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【优化方案】(山东专用)2016年高考数学二轮复习 第一部分高考热点追踪(四)课件 理



专题四

立体几何

高考热点追踪(四)

专题四

立体几何

破解立体几何创新型试题的四大切入点 高考中的立体几何试题,通常是“一大一小”或“一大两 小”,其中的“一小”或“两小”即客观性试题.立体几何 中的客观性试题是立体几何试题改革与创新的“试验田”, 近年出现了“百花齐

放”的新景象,以下结合例题,探究破

解立体几何创新型试题的切入点及求解策略.
一、从识图切入 识图,既有对特殊几何体的识别,又有对几何体中截面形状

的识别.

(2015· 商丘二模 )棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在 同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图所示,则图中 三角形 (正四面体的截面 )的面积是 ( C )

2 A. 2 C. 2

3 B. 2 D. 3

[解析 ]

如图所示,由题意可知球内接的

正四面体 ABDE 中, C 为 DE 的中点, △ ABC 的面积即为所求.可得 AC= BC = 22-12= 3,又 AB= 2,那么△ ABC 1 的面积为 × 2× ( 3) 2- 12= 2,选 C. 2

[求解策略 ] 本题是正四面体的外接球问题, 可以看出此题的 命题角度很好,考生刚开始接触时会一筹莫展,不知如何下 手,只有对正四面体的外接球的特征及正四面体棱长与球的 半径之间的关系弄清楚之后才可以求解,才有可能产生正确 结论.

二、从几何体对应不同几何图形的变化切入 三视图是近年高考命题的热点,对三视图的考查往往与面 积、体积的计算连在一起.其中,准确认识几何体是关键, 而几何体的变化直接影响由三视图向直观图的转化.

(2015· 高考安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则 该四面体的表面积是 ( B )

A. 1+ 3 C. 1+ 2 2

B.2+ 3

D. 2 2

[解析 ]

根据三视图还原几何体如图所示,其中侧面 ABD⊥

底面 BCD,另两个侧面 ABC, ACD 为等边三角形, 1 3 则有 S 表面积 =2× ×2×1+2× × ( 2)2= 2+ 3.故选 B. 2 4

[求解策略]

解答此类问题关键是由三视图画直观图;本题

中由三视图可以得到两个信息,一是顶点在底面上的射影位 于底面三角形一边中点;二是一个侧面与底面垂直. 三、用函数思想探究立体几何中的开放型问题 条件不完备或结论不确定(或结论不唯一)的都是开放型问

题,开放型问题本身就具有很大的创新性,对完善性探讨或
对结论的探究都将是这类问题的设计方向.

如图,在三棱锥 PABC 中, PA, PB, PC 两两垂直, 且 PA= 3, PB=2, PC=1.设 M 是底面 ABC 内一点, 定义 f(M) = (m, n, p),其中 m, n, p 分别是三棱锥 MPAB、三棱锥 1 1 ? ? MPBC、三棱锥 MPCA 的体积.若 f(M)= 2, x, y ,且 + ? ? x a 1 ≥ 8 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ________ . y

[解析 ]

1 1 1 1 由题意,得 +x+ y= × × 3× 2× 1= 1? x+ y= . 2 3 2 2

y ax ? 1 a 2x+ 2y a(2x+ 2y) ? 而 + = + = 2 1+a+ + ≥ 2(1+ a+ ? x y? x y x y y ax 1 a 2 a)=2(1+ a) , 当且仅当 = 时取等号, 即 + 的最小值 x y x y
2

1 a 为 2(1+ a) ,由于 + ≥ 8 恒成立,则 2(1+ a)2≥8?a≥1. x y
2

[求解策略]

本题打破了立体几何的常规命题模式,既“摆

脱”了点、线、面,又依存于点、线、面,求解中一个巧妙 地利用函数,一个适时地应用了基本不等式,都具有很大的 创新性. 四、从实际应用问题抽象为数学问题切入 在立体几何客观题中命制应用题,是近几年高考常出现 的.此类题以生活中的某些现象为载体,以立体几何中的基 础知识与基本技能为工具,试题难度不在于数学问题的求 解,而在于将实际问题抽象为数学问题.

(2015· 高考全国卷Ⅰ )《九章算术》是我国古代内容极为 丰富的数学名著,书中有如下问题: “今有委米依垣内角,下周 八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米 (如图,米堆为一个圆锥的四分之一 ),米堆底部的弧 长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估 算出堆放的米约有 ( B )

A.14斛 C.36斛
[解析 ]

B.22斛 D.66斛
π 16 设米堆的底面半径为 r 尺,则 r= 8,所以 r= , 2 π

2 16 π 1 1 320 2 ? ? 所以米堆的体积为 V= × π · r· 5= × π × 5≈ (立 4 3 12 ? ? 9 320 方尺).故堆放的米约有 ÷ 1.62≈22(斛 ).故选 B. 9

[求解策略]

面对此类问题,要记住“麻雀虽小,五脏俱

全”,求解时一点也不能含糊,“实际问题”—“建立模
型”—“产生数学结论”—“实际结果”的基本步骤一步也 不能少.

