9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析



湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)某校选修乒乓球课程的学生中,2014-2015 学年高一年级有 30 名,2014-2015 学年 高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样

本,已知在 2014-2015 学 年高一年级的学生中抽取了 6 名,则在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为() A.6 B. 8 C.10 D.12 2. (5 分)已知 α 是第二象限角,且 A. B. C. 的值为() D.

3. (5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示: 身高 x(cm) 160 165 170 175 180 体重 y(kg) 63 66 70 72 74 根据上表可得回归直线方程 =0.56x+ ,据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重为() A.70.09kg B.70.12kg C.70.55kg D.71.05kg

5. (5 分)若直线 l:y=kx﹣ 取值范围是() A. B.

与直线 x+y﹣3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的 C. D.( ,π )

6. (5 分)在△ ABC 中, A.锐角三角形 C. 钝角三角形

2

+

?

<0,则△ ABC 为() B. 直角三角形 D.锐角或钝角三角形

7. (5 分)已知函数 f(x)sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1) ≤f(x)≤f(x1+2014)成立,则 ω 的最小正值为() A. B. C. D.

8. (5 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是()

A.AC⊥SB B. AB∥平面 SCD C. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 D.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 9. (5 分)在区间[﹣3,3]上任取一个数 a,则圆 C1:x +y +4x﹣5=0 与圆 C2: (x﹣a) +y =1 有公共点的概率为() A. B. C. D.
2 2 2 2

10. (5 分)已知 Rt△ ABC 的斜边 AB 的长为 4,设 P 是以 C 为圆心 1 为半径的圆上的任意一 点,则 ? 的取值范围是() B.[﹣ , ] C.[﹣3,5] D.[1﹣2 ,1+2 ]

A.[﹣ , ]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,把答案填在相应题号后的横线上. 11. (5 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,且 a=1,b=2,cosC= , 则 sinB=.

12. (5 分)甲、乙两人约定在 10 点半到 12 点会面商谈事情,约定先到者应等候另一个人 20 分钟,即可离去,求两人能会面的概率(结果用最简分数表示) . 13. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

14. (5 分)两直立矮墙成 135°二面角,现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为 54m 的直角 梯形菜园(墙足够长) ,已知修筑篱笆每米的费用为 50 元,则修筑这个菜园的最少费用为为 元.

2

15. (5 分)已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x﹣3y+1=0 的两侧,则下列说法正确的 序号是 ①2a﹣3b+1>0 ②a≠0 时, 有最小值,无最大值 ③ ④存在正实数 M,使 的取值范围为(﹣∞,﹣ )∪( 恒成立. )

三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积 S= (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f(x)= sin cos +cos
2

abcosC

,求 f(B)的最大值,及取得最大值时角 B 的值.

17. (12 分)某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进 行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人.抽 取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示, 其中 120~130 (包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)求平均成绩; (3)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的概率.

18. (12 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. (1)求证:BD⊥AE; (2)求证:AC∥平面 B1DE; (3)求三棱锥 A﹣B1DE 的体积.

19. (12 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

20. (13 分)已知函数 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (1)若对于区间(0,+∞)内的任意 x,总有 f(x)≥0 成立,求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f(x)在区间(0,2)内有两个不同的零点 x1,x2,求: ①实数 k 的取值范围; ② 的取值范围.

2

2

21. (14 分)已知圆 O:x +y =2,直线 l:y=kx﹣2. (1)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A,B,当∠AOB= (2)若 时,求 k 的值.

2

2

,P 是直线 l 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D,探究:

直线 CD 是否过定点;

(3)若 EF、GH 为圆 O:x +y =2 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 的面积的最大值.

