

由 y= 3 (x-c),得 c=x-

3 y. 3
3 3 ?
???? ?

于是 AM = ? ? 15 y ? 5 x, 5 y ? 5 x ? ? , BM =(x, 3 x). ? ? 由 AM · BM =-2, 即? ?

???? ?

?8 3

3

8

???? ?

???? ?

?8 3 ?8 3 ? 3 3 y ? x? y? · x + ? ? ? 5 ? 5 ? 15 ?5

? x? ? · 3 x=-2, ?

化简得 18x2-16 3 xy-15=0.(10 分) 将 y=

18 x 2 ? 15 10 x 2 ? 5 3 代入 c=x- y,得 c= >0.所以 x>0. 16 x 16 3 3

因此,点 M 的轨迹方程是 18x -16 3 xy-15=0(x>0). 考点:1.椭圆方程及性质;2.动点的轨迹方程 18.(Ⅰ) y 2 ? 4 x , x ? ?1 .(Ⅱ) 2 x ? y ? 1 ? 0 . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求抛物线标准方程,一般利用待定系数法,只需一个独立条件确定 p 的值:(-2)2= 2p·1,所以 p=2.再由抛物线方程确定其准线方程: x ? ?1 ,(Ⅱ)由题意设 l : y ? ?2 x ? t ,先由直线 OA 与 l 的距离等于 点确定 t ? 1. 试题解析:解 (1)将(1,-2)代入 y2=2px,得(-2)2=2p·1, 所以 p=2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x 其准线方程为 x ? ?1 . (2)假设存在符合题意的直线 l , 其方程为 y ? ?2 x ? t .
? y ? ?2 x ? t 由? 2 得 y 2 ? 2 y ? 2t ? 0 . y ? 4 x ?
|t | 1 5 ? 根据两条平行线距离公式得: 解得 t ? ?1 ,再根据直线 l 与抛物线 C 有公共 5 5 5
2

因为直线 l 与抛物线 C 有公共点,



14 第

所以Δ =4+8t≥0,解得 t ? ?

1 . 2
5 5

另一方面,由直线 OA 到 l 的距离 d ? 可得
|t | 5 ? 1 5

,解得 t ? ?1 .
1 1 ,+∞),1∈[- ,+∞), 2 2

因为-1?[-

所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 2 x ? y ? 1 ? 0 . 考点:抛物线方程,直线与抛物线位置关系 【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程 (1)方法:求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有 p,所以只需一个条件确定 p 值即可. (2)流程:因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量. 提醒:求标准方程要先确定形式,必要时要进行分类讨论,标准方程有时可设为 y =mx 或 x =my(m≠0). 19.(1) p ? 【解析】
2 2

1 4 1 (?1) n (2) an ? ? ? n ?1 (3)详见解析 3 3 3 2

a3成 等 差 数 列 得 4a2 ? a1 ? 3a3 , 再 由 ?an ? 是 递 增 数 列 得 试 题 分 析 : ( 1 ) 由 a1 , 2a2 , 3

a2 ? a1 ? p, a3 ? a2 ? p2 , 代入得 3 p2 ? p ? 0 ,解得 p ? , p ? 0 ,经检验得 p ? (2)由{ a2n?1 }是递增
数 列 , { a2 n } 是 递 减 数 列 得 : a2n ? a2n?1 ? 0 , a2n?1 ? a2 n ? 0 , 因 此

1 3

1 3

a2 n ? a2 n?1 ? ( )2 n?1 ,

1 2

?1? a2n?1 ? a2n ? ? ? ? ? 2?

2n







1) n 4 an ? a1 ? (a ? a ? a ? a ? ? 2an ? ) an? ? 1 ? 1 ? 12 ? ... ? 1(?n ( ? ?1 2 2 2
3

?

n

n ?1

( 3 )由题意得 ?) 3

1 3

| an?1 ? an |? 1 S1 ? 1 , S2 ?





a1 ? 1, ;





a2 ? 2 ? 4 ,

, a3 0? ; 2? , 0 ;

? a 34

,? ? 1 1 0

, 所 ,

? 1 以 8 即 ,

; 6

3 S,3 ? 1

S4 6 ?