求体积问题的四种常用方法 几何体的体积是历年高考常考的内容之一,多与几何体的三视 图问题相结合进行命题,以选择题或填空题的形式进行考查; 也与空间线面关系的逻辑推理证明相结合,作为解答题中的一

问进行考查,试题难度不大.求解几何体的体积问题应根据所
给几何体的结构特征灵活选用相应的方法进行求解,常用的解 法有公式法、等积转换法、分割法与补形法等.

一、公式法 公式法就是根据简单几何体的结构特征,确定几何体的属 性,求出几何体的数量特征,然后代入相应的公式求解几何 体体积的方法.此种方法主要适用于常见的棱柱、棱锥、圆 柱、圆锥、球等规则几何体体积的求解问题.要注意准确识 记这些规则几何体的体积公式,不能错记乱用. 二、等积转换法 等积转换法就是根据几何体的结构特征,灵活选用相应的底 面,使得该底面上的高便于求解的方法,特别是求解三棱锥 的体积是利用等体积变换求解几何体体积问题中的“经典”.

如图所示的三棱锥 OABC 为长方体的一角. 其中 OA, OB,OC 两两垂直,三个侧面 OAB,OAC,OBC 的面积分别 为 1.5 cm2,1 cm2,3 cm2,求三棱锥 OABC 的体积.

[解 ]

设 OA, OB, OC 的长依次为 x cm, y cm, z cm,

1 1 1 则由已知可得 xy= 1.5, xz= 1, yz= 3. 2 2 2 解得 x=1, y=3, z= 2. 显然三棱锥 OABC 的底面积和高是不易求出的, 于是我们不妨转换视角,将三棱锥 O? ABC 看成以 C 为顶点, 以△ OAB 为底面. 易知 OC 为三棱锥 COAB 的高. 1 1 于是 VO? ABC= VC? OAB= S△ OAB· OC= × 1.5× 2= 1(cm3). 3 3

[名师点评 ] 等积转换法求解几何体的体积主要用于求解三棱 锥的体积,解决此类问题的关键在于根据几何体的结构特征确 定其“高”,然后根据三棱锥结构特征的特殊性 ——任何一个 侧面都可以看作底面,从而三棱锥的体积等于任意一个侧面三 1 角形的面积与对应顶点到该平面的距离的乘积的 . 3

三、分割法 分割法就是将一些不规则的几何体分割为多个简单的规则几何 体,然后用这些简单的规则几何体的体积来表示所求几何体的 体积的方法.分割法主要用来求解组合体的体积,分割几何体

时,要准确把握几何体的结构特征,将其分割为常见的柱体、
锥体或球体等几何体,便于直接利用公式法进行求解.

(2015· 临沂二模 )如图所示为某几何体的三视图,则该 几何体的体积为 ( C )

1 A. 2π + 3 1 C. π + 3

B.π + 1 D. 2π + 1

[解析 ]

由三视图,可知该几何体是一个圆柱与三棱锥的组合

体,故可将其分割为一个圆柱与一个三棱锥,其中圆柱的高为 1,底面是腰长为 2的等腰直角三角形的外接圆,三棱锥的高 为 1,顶点在底面上的射影为底面等腰直角三角形的直角顶点. 1 则圆柱的底面半径 r= × ( 2) 2+( 2) 2= 1,高为 1,故 2 其体积 V1= π × 12×1=π . 三棱锥的底面为等腰直角三角形,两直角边长均为 2,高为 1, 1 1 1 故其体积 V2= × × 2× 2× 1= . 3 2 3 1 故该几何体的体积为 V= V1+ V2= π + . 3

[名师点评]

分割法求解几何体的体积的关键是准确利用几

何体的结构特征将其分割为几个简单的几何体,要注意组合 体中这些简单几何体的一些公共的面,即分割时的截面,这 些截面往往体现这些简单几何体的几何度量之间的关系,如 本题三棱锥的底面与圆柱的底面之间的关系就是我们求解圆 柱底面半径的依据.

四、补形法
补形法就是将不规则的几何体通过补形构造成一个规则的几 何体,利用这个规则几何体的体积来求解原几何体体积的方

法.它多用于一些规则几何体切割某一部分之
后剩余部分的体积求解问题,准确把握该几何体的结构特 征,确定补形后形成的规则几何体以及补形过程中添加部分 的几何体是求解问题的关键,然后利用这些规则几何体的体 积表示所求几何体的体积.

(2015· 南昌模拟)已知正三棱锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两相互垂直,则球

3 心到截面 ABC 的距离为________ . 3

[解析 ]

由于正三棱锥的侧棱 PA, PB, PC 两两互相垂直,

故以 PA,PB,PC 为棱补成正方体如图,可知球心 O 为体对 角线 PD 的中点,且 PO= 3,设 P 到平面 ABC 的距离为 h, 1 3 1 1 2 则 × × (2 2) · h= × ×2×2×2. 3 4 3 2 2 3 所以 h= . 3 2 3 3 所以球心到截面距离为 3- = . 3 3

[名师点评]

补形法求解几何体体积的实质是通过“补”一

部分规则的几何体,将不规则的几何体转化为规则的几何 体,然后利用这些规则几何体的体积之差表示所求.解决问 题的关键是准确把握所求几何体的结构特征,找到与其关系

密切的规则几何体,明确“补”的过程所添加的几何体的结
构特征,准确求解即可.



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