2

2

) ,求四边形 EGFH

湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. (5 分)某校选修乒乓球课程的学生中,2014-2015 学年高一年级有 30 名,2014-2015 学年 高二年级有 40 名.现用分层抽样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在 2014-2015 学 年高一年级的学生中抽取了 6 名,则在 2014-2015 学年高二年级的学生中应抽取的人数为() A.6 B. 8 C.10 D.12 考点: 分层抽样方法. 专题: 计算题. 分析: 根据 2014-2015 学年高一年级的总人数和抽取的人数,做出每个个体被抽到的概率, 利用这个概率乘以 2014-2015 学年高二的学生数,得到 2014-2015 学年高二要抽取的人数. 解答: 解:∵2014-2015 学年高一年级有 30 名, 在 2014-2015 学年高一年级的学生中抽取了 6 名, 故每个个体被抽到的概率是 =

∵2014-2015 学年高二年级有 40 名, ∴要抽取 40× =8, 故选:B. 点评: 本题考查分层抽样,在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等,这是解题的依 据,本题是一个基础题.

2. (5 分)已知 α 是第二象限角,且 A. B. C.

的值为() D.

考点: 二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析: 根据诱导公式由已知的等式求出 sinα 的值, 然后由 α 是第二象限角得到 cosα 小于 0, 利用同角三角函数间的基本关系即可求出 cosα 的值,进而求出 tanα 的值,把所求的式子利用 二倍角的正切函数公式化简后,把 tanα 的值代入即可求出值.

解答: 解:由 sin(π+α)=﹣sinα=﹣ ,得到 sinα= ,又 α 是第二象限角, 所以 cosα=﹣ =﹣ ,tanα=﹣ ,

则 tan2α=

=

=﹣



故选 C 点评: 此题考查学生灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值,灵活运用 二倍角的正切函数公式化简求值,是一道基础题. 3. (5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是()

A.

B.

C.

D.

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、 各语句的作用, 分析可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值,并输出. 解答: 解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是计算并输出 S= + + 的值 ∵S= + + = .

故选 D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管理) ?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 4. (5 分)从某高中随机选取 5 名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:

身高 x(cm) 体重 y(kg)

160 63

165 66

170 70

175 72

180 74

根据上表可得回归直线方程 =0.56x+ ,据此模型预报身高为 172cm 的高三男生的体重为() A.70.09kg B.70.12kg C.70.55kg D.71.05kg

考点: 回归分析的初步应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 根据所给的表格做出本组数据的样本中心点,根据样本中心点在线性回归直线上, 利用待定系数法做出 的值,现在方程是一个确定的方程,根据所给的 x 的值,代入线性回 归方程,预报身高为 172cm 的高三男生的体重 解答: 解:由表中数据可得 ∵( = =170, = =69

, )一定在回归直线方程 =0.56x+ 上 =﹣26.2

故 69=0.56×170+ 解得 故 =0.56x﹣26.2

当 x=172 时, =0.56×172﹣26.2=70.12 故选 B. 点评: 本题主要考查线性回归方程的求解与运用,解题的关键是线性回归方程 经过样本点 的中心 同时注意理解线性回归方程中相关系数的意义. 5. (5 分)若直线 l:y=kx﹣ 取值范围是() A. B. 与直线 x+y﹣3=0 的交点位于第二象限,则直线 l 的倾斜角的 C. D.( ,π )

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 求出直线的交点坐标,利用交点位于第二象限,求解 k 的范围,然后求解直线 l 的倾 斜角的取值范围. 解答: 解:联立两直线方程得: ,

解得:



因为两直线的交点在第二象限,所以得到



解得:k<﹣1, 设直线 l 的倾斜角为 θ,则 tanθ<﹣1,所以 θ∈( ,π) .

故选:D. 点评: 此题考查学生会根据两直线的方程求出交点的坐标,掌握象限点坐标的特点,掌握 直线倾斜角与直线斜率的关系,是一道综合题.
2

6. (5 分)在△ ABC 中, A.锐角三角形 C. 钝角三角形

+

?

<0,则△ ABC 为() B. 直角三角形 D.锐角或钝角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 解三角形. 分析: 利用向量的数量积的概念可得 c<acosB,再利用正弦定理与两角和的正弦可化简得 cosA<0,从而可判断△ ABC 的形状. 解答: 解:在△ ABC 中,∵
2 2

+

?

