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(必修4)2.1平面向量的实际背景及基本概念(公开课教案).



汕头苏北中学 数学必修 4 第二章平面向量 公开课教案

课 题:2.1 平面向量的实际背景及基本概念 教学目的: 1.了解平面向量的实际背景; 2.掌握向量的几何表示; 3.理解向量的有关概念; 4.逐步培养学生观察、分析、综合和类比能力和“知识重组”意识和“数 形结合”能力。 教学重点:向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示。 教学难点:向量的概念和共

线向量的概念。 授课类型:新授课 授课方式:讲授式、探究式 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: ?向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的,反过来,向量的理论和方 法,又成为解决物理学和工程技术的重要工具,向量之所以有用,关键是它具有 一套良好的运算性质, 通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算,这样通 过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。 向量不同于数量, 它是一种新的量,关于数量的代数运算在向量范围内不都 适用。因此,本章在介绍向量概念时,重点说明了向量与数量的区别,然后又重 新给出了向量代数的部分运算法则,包括加法、减法、实数与向量的积、向量的 数量积的运算法则等。之后,又将向量与坐标联系起来,把关于向量的代数运算 与数量(向量的坐标)的代数运算联系起来,这就为研究和解决有关几何问题又提 供了两种方法——向量法和坐标法。 本章共分五大节。第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”,内容包括 向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。 本节从物理学中的位移、 力这些既有大小又有方向的量出发,抽象出向量的 概念,并重点说明了向量与数量的区别,然后介绍了向量的几何表示、向量的长 度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。 在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义;在“向量的几何表示”中, 主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别 与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量” 中,主要介绍相等向量,共线向量定义等。 教学过程: 一、引入 同学们都知道, 数学是一门基础学科, 是解决其它一些学科问题的有力工具。 其实数学的很多理论是由其它学科的一些知识抽象而来的。 成为理论后又反过来 对其它学科起作用。比如同学们学习的物理,它与数学就有非常密切的关系。 二、新授课 (一)向量的物理背景与概念 (提问)请同学们回忆在物理中所学习过哪些既有大小又有方向的量?

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汕头苏北中学 数学必修 4 第二章平面向量 公开课教案

在现实生活中,我们会遇到很多量,其 中一些量在取定单位后用一个实数就可以表 示出来,如长度、质量等。还有一些量,如 我们在物理中所学习的位移、力是一个既有 大小又有方向的量,例如:物体受到的重力 是竖直向下的(图 2.1-1) ,物体的质量越大, 它受到的重力越大;物体在液体中受到的浮 力是竖直向上的(图 2.1-2) ,物体浸在液体 中的体积越大,它受到的浮力越大;被拉长的弹簧的弹力是向左的(图 2.1-3) , 被压缩的弹簧的弹力是向右的(图 2.1-4) ,并且在弹性限度内,弹簧拉长或压 缩的长度越大,弹力越大。 我们可以对位移、力??这些既有大小又有方向的量进行抽象,形成一种 新的量。这种量就是我们本章所要研究的——向量。 向量是数学中的重要概念之一,向量和数一样也能进行运算,而且用向量的 有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题,在这一章,我们将学 习向量的概念、运算及其简单应用。这一节课,我们将学习向量的有关概念。 向量的概念:我们把既有大小又有方向的量叫向量(物理学中常称为矢量) (而把那些只有大小,没有方向的量如:年龄、身高长度、面积、体积、质 量等,称为数量。物理学中常称为标量) 注意:1?数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数 运算、比较大小;向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 (二)向量的几何表示 引入: (由于实数与数轴上的点一一对应,所以数量常常用数轴上的一个点表示, 而且不同的点表示不同的数量。 ) 对于向量, 我们常用带箭头的线段——有向线段来表示, 线段按一定比例 (标 度)画出,它的长短表示向量的大小,箭头的指向表示向量的方向。 有向线段:带有方向的线段叫有向线段。 (如图) B 终点 我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作 AB ,起点写在终点的前面。 A 起点

已知 AB ,线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长度,记作 AB . 有向线段的三要素:起点、方向、长度。 (知道了有向线段的起点、方向和 长度,它的终点就唯一确定。 ) 向量的表示方法: 几何表示:①用有向线段表示; 字母表示:②用表示向量的有向线段的起点与终点字母表示如: AB, CD ; ③用字母 a 、 b 、 c 等表示。 问题 1: “向量就是有向线段,有向线段就是向量。 ”的说法对吗?(提问) (①向量是自由向量,只有大小和方向两个要素;与起点无关:只要大小和 方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,
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也是不同的有向线段) 向量的长度(或称模) :向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) :记 作 AB 。 零向量、单位向量概念: ①长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 。 注意 0 与 0 的区别(及书写方法) 。 ②长度等于 1 个单位的向量,叫单位向量。 说明:零向量、单位向量的定义都是只限制大小,不确定方向。 例 1 如图 2.1-6,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用向量表示 A 地至 B、C 两地的位移,并求出 A 地至 B、C 两地的实际距离(精确到 1km)

解: AB 表示 A 地至 B 地的位移,且 AB ? 240km

.

AC 表示 A 地至 C 地的位移,且 AC ? 300km .
(三)平行向量、共线向量与相等向量 平行向量定义: ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量; ②我们规定 0 与任一向量平行。 说明: (1)综合①、②才是平行向量的完整定义; (2)向量 a, b, c 平行,记作 a // b // c 。

a b

c

共线向量定义: 平行向量也叫做共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上. 说明: (1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系; (2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 相等向量定义:
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长度相等且方向相同的向量叫相等向量。 说明: (1)向量 a 与 b 相等,记作 a ? b ; (2)零向量与零向量相等; (3)任意两个相等的非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线 段的起点无关。 在平面上, 两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量, 因为向量完全由它的方向和模确定。 问题 2:两个向量是否可以比较大小?(向量不能比较大小,我们知道,长 度相等且方向相同的两个向量表示相等向量,但是两个向量之间只有相等关系, 没有大小之分, “对于向量 a 、 b , a ? b 或 a ? b ”这种说法是错误的。 ) 例 2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.? ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上;? ②单位向量都相等;? ③若 AB = DC ,则四边形 ABCD 是平行四边形; ④若一个向量的模为 0,则该向量的方向不确定;? ⑤共线的向量,若起点不同,则终点一定不同。 解:①不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求两 个向量 AB 、 AC 在同一直线上。 ②不正确.单位向量模均相等且为 1,但方向并不确定。 ③不正确.④正确.⑤不正确.如图 AC 与 BC 共线,虽起点不同,但其终点却 相同.

A

B

C

评述:本题考查基本概念,对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的 概念特征及相互关系必须把握好。 三、练习: 1.下列各量中不是向量的是( ) ? A.浮力 B.风速 C.位移 D.密度 2.下列说法中错误的是( ) .. A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为 0 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的 3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图 形是( ) A.一条线段 B.一段圆弧 C.圆上一群孤立点 ? D.一个单位圆 4.已知非零向量 a // b ,若非零向量 c // a ,则 c 与 b 必定 .

5.已知 a 、 b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必 定 . 6.设在平面上给定了一个四边形 ABCD,点 K、L、M、N 分别是 AB、BC、CD、DA
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的中点,则 | KL |? _______,KL ? ________ 参考答案:1.D 2.A 3.D 4.平行 5.不共线? 6. | NM | , NM

四、小结 : 1.了解平面向量的实际背景; 2.掌握向量的几何表示; 3.理解向量的有关概念。 五、作业 P86 习题 2.1 相关内容,预习 p85 例 2 六、板书设计(略)

授课人: 2006-5-21

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