,

S4k ?3为奇数;S4k ?2为奇数; S4k ?1为偶数; S4k为偶数 ( ; k ? N? ) 因此只有 S4k ?3,S4k 满足 Sn ? n
试题解析:解(1)因为 ?an ? 是递增数列,所以 an?1 ? an ? an?1 ? an ? p 。而 a1 ? 1 ,因此又 a1 , 2a2 ,3a3
n

成等差数列,所以 4a2 ? a1 ? 3a3 ,因而 3 p2 ? p ? 0 ,解得 p ? 当 p ? 0 时, an?1 ? an ,这与 ?an ? 是递增数列矛盾。故 p ?
页 15 第

1 ,p?0 3

1 . 3

(2)由于 ?a2n?1? 是递增数列,因而 a2n?1 ? a2n?1 ? 0 ,于是 但

1 1 ? 2 n ?1 ,所以 ? a2n?1 ? a2n ? ? ? a2n ? a2n?1 ? ? 0 2n 2 2

① ②

a ?a ? a ?a . 2n ? 1 2n 2n 2n ?1
由①,②知, a2n ? a2n?1 ? 0 , 因此 a2 n

1 (?1)2n ? a2n?1 ? ( )2n?1 ? 2n?1 2 2



因为 ?a2 n ? 是递减数列,同理可得, a2n?1 ? a2 n ? 0 ,

?1? 故 a2n?1 ? a2n ? ? ? ? ? 2?

2n

?

(?1)2n?1 22n
(?1) n ?1 。 2n



由③,④即知, an ?1 ? an ?

1 1 (?1) n a ? a ? ( a ? a ) ? ( a ? a ) ? ... ? ( a ? a ) 于是 n n 1 2 1 3 2 n?1 ? 1 ? ? 2 ? ... ? n ?1 2 2 2

1 ? 1? ? 2

1 1 ? (? ) n ?1 4 1 ( ?1) n 2 ? ? ? n ?1 . 1 3 3 2 1? 2
4 1 (?1) n ? ? 3 3 2n ?1

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

(3)令 ck ? ak ?1 ? ak (k ? 1, 2,?, n ?1), 则ck ?{1, ?1}. 因为 a2 ? a1 ? c1 , a3 ? a1 ? c1 ? c2 ,??, an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 , 所以 Sn ? na1 ? (n ?1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ?? cn?1

? n?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ?1 )]. 2

1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ?1). 因为 ck ?{1, ?1}, 所以
所以 (1 ? c1 )(n ?1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ?? (1 ? cn ) 为偶数, 所以要使 S n ? n, 必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) .

{a n }满足 : 当 n ? 4m, 4m ? 3(m ? N*)时, 数列
页 16 第

a4k ?3 ? a4k ?1 ? 1, a4k ?2 ? 0, a4k ? 2 (k ? N * ) 时,有 Sn ? n;
当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ?1(m ? N * )时, n(n ?1) 不能被 4 整除, 此时不存在数列 {an } ,使得 Sn ? n 。 考点:数列递推关系综合应用 【名师点睛】

判断数列递增(减)的方法 (1)作差比较法: ①若 an+1-an>0,则数列{an}为递增数列. ②若 an+1-an=0,则数列{an}为常数列. ③若 an+1-an<0,则数列{an}为递减数列. (2)作商比较法:不妨设 an>0. an+1 ①若 an >1,则数列{an}为递增数列. an+1 ②若 an =1,则数列{an}为常数列. an+1 ③若 an <1,则数列{an}为递减数列.
x ? 13 ? , 0 ? x ? 144 ? ? 16 20.(1) 75 (2) h( x ) ? ? ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
【解析】 试题分析: (1)利用滴下液体的总体积等于对应两个圆柱的组合体的体积列等量关系:液体的总体积等于 每粒球状液体体积总和,即 k 滴球状液体的体积为 k ?

4 ? ? ?10 ;而瓶内液体的体积为 ? ? 42 ? 9 ? ? ? 22 ? 3 , 3

解得 k ? 75 (2)由于输液瓶为两个圆柱的组合体,因此瓶内液面与进气管的距离下降的速度不一样,需 分段讨论,先确定讨论点,即 h ? 13 ? 9 ? 4 ,对应 x ? 144 ;再利用滴下液体的总体积等于输液瓶下降液 体体积,从而当 4 ? h ? 13 时,0 ? x ? 144 ,h ? 13 ? 试题解析:解(1)设每分钟滴下 k ( k ? N * )滴, 则瓶内液体的体积 V1 ? ? ? 4 2 ? 9 ? ? ? 2 2 ? 3 ? 156 ? cm 3

x x ;当 1 ? h ? 4 时,144 ? x ? 156 ,h ? 40 ? . 16 4

4 40 k k? mm 3 ? k 滴球状液体的体积 V2 ? k ? ? ? ? 10 ? cm 3 3 3 75



17 第

所以 156? ?

