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河北省卓越联盟2016-2017学年高二上学期第二次月考数学(理)试题



2016-2017 学年度第一学期高二月考二试卷(理)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 题,共 150 分。考试结束后, 将答题卡交回。 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。 3. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体 笔迹清

楚。 4. 请按照题号 顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷 上答题无效。 5. 作图可先用铅笔画出,确定后必须用黑色笔迹的签字笔描黑。 6.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 工整、

第 I 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.直线 x ? 3 y ?1 ? 0 的倾斜角为( A. )

? 3

B.

? 6


C.

2? 3

D.

5? 6

2.如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO ? A?B?C ?D? , A?C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为(

A.

a

B.

a

C.a

D. a )

3.如图,在同一直角坐标系中,表示直线 y ? ax 与 y ? x ? a 正确的是(

4.圆 C : x2 ? y 2 ? mx ? 4 ? 0 上存在两点关于直线 x ? y ? 3 ? 0 对称,则实数 m 的值为( A.6 B.-4 C.8 D.无法确定



5.三 棱 锥 S ? A B C及 其 三 视 图 中 的 正 视 图 和 侧 视 图 如 图 所 示 ,则 棱 SB 的 长 为(



A . 16 3

B.

38

C. 4 2

D . 2 11

[来源:学科网 ZXXK]

6.设 l , m, n 是三条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,则下列判断正确的是( A.若 l ? m, m ? n ,则 l / / n C.若 m ? ? , ? ? ? ,则 m / / ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? / /? D.若 m ? ? , m / / ? ,则 ? ? ?



7.若直线 l1 : y ? kx ? 1 与 l2 : x ? y ? 1 ? 0 的交点在第一象限内,则 k 的取值范围是( A. k ? 1 B. ?1 ? k ? 1 C. k ? ?1或k ? 1 D. k ? ?1



8. 已知底面边长为 1, 侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上, 则该球的体积为 ( A.



32? 3

B. 4? )

C. 2?

D.

4? 3

9.下列推断错误的个数是(

2 2 ①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ” 2 2 ②命题“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”的否命题为:若“ x ? 1 ,则 x ? 1 ” 2 ③“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件

④若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 A.1 B.2 C .3
2

D.4 )

2 2 10. 方程 x x ? y ? 4 ? 0 与 x ? x ? y ? 4

?

?

?

2

2

?

2

? 0 表示的曲线是(

A.都表示一条直线和一个圆 B.都表示两个点 C.前者是两个点,后者是一直线和一个圆
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

D.前者是一条直线和一个圆,后者是两个点

11.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数 学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一。 该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L 与高 h ,计算其体积 V 的近似公式 v ? 是将圆锥体积公式中的圆周率 ? 近似取为 3.那么近似公式 v ? 的 ? 近似取为( A. )

1 2 L h. 它实际上 36

2 2 L h 相当于将圆锥体积公式中 75

22 7

B.

25 8

C.

157 50
2

D.

355 113


12.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是( A. [1-2 2 ,3] B.[1- 2 ,3] C.[-1,1+2 2 ]

D. [1-2 2 ,1+2 2 ]

第 II 卷(非选择题)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.圆 C1 : x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ,圆 C2 : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 ,圆 C1 与圆 C2 的公 切线有 条.

14.在如图所示的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1 B 与 B1C 所成角的大小为___.

15.已知直线 ? a ? 2? x ? y ? a ? 0 ? a ? R ? 在两坐标轴上的截距互为相反数,则实数 16.不重合的三个平面把空间分成 n 部分,则 n 的可能值为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

a=



17. (本题 10 分) Rt ?ABC ,斜边 BC 为 m ,以 BC 的中点 O 为圆心,作半径为 n(n ? 分别交 BC 于 P, Q 两点,求证: AP
2
2

m ) 的圆, 2

? AQ ? PQ 为定值.
2

2

2

18. (本题 12 分)已知直线 l1 : x ? a y ? 1 ? 0 和直线 l 2 : (a ? 1) x ? by ? 3 ? 0 . (1)若 b ? ?12 , l1 // l2 ,求 a 的值;

(2)若 l1 ? l2 ,则 a ? b 的最小值. 19. (本题 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, ?ADC ? 45? ,

AD ? AC ? 1 , O 为 AC 的中点, PO ? 平面 ABCD , PO ? 2 , M 为 PD 的中点.