<0,

∴c +accos(π﹣B)<0,又 c>0, ∴c<acosB, 由正弦定理 = 得:sinC<sinAcosB,

∵△ABC 中,A+B+C=π, ∴sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB<sinAcosB, ∴cosAsinB<0,cosAsinB>0, ∴cosA<0, ∴△ABC 为钝角三角形, 故选:C. 点评: 本题考查三角形的形状判断,考查平面向量的数量积的应用,突出考查正弦定理与 两角和的正弦,属于中档题. 7. (5 分)已知函数 f(x)sinωx+cosωx,如果存在实数 x1,使得对任意的实数 x,都有 f(x1) ≤f(x)≤f(x1+2014)成立,则 ω 的最小正值为() A. B. C. D.

考点: 两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的求值.

分析: 由题意可得区间[x1,x1+2014]能够包含函数的至少一个完整的单调区间,利用两角 和的正弦公式求得 f(x)= sin(ωx+ ) ,由 2014≥ ? ,求得 ω 的最小值. ,

解答: 解:f(x)sinωx+cosωx= 求得 ω≥ ,故 ω 的最小正值为

sin(ωx+ ,

) ,由题意可得 2014≥ ?

故选:B. 点评: 本题主要考查两角和的正弦公式,正弦函数的单调性和周期性,属于中档题. 8. (5 分)如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面为正方形,SD⊥底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是()

A.AC⊥SB B. AB∥平面 SCD C. AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 D.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: A.利用正方形的性质和线面垂直的性质与判定即可得出; B.利用正方形的性质和线面平行的判定定理即可得出; C.通过平移即可得出异面直线所成的角; D.利用线面垂直的判定与性质、线面角的定义、等腰三角形的性质即可得出. 解答: 解:A.∵SD⊥平面 ABCD,∴SD⊥AC. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. 又∵SD∩DB=D. ∴AC⊥平面 SDB,∴AC⊥DB. B.∵四边形 ABCD 是正方形,∴AB∥DC, 又 AB?平面 SCD,CD?平面 SCD, ∴AB∥平面 SCD. C.∵AB∥DC,∴∠SCD(为锐角)是 AB 与 SC 所成的角,∠SAB(为直角)是 DC 与 SA 所成的角; 而∠SCD≠∠SAB. ∴AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角不正确; D.由 A 可知:AC⊥平面 SDB,∴∠ASO、∠SCO 分别是 SA 与平面 SBD 所成的角、SC 与 平面 SBD 所成的角. 由 SA=SC,OA=OC,可得∠ASO=∠SCO,因此正确. 综上可知:只有 C 不正确.

故选:C.

点评: 本题综合考查了空间位置关系和空间角、正方形的性质,属于中档题. 9. (5 分)在区间[﹣3,3]上任取一个数 a,则圆 C1:x +y +4x﹣5=0 与圆 C2: (x﹣a) +y =1 有公共点的概率为() A. B. C. D.
2 2 2 2

考点: 几何概型. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 利用圆 C1:x +y +4x﹣5=0 与圆 C2: (x﹣a) +y =1 有公共点,可得 0≤a≤2 或﹣6≤a≤ ﹣4,结合在区间[﹣3,3]上任取一个数 a,即可求出概率. 2 2 2 2 解答: 解:圆 C1:x +y +4x﹣5=0 可化为(x+2) +y =9,圆心为(﹣2,0) ,半径为 3,圆 2 2 C2: (x﹣a) +y =1,圆心为(a,0) ,半径为 1, 2 2 2 2 ∵圆 C1:x +y +4x﹣5=0 与圆 C2: (x﹣a) +y =1 有公共点, ∴2≤|a+2|≤4, ∴0≤a≤2 或﹣6≤a≤﹣4, ∵在区间[﹣3,3]上任取一个数 a, ∴0≤a≤2, ∴所求概率为 = .
2 2 2 2