k? ? 156 ,解得 k ? 75 ,故每分钟应滴下 75 滴。 75

(2)由(1)知,每分钟滴下 ? cm 3 药液

x ,此时 0 ? x ? 144 16 x 当 1 ? h ? 4 时, x? ? ? ? 4 2 ? 9 ? ? ? 2 2 ? (4 ? h) ,即 h ? 40 ? ,此时 144 ? x ? 156 4
当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 2 ? (13 ? h) ,即 h ? 13 ?

x ? 13 ? , 0 ? x ? 144 ? ? 16 综上可得 h( x ) ? ? ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
考点:分段函数应用题,圆柱体积 【名师点睛】

解函数应用题的一般步骤:第一步:审题——弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:建模——将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步: 求模——求解数学模型,得到数学结论; 第四步:还原——将用数学方法得到的结论还原为 实际问题的意义.第五步:反思回顾——对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学 解对实际问题的合理性.实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几 个不同的关系式构成,应构建分段函数模型求解.
21.(1)5(2) ? 0, ?? ? (3)5 【解析】 试题分析:(1)由导数几何意义得 f ? ? e? 等于直线 l 的斜率,因为 f ? ? x ? ? ln x ? 1,所以 ln e ? 1 ? k ? 3 , 解得 k ? 5 .(2)不等式有解问题,一般利用变量分离法转化为对应函数最值问题: a ? ( 用导数求对应函数 h ? x ? ?

2 ln x ) min ,利 x

2 ln x 最值: h ? x ?min ? 0 ,即实数 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? .(3)本题实质仍 x

为不等式恒成立问题,即 x ln x ? ? k ? 3? x ? k ? 2 在 x ? 1 时恒成立,利用变量分离法转化为对应函数最值 问题: k ?(

x ln x ? 3 x ? 2 x l nx ? 3 x? 2 ) m i n, 利 用 导 数 求 对 应 函 数 F ? x ? ? 最值取值范围: x ?1 x ?1

F ? x ?min ? ?5,6? ,因此 k ? 5,k 的最大值为 5 .
试题解析:解:(1)由已知得, f ? ? x ? ? ln x ? 1,且 f ? x ? 在 x ? e 处的切线与直线 l 平行, 所以 f ? ? e? ? ln e ?1 ? 2 ? k ? 3 ,解得 k ? 5 . (2 分)



18 第

( 2 )由于至少存在一个 x0 ??1, e? 使 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,所以 x ln x ?

ax 2 成立至少存在一个 x ,即 2

a?

2 ln x 成立至少存在一个 x . x

令 h ? x? ?

2 ?1 ? ln x ? 2 ln x 2 ln x ,当 x ??1, e? 时, h? ? x ? ? 在 ?1, e? 单调递增. ? 0 恒成立,因此 h ? x ? ? 2 x x x
(6 分)

故当 x ? 1 时, h ? x ?min ? 0 ,即实数 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? . (3)由已知得, x ln x ? ? k ? 3? x ? k ? 2 在 x ? 1 时恒成立,即 k ? 令 F? x? ?

x ln x ? 3 x ? 2 . x ?1

x ? ln x ? 2 x ln x ? 3 x ? 2 ,则 F? ? x ? ? ,令 m ? x ? ? x ? ln x ? 2 , 2 x ?1 ? x ?1?
1 x ?1 ? ? 0 在 x ? 1 时恒成立. x x

则 m? ? x ? ? 1 ?

所以 m ? x ? 在 ?1, ?? ? 上单调递增,且 m ?3? ? 1 ? ln3 ? 0 , m ? 4? ? 2 ? ln 4 ? 0 , 所以在 ?1, ?? ? 上存在唯一实数 x0 ( x0 ? ? 3, 4? )使 m ? x ? ? 0 . 当 1 ? x ? x0 时, m ? x ? ? 0 即 F? ? x ? ? 0 ,当 x ? x0 时, m ? x ? ? 0 即 F? ? x ? ? 0 , 所以 F ? x ? 在 ?1, x0 ? 上单调递减,在 ? x0 , ??? 上单调递增. 故 F ? x ?min ? F ? x0 ? ?