(1)证明: PB / / 平面 ACM ; (2)证明: AD ? 平面 PAC ; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 20. (本题 12 分)已知圆 M 的圆心为 M ? ?1, 2? ,直线 y ? x ? 4 被圆 M 截得的弦长为 2 ,点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上. (1)求 圆 M 的标准方程; (2)设点 Q 在圆 M 上,且满足 MP ? 4QM ,求点 P 的坐标. 21. (本题 12 分)在四棱锥 P ? ABCD 中, AD ? 平面 PDC , PD ? DC ,底面 ABCD 是梯形,

????

???? ?

AB ∥ DC , AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .

(1)求证:平面 PBC ? 平面 PBD ; (2)设 Q 为棱 PC 上一点, ,试确定 ? 的值使得二面角 Q ? BD ? P 为 60 ? .

22. (本题 12 分)已知圆 C 的圆心为原点,且与直线 x ? y ? 4 2 ? 0 相切. (1)求圆 C 的方程; (2)点 P 在直线 x ? 8 上,过 P 点引圆 C 的两条切线 PA, PB ,切点为 A, B ,求证:直线 AB 恒过 定点.

y A P

O B

x

2016-2017 学年度第一学期高二月考二答案(理)
一、DBCAC 二、 2 DBDBD BA

[来源 :学科网 ]

? 3

0 或1

4 或 6 或 7 或8

三、17. 证明:如图,以为 O 原点,以直线 PQ 为 x 轴,建立直角坐标系

于是有 B(?

m m ,0), C ( ,0), P(?n,0), Q(n,0) 2 2
2 2

? ??????2 分

设 A( x, y) ,由已知,点 A 在圆 x ? y ?

m2 上???????4 分 4
??????? 6 分

AP ? AQ ? PQ

2

2

2

? ( x ? n ) 2 ? y 2 ? ( x ? n) 2 ? y 2 ? ( 2n ) 2

? 2x 2 ? 2 y 2 ? 6n 2
m2 ? ? 6n 2 (定值) 2

???????8 分

???????10 分

4 2 2 2 18.解:(1)由 l1 // l2 得: a (a ? 1) ? b ? 0 ,即 a ? a ? 12 ? 0 ,???????2 分

解得: a ? ? 3

???????4 分

2 2 (2)由 l1 ? l2 得: (a ? 1) ? a b ? 0 , (显然 a ? 0 )???????6 分

a2 ?1 b ? 2 ,???????8 分 a

a ?b ? a ?

a2 ?1 1 ? a? 2 a a

???????10 分

可得: a ?

1 ? 2 ,故 ab min ? 2 ???????12 分 a

19.解: (1)连接 BD , MO , 在平行四边形 ABCD 中, ∵ O 为 AC 的中点,∴ O 为 BD 的中点,又 M 为 PD 的中点,∴ PB / / MO ,???2 分 ∵ PB ? 平面 ACM , MO ? 平面 ACM ,∴ PB / / 平面 ACM ;???????4 分 (2)∵ ?ADC ? 45? ,且 AD ? AC ? 1 ,∴ ?DAC ? 90? ,即 AD ? AC 。???6 分 又 PO ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,∴ PO ? AD , ∵ AC ? PO ? O ,∴ AD ? 平面 PAC .???????8 分 (3)取 DO 的中点 N ,连接 MN , AN ,所以 MN / / PO , MN ? 由 PO ? 平面 ABCD ,得 MN ? 平面 ABCD , 所以 ?MAN 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角.???????10 分 在 Rt ?DAO 中, AD ? 1 , AO ?

1 PO ? 1 , 2

5 1 ,所以 DO ? . 2 2

从而 AN ?

1 5 DO ? . 2 4

[来源:学科网 ZXXK]

在 Rt ?ANM 中, tan ?MAN ?