故选:B. 点评: 本题主要考查了几何概型的概率,以及圆与圆有公共点的性质,解题的关键弄清概 率类型,同时考查了计算能力,属于基础题. 10. (5 分)已知 Rt△ ABC 的斜边 AB 的长为 4,设 P 是以 C 为圆心 1 为半径的圆上的任意一 点,则 ? 的取值范围是() B.[﹣ , ] C.[﹣3,5] D.[1﹣2 ,1+2 ]

A.[﹣ , ]

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 换元法;平面向量及应用. 分析: 以 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴建立直角坐标系,设∠BAC=α,则 A(4cosα,0) ,B(0, 4sinα) ,P(cosθ,sinθ) ,再代入计算即可. 解答: 解:以 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴建立直角坐标系,设∠BAC=α, 则 A(4cosα,0) ,B(0,4sinα) ,P(cosθ,sinθ) , ∴ , ,

∴ ∴

=cosθ(cosθ﹣4cosα)+sinθ(sinθ﹣4sinα)=1﹣4cos(θ﹣α)∈[﹣3,5], )∈[﹣3,5].

故选:C. 点评: 本题的关键在于设出∠BAC=α,然后用三角代换表示各点的坐标,这样使得问题容 易表达并易于求解. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,把答案填在相应题号后的横线上. 11. (5 分) 设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且 a=1, b=2, cosC= , 则 sinB= .

考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系. 专题: 计算题. 分析: 由 C 为三角形的内角,及 cosC 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinC 的 值, 再由 a 与 b 的值, 利用余弦定理列出关于 c 的方程, 求出方程的解得到 c 的值, 再由 sinC, c 及 b 的值,利用正弦定理即可求出 sinB 的值. 解答: 解:∵C 为三角形的内角,cosC= ,

∴sinC=

=



又 a=1,b=2, 2 2 2 2 ∴由余弦定理 c =a +b ﹣2abcosC 得:c =1+4﹣1=4, 解得:c=2, 又 sinC= ,c=2,b=2,

∴由正弦定理 故答案为:

=

得:sinB=

=

=



点评: 此题考查了同角三角函数间的基本关系,正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数 值,熟练掌握定理及基本关系是解本题的关键. 12. (5 分)甲、乙两人约定在 10 点半到 12 点会面商谈事情,约定先到者应等候另一个人 20 分钟,即可离去,求两人能会面的概率 (结果用最简分数表示) .

考点: 简单线性规划的应用;几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知本题是一个几何概型,试验包含的所有事件是 Ω={(x,y)|10.5<x<12, 10.5<y<12},作出事件对应的集合表示的面积,写出满足条件的事件是 A={(x,y)|10.5<

x<12,10.5<y<12,|x﹣y|<

},算出事件对应的集合表示的面积,根据几何概型概率公式

得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个几何概型,设事件 A 为“两人能会面”, 试验包含的所有事件是 Ω={(x,y)|10.5<x<12,10.5<y<12}, 则事件对应的集合表示的面积是 s= , },

满足条件的事件是 A={(x,y)|10.5<x<12,10.5<y<12,|x﹣y|< 所以事件对应的集合表示的面积是 ﹣ = ,

[12﹣(10 + )][(12﹣ )﹣10 ]

根据几何概型概率公式得到 P=



故答案为:



点评: 本题是一个几何概型,对于这样的问题,一般要通过把试验发生包含的事件同集合 结合起来,根据集合对应的图形做出面积,用面积的比值得到结果.

13. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 .

考点: 专题: 分析: 计算. 解答:

由三视图求面积、体积. 空间位置关系与距离. 几何体是四棱锥,结合直观图判断相关几何量的数据,把数据代入棱锥的体积公式 解:由三视图知:几何体是四棱锥,如图:

其中 SA⊥平面 ABCD,SA=1,四边形 ABCD 为边长为 1 的正方形, ∴几何体的体积 V= ×1 ×1= . 故答案为: . 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应 的几何量是解题的关键. 14. (5 分)两直立矮墙成 135°二面角,现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为 54m 的直角 梯形菜园(墙足够长) ,已知修筑篱笆每米的费用为 50 元,则修筑这个菜园的最少费用为为 900 元.
2 2

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出图形,设出直角梯形的高和篱笆总长,由面积列式,整理得到 y 关于 x 的函数,利用导数求得最值,则答案可求. 解答: 解:如图,

设 CD=xm,篱笆总长为 ym, (x>0,y>0) , 则 BC=y﹣2x, ∴ ,

整理得: .