x0 ln x0 ? 3x0 ? 2 x0 ? x0 ? 2 ? ? 3x0 ? 2 ? ? x0 ? 2 ? ? 5,6 ? . x0 ? 1 x0 ? 1
(12 分)

故 k ? x0 ? 2 ( k ? ? ),所以 k 的最大值为 5 . 考点:导数几何意义,利用导数研究函数最值 【名师点睛】

导数及其应用通常围绕四个点进行命题.第一个点是围绕导数的几何意义展开,设计求曲线的切线方程, 根据切线方程求参数值等问题,这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识, 试题的难度不大;第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开,设计求函数的单调区间、 极值、最值,已知单调区间求参数或者参数范围等问题,在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合 思想、化归与转化思想等数学思想方法;第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开,涉及不等式的证明、 不等式的恒成立、讨论方程根等问题,主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不 等式和方程等问题的能力,该点和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心是导数研究函数性质 的方法和函数性质的应用;第四个点是围数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力,该点 和第二个点一般是解答题中的两个设问,考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用.
页 19 第

22.(1)详见解析(2) 【解析】

? (3)1 6

试题分析: (1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理进行论证,即从寻求线线平行出发,结合本题, 应找三角形的中位线,设 ?C1 与 ?1C 相交于点 F ,则 DF// ?C1 (2)求线线角,基本方法为找平行,即将 两异面直线转化为两相交直线:由(1)得 DF// ?C1 ,因此 ??1DF 或其补角为异面直线 ?C1 和 ?1D 所成 角.然后利用余弦定理解三角形得所求角(3)求三棱锥的体积,关键在于确定高,即从线面垂直关系找垂 线:由直三棱柱可得侧面与底面垂直,利用面面垂直性质定理可得线面垂直,即 CD ? 平面 ???1?1 ,也 为所求三棱锥的高,最后结合锥的体积公式得解. 试题解析:解:(1)证明:连接 ?C1 与 ?1C 相交于点 F ,连接 DF .

由矩形 ?CC1?1 可得点 F 是 ?C1 的中点,又 D 是 ?? 的中点,? DF//?C1 ,

? ?C1 ? 平面 ?1CD , DF ? 平面 ?1CD ,? ?C1 // 平面 ?1CD .
(2)由(1)得 ??1DF 或其补角为异面直线 ?C1 和 ?1D 所成角. 设 ?? ? 2 ,则 DF ?

(2 分)

1 1 1 ?C1 ? ?C2 ? C1C2 ? 2 2 2

? 2? ?? 2?
2

2

?1,

?1D ? ?1? 2 ? ?D 2 ?

? 2?

2

? 12 ? 3 , ?1F ?

1 ?1C ? 1. 2
2

在 ??1DF 中,由余弦定理得, cos ?? DF ?
1

12 ?

? 3?

? 12

2 ? 1? 3

?

3 ,且 ?? DF ? ? 0, ? ? , 1 2

? ??1DF ?

?
6

,?异面直线 ?C1 和 ?1D 所成角的大小为

? . (6 分) 6

(3)? ?C ? ?C , D 为 ?? 的中点,? CD ? ?? ,

? 平面 ???1?1 ? 平面 ??C ? ?? ,? CD ? 平面 ???1?1 .



20 第

又 CD ? ?C2 ? ?D2 ? 2 ,

1 1 1 S??1D? ? S矩形???1?1 ? S ??D? ? S ??1?1? ? S ???1D ? 2 ? 2 2 ? ? 2 ?1 ? ?1? 2 2 ? ? 2 ? 2 ? 3 2 , 2 2 2 2

?三棱锥 C ? ?1D? 的体积 V ? 1 ? CD ? S?? D? ? 1 ? 2 ? 3 2 ? 1 .
3
1

3

2

(12 分)

考点:线面平行判定定理,异面直线所成角,三棱锥体积 【名师点睛】 1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?

a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α ?a∥β).
2.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是 否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找 其交线. 23.(1)详见解析(2) C? ? 【解析】 试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理进行论证,即从平几出发,寻找线线平行:根 据题意先将图形补全,再利用平行四边形得线线平行(2)研究二面角,一般方法为利用空间向量:先建立 坐标系,利用坐标求二面角两个平面的法向量,因为 ?? ? 平面 ?? D ,所以 ?? 为平面 ?? D 的一个法 向量,而平面 ?? D 的一个法向量,则需联立方程组解出,再利用向量数量积求两法向量的夹角的余弦值, 最后根据二面角与法向量夹角相等或互补关系,列等量关系确定点 ? ,同时根据向量的模求出 C? 的长. 试题解析:解:(1)如图,作 FG//?? , ?G//?F ,连接 ? G 交 ? F 于 ? ,连接 ?? , ? G ,

3 3

??? ?