MN 1 4 5 ? ? . AN 5 5 4
4 5 .???????12 分 5

即直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值为

, 2) 到直线 y ? x ? 4 的距离为 d ? 20. 解: (1) M (?1
又直线 y ? x ? 4 被圆 M 截得的弦长为 2 ,

?1 ? 2 ? 4 12 ? 12

?

2 ,?????2 分 2

? 2? ? 2? ? ? ? 所以圆 M 的半径为 r ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? 1 ,?????4 分 ? ? ? ?
∴圆 M 的标准方程为 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 1 .?????6 分
2 2

2

2

(2)由 MP ? 4QM ,得 MP ? 4 QM ? 4 , 所以点 P 在圆 ?x ? 1? ? ? y ? 2? ? 16 上,?????8 分
2 2

?? x ? 1?2 ? ? y ? 2 ?2 ? 16 又点 P 在直线 y ? x ? 1 上,由 ? ?????10 分 ? y ? x ?1
解得 ?

? x ? ?1 ? x ? 3 或? , ? y ? ?2 ? y ? 2

即点 P 的坐标为 (?1,?2) 或 ?3,2? .?????12 分

21.解: (1)证明: ∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面 PCD , DC ? 平面 PDC ∴ AD ? PD, AD ? DC 在梯形 ABCD 中,过点 B 作 BH ? CD 于 H , 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1 ,∴ ?BCH ? 45? , 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1 ,∴ ?ADB ? 45? , ∴ ?BDC ? 45? ,∴ ?DBC ? 90? ,∴ BC ? BD ?????2 分 ∵ PD ? AD, PD ? DC, AD ? DC ? D .

AD ? 平面 ABCD , DC ? 平面 ABCD .
∴ PD ? 平面 ABCD ,∵ BC ? 平面 ABCD ,∴ PD ? BC ,?????4 分 ∴ BD ? PD ? D, BD ? 平面 PBD, PD ? 平面 PBD . ∴ BC ? 平面 PBD .∵ BC ? 平面 PBC ,∴平面 PBC ? 平面 PBD .?????6 分 (1)过点 Q 作 QM ∥ BC 交 PB 于点 M ,过点 M 作 MN 垂直于 BD 于点 N ,连 QN . 由(2)可知 BC ? 平面 PDB ,∴ QM ? 平面 PDB ,∴ QM ? BD ,∵ QM ? MN ? M ∴ BD ? 平面 MNQ ,∴ BD ? QN , ∴ ?QNM 是二面角 Q ? BD ? P 的平面角,∴ ?QNM ? 60? ?????8 分

PQ ??, PC PQ QM PM ? ? ? ? ,∴ QM ? ? BC , ∵ QM ∥ BC ,∴ PC BC PB
∵ PQ ? ? PC ,∴ 由(1)知 BC ? 2 ,∴ QM ? 2? ,又∵ PD ? 1 ∵ MN ∥ PD ,∴ ∵ tan ?MNQ ?

MN BM BM PB ? PM PM ? ? ? 1? ? 1 ? ? ??10 分 ,∴ MN ? PD PB PB PB PB

QM 2? ,∴ ? 3, MN 1? ?

∴ ? ? 3 ? 6 .?????12 分

22.解: (1)依题意得:圆 C 的半径 r ?

4 2 ? 4 ,?????2 分 1?1

所以圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 16 。?????4 分 (2)? PA, PB 是圆 C 的两条切线,?OA ? AP, OB ? BP 。

? A, B 在以 OP 为直径的圆上。?????6 分
设点 P 的坐标为 ?8, b? , b ? R ,则线段 OP 的中点坐标为 ? 4, ? 。

? ?

b? 2?

? 以 OP 为直径的圆方程为 ? x ? 4? ? ? y ?
2

? ?

b? ?b? 2 ? ? 4 ? ? ? , b ? R ?????8 分 2? ? 2?

2

2

化简得: x ? y ? 8x ? by ? 0, b ? R
2 2

? AB 为两圆的公共弦,

? 直线 AB 的方程为 8x ? by ? 16, b ? R ?????10 分
所以直线 AB 恒过 定点 ? 2, 0 ? 。?????12 分



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