当 x∈(0,6)时,y′0. ∴当 x=6,篱笆总长有最小值 18m. ∴修筑这个菜园的最少费用为 18×50=900 元. 故答案为:900. 点评: 本题考查了数学建模思想方法,考查了利用导数求函数的最值,是中档题. 15. (5 分)已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x﹣3y+1=0 的两侧,则下列说法正确的 序号是③④ ①2a﹣3b+1>0 ②a≠0 时, 有最小值,无最大值 ③ ④存在正实数 M,使 的取值范围为(﹣∞,﹣ )∪( 恒成立. )

考点: 二元一次不等式的几何意义. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由已知点 P(a,b)与点 Q(1,0)在直线 2x﹣3y+1=0 的两侧可得 2a﹣3b+1<0, 结合不等式的性质可得当 a>0 时, > + ,从而对①②作出判断;对于③,利用式子蕴 有没有极小值,据 的几何

含的斜率的几何意义即可解决.对于④,是看

意义即可得出; 解答: 解:①由已知(2a﹣3b+1) (2﹣0+1)<0,即 2a﹣3b+1<0,∴①错; ②当 a>0 时,由 3b>2a+1,可得 > + ∴②错; ③∵ 表示点(a,b)与点(1,0)连线的斜率, 的取值范围为: ,∴不存在最小值,

如图,由线性规划知识可知,当 a>0,b>0 时, (﹣∞,﹣ )∪( ④ ,+∞) .③正确.

表示为(a,b)与(0,0)两点间的距离, ,

由于原点(0,0)到直线 2x﹣3y+1=0 的距离 d= 由此可得: > =

恒成立,∴④正确;

故答案是:③④.

点评: 本题主要考查了简单线性规划,用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思 想和数形结合的思想,属中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,面积 S= (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f(x)= sin cos +cos
2

abcosC

,求 f(B)的最大值,及取得最大值时角 B 的值.

考点: 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用三角形面积公式和已知等式,整理可求得 tanC 的值,进而求得 C. (2)利用两角和公示和二倍角公式化简整理函数解析式,利用 B 的范围和三角函数性质求得 函数最大值. 解答: 解: (1)由 S= absinC 及题设条件得 absinC= 即 sinC= cosC, ∴tanC= , 0<C<π, ∴C= , sin cos +cos
2

abcosC,

(2)f(x)= ∵C= ,

=

sinx+ cosx+ =sin(x+

)+ ,

∴B∈(0, ∴ <B+ =

) , < ,即 B= 时,f(B)有最大值是 .

当 B+

点评: 本题主要考查了正弦定理的运用,三角函数恒等变换的应用.解题的过程中注意利 用 C 的值确定 B 的范围这一隐形条件. 17. (12 分)某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进 行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人.抽 取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示, 其中 120~130 (包括 120 分但不包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)求平均成绩; (3)在抽取的所有学生中,任取一名学生,求分数不小于 90 分的概率.

考点: 频率分布直方图;频率分布表. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据频率分布图,求出抽取的学生总数,由等差数列的知识,求出各班被抽取 的学生数; (2)求出样本数据的平均数即可; (3)求出分数不小于 90(分)的频率即可. 解答: 解: (1)由频率分布条形图知,抽取的学生总数为 =100(人) ;

∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d, 由 4×22+6d=100,解得 d=2; ∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人,24 人,26 人,28 人;…(4 分) (2)样本数据的平均数是 75×0.05+85×0.20+95×0.35+105×0.25+115×0.10+125×0.05=98, ∴平均成绩为 98; …(8 分) (3)在抽取的学生中,任取一名学生,分数不小于 90(分)的概率为 0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. …(12 分) 点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题时应利用图中数据进行有关的计算, 是基础题. 18. (12 分)在棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,设 E 是棱 CC1 的中点. (1)求证:BD⊥AE; (2)求证:AC∥平面 B1DE;