? ?F//CD 且 ?F ? CD ,? ?G//CD ,即点 G 在平面 ?? CD 内.
由 ?? ? 平面 ?? CD ,知 ?? ? ?G ,

?四边形 ??FG 为正方形,四边形 CD?G 为平行四边形, ? ? 为 ? G 的中点, ? 为 CG 的中点,
页 21 第

(2 分)

? ?? //C? .
? ?? ? 平面 ?? F , C? ? 平面 ?? F ,

? C? // 平面 ?? F .

(4 分)

(2)法一:如图,以 ? 为原点, ?G 为 x 轴, ?D 为 y 轴, ?? 为 z 轴,建立空间直角坐标系 ? ? xyz .

则 ? ? 0,0,0? , ? ? 0,0,1? , D ? 0,2,0? , 设 ? ?1, y0 ,0? ,

? ?D ? ? 0, 2, ?1? , D? ? ?1, y0 ? 2,0? ,
? ? ??? ? n ?? D ? 2y ? z ? 0 ? ? ? 设平面 ?? D 的一个法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ???? , ? ?n ? D? ? x ? ? y0 ? 2 ? y ? 0
令 y ? 1 ,得 z ? 2 , x ? 2 ? y0 ,

??? ?

???? ?

? n ? ? 2 ? y0 ,1, 2? .
??? ?
2 1?

?

(10 分)

又? ?? ? 平面 ?? D ,? ?? ? ? 0,0,1? 为平面 ?? D 的一个法向量,

? ? ??? cos n , ?? ? ?

? 2 ? y0 ?

2

?1? 4

? cos

?
6

?

3 3 ,解得 y0 ? 2 ? , 2 3
(12 分)

?在直线 ? C 上存在点 ? ,且 C? ? 2 ? ? ?2?
?

?

3? 3 ? . ? 3 ? 3 ?

法二:作 ?S ? D? ,则 ?S ? 3 ,由等面积法,得 D? ? 考点:线面平行判定定理,利用空间向量研究二面角 【名师点睛】

2 3 3 ,? C? ? . (12 分) 3 3

1.判断或证明线面平行的常用方法有:(1)利用反证法;(2)利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?

a∥α);(3)利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α ?a∥β).
2.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是
页 22 第

否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找 其交线. 24.(1) p ? 【解析】

1 4 1 (?1) n (2) an ? ? ? n ?1 (3)详见解析 3 3 3 2

a3成 等 差 数 列 得 4a2 ? a1 ? 3a3 , 再 由 ?an ? 是 递 增 数 列 得 试 题 分 析 : ( 1 ) 由 a1 , 2a2 , 3

a2 ? a1 ? p, a3 ? a2 ? p2 , 代入得 3 p2 ? p ? 0 ,解得 p ? , p ? 0 ,经检验得 p ? (2)由{ a2n?1 }是递增
数 列 , { a2 n } 是 递 减 数 列 得 : a2n ? a2n?1 ? 0 , a2n?1 ? a2 n ? 0 , 因 此

1 3

1 3

a2 n ? a2 n?1 ? ( )2 n?1 ,

1 2

?1? a2n?1 ? a2n ? ? ? ? ? 2?

2n







1) n 4 an ? a1 ? (a ? a ? a ? a ? ? 2an ? ) an? ? 1 ? 1 ? 12 ? ... ? 1(?n ( ? ?1 2 2 2
3

?

n

n ?1

( 3 )由题意得 ?) 3

1 3

| an?1 ? an |? 1 S1 ? 1 , S2 ?





a1 ? 1, ;





a2 ? 2 ? 4 ,

, a3 0? ; 2? , 0 ;

? a 34

,? ? 1 1 0

, 所 ,

? 1 以 8 即 ,

; 6

3 S,3 ? 1

S4 6 ?

,

S4k ?3为奇数;S4k ?2为奇数; S4k ?1为偶数; S4k为偶数 ( ; k ? N? ) 因此只有 S4k ?3,S4k 满足 Sn ? n
试题解析:解(1)因为 ?an ? 是递增数列,所以 an?1 ? an ? an?1 ? an ? p 。而 a1 ? 1 ,因此又 a1 , 2a2 ,3a3
n

成等差数列,所以 4a2 ? a1 ? 3a3 ,因而 3 p2 ? p ? 0 ,解得 p ? 当 p ? 0 时, an?1 ? an ,这与 ?an ? 是递增数列矛盾。故 p ? (2)由于 ?a2n?1? 是递增数列,因而 a2n?1 ? a2n?1 ? 0 ,于是 但

1 ,p?0 3

1 . 3

1 1 ? 2 n ?1 ,所以 ? a2n?1 ? a2n ? ? ? a2n ? a2n?1 ? ? 0 2n 2 2

① ②

a ?a ? a ?a . 2n ? 1 2n 2n 2n ?1
由①,②知, a2n ? a2n?1 ? 0 , 因此 a2 n

1 2n?1 (?1)2n ? a2n?1 ? ( ) ? 2n?1 2 2



因为 ?a2 n ? 是递减数列,同理可得, a2n?1 ? a2 n ? 0 ,



23 第

故 a2n?1 ? a2n

?1? ? ?? ? ? 2?

2n

(?1)2n?1 ? 22n
(?1) n ?1 。 2n



由③,④即知, an ?1 ? an ?

于是 an

1) n ? a1 ? (a2 ? a1) ? (a3 ? a2 ) ? ... ? (an ? an?1) ? 1 ? 1 ? 12 ? ... ? (?n ?1 2 2 2

1 ? 1? ? 2

1 1 ? (? ) n ?1 4 1 ( ?1) n 2 ? ? ? n ?1 . 1 3 3 2 1? 2
4 1 (?1) n ? ? 3 3 2n ?1

故数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

(3)令 ck ? ak ?1 ? ak (k ? 1, 2,?, n ?1), 则ck ?{1, ?1}. 因为 a2 ? a1 ? c1 , a3 ? a1 ? c1 ? c2 ,??, an ? a1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1 , 所以 Sn ? na1 ? (n ?1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ?? cn?1

? n?

n(n ? 1) ? [(1 ? c1 )(n ? 1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ? ? (1 ? cn ?1 )]. 2

1 ? ck 为偶数(k ? 1,?, n ?1). 因为 ck ?{1, ?1}, 所以
所以 (1 ? c1 )(n ?1) ? (1 ? c2 )(n ? 2) ? ?? (1 ? cn ) 为偶数, 所以要使 S n ? n, 必须使

n(n ? 1) 为偶数, 2

即 4 整除 n(n ? 1), 亦即n ? 4m或n ? 4m ? 1(m ? N *) .

{a n }满足 : 当 n ? 4m, 4m ? 3(m ? N*)时, 数列 a4k ?3 ? a4k ?1 ? 1, a4k ?2 ? 0, a4k ? 2 (k ? N * ) 时,有 Sn ? n;
当 n ? 4m ? 2或n ? 4m ?1(m ? N * )时, n(n ?1) 不能被 4 整除, 此时不存在数列 {an } ,使得 Sn ? n 。 考点:数列递推关系综合应用



24 第



更多相关文章:
...班)上学期周练(三)(8.21)生物试题(解析版)
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(三)(8.21)生物试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四生 物周练试题...
...班)上学期周练(三)(8.21)化学试题(解析版)
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(三)(8.21)化学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四化 学周练试题...
...班)上学期周练(三)(8.21)物理试题(解析版)
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(三)(8.21)物理试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四物理周 练试题...
...河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.21)...
【全国百强校】河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.21)政治试题(解析版).doc_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年度第一学期 高...
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练()数学...
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练()数学试题(解析版)_数学_...an ? ? a1 a2 页 2第 三、解答题(8 小题,共 70 分) n. 17.已知...
河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.14)数...
河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(8.14)数学试题 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四 数学周练试题(...
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(8.14)语...
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(8.14)语文试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四语文周 练试题(二)...
...中学高三上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)
2017届河北省定州中学高三上学期周练(三)(8.21)数学试题(解析版)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数学周 练试题(三)一、...
2017届河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练(四...
2017届河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期周练()(8.28)地理试题_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四地理周练试题(四)...
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(9.11)数...
2017届河北省定州中学高三(高补班)上学期周练(9.11)数学试题_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四数学周练试题(六)一、单项...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图