(3)求三棱锥 A﹣B1DE 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 综合题;空间位置关系与距离. 分析: (1)通过证明 BD⊥平面 AEC,得出 BD⊥AE; (2)通过△ ACC1 的中位线证明线线平行,再证明线面平行; (3) 点 A 到平面 B1DE 的距离等于点 C 到平面 B1DE 的距离, 利用等积法求出三棱锥 A﹣B1DE 的体积.

解答: 解: (1)证明:连接 BD,AE, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴BD⊥AC, 又∵EC⊥底面 ABCD,BD?面 ABCD, ∴EC⊥BD,且 EC∩AC=C, ∴BD⊥平面 AEC, 又 AE?平面 AEC,∴BD⊥AE;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)证明:连接 AC1,设 AC1∩B1D=G, 则 G 为 AC1 的中点,E 为 C1C 的中点, ∴GE 为△ ACC1 的中位线, ∴AC∥GE,GE?平面 B1DE,AC?平面 B1DE, ∴AC∥平面 B1DE; (3)由(2)知,点 A 到平面 B1DE 的距离等于点 C 到平面 B1DE 的距离, ∴三棱锥 A﹣B1DE 的体积是 = = ?DC= ×( ×1×2)×2= ,

∴三棱锥 A﹣B1DE 的体积为 . 点评: 本题考查了空间中的垂直与平行的判断与性质的应用问题,也考查了求几何体的体 积的问题,是综合性题目.

19. (12 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,它的前 n 项和为 Sn,若 S5=70,且 a2,a7,a22 成 等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列 的前 n 项和为 Tn,求证:Tn< .

考点: 数列的求和;等差数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)依题意,列出关于等差数列{an}的首项与公差的方程组, 解之即可求得数列{an} 的通项公式; 2 (2)由(1)可得 Sn=2n +4n,利用裂项法求和,从而可求得结论. 解答: 解: (1)由题意得

解得 ∴an=4n+2; (2) ∴ ∴ . ,





点评: 本题考查数列的求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式,突出裂项法求和 的考查,属于中档题. 20. (13 分)已知函数 f(x)=|x ﹣1|+x +kx. (1)若对于区间(0,+∞)内的任意 x,总有 f(x)≥0 成立,求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f(x)在区间(0,2)内有两个不同的零点 x1,x2,求: ①实数 k 的取值范围; ② 的取值范围.
2 2

考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(x)≥0 分离出参数 k,得 k≥﹣ ,x∈(0,+∞) ,记 g(x)=



,则问题等价于 k≥g(x)max,由单调性可得 g(x)max;

(2)①(i)当 0<x≤1 时,方程 f(x)=0 为一次型方程,易判断 k≠0 时有一解;当 1<x<2 时,方程 f(x)=0 为二次方程,可求得两解,易判断其一不适合,令另一解大于 1 小于 2,

可得 k 的范围,综合可得结论; (ii)由①易知两零点 x1,x2,从而可表示出 得为 2x2,结合(ii)可得结论; 解答: 解: (1)f(x)≥0?|x ﹣1|+x +kx≥0?k≥﹣
2 2

,化简可

,x∈(0,+∞) ,

记 g(x)=﹣

=

,易知 g(x)在(0,1]上递增,

在(1,+∞)上递减, ∴g(x)max=g(1)=﹣1, ∴k≥﹣1; (2)①(ⅰ)0<x≤1 时,方程 f(x)=0 化为 kx+1=0,k=0 时,无解;k≠0 时,x=﹣ ;

(ⅱ)1<x<2 时,方程 f (x) =0 化为 2x +kx﹣1=0,x= < ≤0,

2

,而其中

故 f(x)=0 在区间(1,2)内至多有一解 x=



综合(ⅰ) (ⅱ)可知,k≠0,且 0<x≤1 时,方程 f(x)=0 有一解 x=﹣ ,故 k≤﹣1;

1<x<2 时,方程 f(x)=0 也仅有一解 x= <﹣1, ∴实数 k 的取值范围是﹣ <k<﹣1;

,令 1<

<2,得﹣ <k

②方程 f(x)=0 的两解分别为 x1=﹣ ,x2=



=﹣k+

=﹣k+

=

=2x2∈(2,4) .

点评: 本题考查二次函数的性质、函数零点及函数恒成立问题,考查转化思想、函数与方 程思想、 分类讨论思想, 恒成立问题往往转化为函数最值解决, 函数零点则转化为方程根处理. 21. (14 分)已知圆 O:x +y =2,直线 l:y=kx﹣2. (1)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A,B,当∠AOB= 时,求 k 的值.
2 2

(2)若

,P 是直线 l 上的动点,过 P 作圆 O 的两条切线 PC、PD,切点为 C、D,探究:

直线 CD 是否过定点; (3)若 EF、GH 为圆 O:x +y =2 的两条相互垂直的弦,垂足为 M(1, 的面积的最大值. 考点: 直线与圆的位置关系;两点间的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: (1)利用点到直线的距离公式,结合点 O 到 l 的距离 ,可求 k 的值;
2 2 2 2

) ,求四边形 EGFH

(2)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上,C、D 在圆 O:x +y =2 上可得直线 C,D 的方程,即可求得直线 CD 是否过定点; (3)设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1,d2.则 形 EGFH 的面积,利用基本不等式,可求四边形 EGFH 的面积最大值. 解答: 解: (1)∵∠AOB= ∴ = ? , ,∴点 O 到 l 的距离 …(2 分) ,表示出四边

∴ …(4 分) (2)由题意可知:O、P、C、D 四点共圆且在以 OP 为直径的圆上, 设 即 又 C、D 在圆 O:x +y =2 上 ∴ 即 , …(7 分)
2 2

,其方程为: ,





,得



∴直线 CD 过定点

…(9 分)

(3)设圆心 O 到直线 EF、GH 的距离分别为 d1,d2. 则 ∴|EF|=2 ∴ , …(11 分)

当且仅当



时,取“=”

∴四边形 EGFH 的面积的最大值为 .…(14 分) 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,考查直线恒过定点,考查四边形面积的计算,考查 基本不等式的运用,属于中档题.



更多相关文章:
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数学...
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高二 (上) 期中数学...
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
(1, 的面积的最大值. 2 2 ) ,求四边形 EGFH 湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题...
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)
(1, 的面积的最大值. 2 2 ) ,求四边形 EGFH 湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题...
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_...2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高一(上)期中数学试卷一、选择题:本大题 ...
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高一下学期3月月考数学试卷 Word版含解析
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高一下学期3月月考数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高一下学期 3 月月 ...
湖北省长阳一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析
湖北省长阳一中2014-2015学年高一上学期第一次月考数学试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。湖北省长阳一中 2014-2015 学年高一上学期第一次月考数学试卷...
湖北省宜昌市长阳一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)
(1, 的面积的最大值. 2 2 ) ,求四边形 EGFH 湖北省宜昌市长阳一中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题...
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(word版解析)
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高三(上)第一次月考数学试卷(理科)(word版解析)_数学_高中教育_教育专区。湖北省宜昌市长阳一中 2015-2016 学年高三(上)第...
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中化学试卷 Word版含解析
湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期期中化学试卷 Word版含解析_高中教育_教育专区。2015-2016 学年湖北省宜昌市长阳一中高一(上)期中化学试卷一、选择题...
更多相关标签:
湖北省宜昌市长阳县    湖北省宜昌市第一中学    湖北省宜昌市    湖北省宜昌市夷陵中学    湖北省宜昌市旅行社    湖北省宜昌市夷陵区    湖北省宜昌市人民政府    湖北省宜昌市邮编    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图