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1.4.3正、余弦函数性质



课题 (章节) 教学目标

数学 4 第一章 1.4.2 正弦函数和余弦函数的性质(2) 1.知识与技能: 进一步理解正弦函数、余弦函数的性质; 能运用性质解决问题. 2.过程与方法: 通过观察图象回顾正弦函数、余弦函数的性质; 进一步体会数形结合思想在解题中的应用. 3.情感、态度与价值观: 进一步体会数形结合的思想,化归思想. 正、余弦函数性质的应用. 正

、余弦函数最值求法及单调区间求法; 利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的性质. (选用) 习题课 1 时间 教具 多媒体、投影仪 二.巩固深化,发展思维 例 1.上节思考题:例 2 有其他变式吗?可自己改题,并尝试归纳函数 一.复习回顾: 根据正余弦函数的图象复习性质,学生填写下表,教师检查通过投影仪及 时反馈. 函数 周期性 单调性 奇偶性 最大值与最小值 正弦函数 余弦函数

教学重点 教学难点 课的类型 教学时数 板书设计 (提纲)

y ? A sin(? x ? ? ) ? B 和 y ? A cos(? x ? ? ) ? B 的最值求法及取最值时相应

正弦函数和余弦函数的性质(表格形式复习) 例 1. 结论: y ? A sin(? x ? ? ) ? B 和 y ? A cos(? x ? ? ) ? B 求“取最值时相应

x 取值集合求法.
由学生给出一组变式进行探究,得出结论. 如:对(1) y ? cos x ? 1 进行变式: ① y ? 3cos x ? 1, x ? R ; ③ y ? 3cos 2 x ? 1, x ? R ; ② y ? 3cos( x ?

?
3

) ? 1, x ? R ; ) ? 1, x ? R .

x 取值集合”时,通过整体代换,令 z ? ? x ? ? ,化归为 y ? A sin z ? B 的形
式. 例 2.利用三角函数单调性,比较下列各组数的大小: 方法:化到同一单调区间;化同名. 例 3.求下列函数在指定范围内的单调区间:

④ y ? 3cos(2 x ?

?
3

结论:在对函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 和 y ? A cos(? x ? ? ) ? B 求“最值 及取最值时相应 x 取值集合”时,通过整体代换,令 z ? ? x ? ? ,化归为

y ? A sin z ? B 的形式.
对于学生所给出的一组变式,可由学生用《几何画板》作图,来直观体会 最值的取得. 引导:正、余弦函数单调性是非常重要的性质,下面看它解题中的应用。 例 2.利用三角函数单调性,比较下列各组数的大小: (1) sin( ?

3 例 4. 根据正弦函数图象, 写出使不等式 sin x ? 成立的 x 的取值集合. 2
利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的性质(选用) 教学过程 正弦函数和余弦函数的性质(2)
-6? -5? -4? -3? -2? -? y 1 o -1 y 1 -6? -5? -4? -3? -2? -? -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x

y=sinx

y=cosx
? 2? 3? 4? 5? 6? x

); 18 10 23? 17? ) 与 cos(? ); (2) cos( ? 5 4 ? 2? ). (3) sin( ) 与 cos( 5 5

?

) 与 sin(?

?

提问:我们应用哪一性质比大小?(单调性) 学生回答并解题. (1)利用三角函数单调性比较两个同名三角函数值的大 小,学生容易解答. (2)教师可以作提示:先用诱导公式将已知角化为同一单 调区间内的角,然后再比较大小. (3)教师可以作提示:比较两个不同名三角 函数值的大小,可用诱导公式化为同名,再比大小. 总结方法:比较大小用单调性,化同名,再化到同一单调区间. 注意解题过程中注意培养学生数形结合思想方法的应用. 例 3.例 3.求下列函数在指定范围内的单调区间: (1) y ? sin( x ? (2) y ? sin(

?

1 2

?
3

), x ? ? ?2? , 2? ? ;

3

?

1 x), x ? ? ?2? , 2? ? . 2

( 1 )引导学生分析,得出解题思路:整体代换:令

1 ? x ? ,化归到 2 3

y ? sin z ,利用正弦函数的单调性,得出一个关于 x 的不等式,然后利用数轴
求集合间交集得到所求单调区间。 (2) 与 (1) 的求解思路一致, 整体代换: 令z ?

还有没有其他办法来研究性质呢? 启发:前边学习中,我们提过有一个工具, 可以很好表现三角函数中自变量与函数值之间 的关系,说了后边有时间的话会研究。 学生思考后想到:单位圆三角函数线,教师说明:这是研究三角函数性质 的好工具。 通过《几何画板》动态展示,学生观察并体会正、余弦线周而复始的变化 规律:当角的终边绕原点从 Ou 轴的正半轴开始,按照逆时针方向旋转时,正 弦线 MP 按照 0 ? 1 ? 0 ? ?1 ? 0 的规律周而复始的变化着;同时,余弦 线 OM 按照 1 ? 0 ? ?1 ? 0 ? 1 的规律周而复始的变化着。 学生通过对正、余弦线变化规律的思考,把握正、余弦函数的性质: (1)周期性:自变量每增加 2? (角 x 旋转一周) ,正弦函数值( MP ) 、 余弦函数值( OM )重复出现; (2)奇偶性:角 x 与角 ?x 对应的正弦线关于 Ou 轴对称,余弦线重合, 因此正弦函数为奇函数,余弦函数为偶函数; (3)单调性: 角

x

?

?
2

? 2 k? ? 2 k? ?

?
2

? 2 k?

?
2

? 2 k ? ? ? ? 2 k? ?

3? 2

? 2 k?

?
3

?

1 x, 化归到 y ? sin z , 2

利用正弦函数的单调性,得出一个关于 x 的不等式,然后利用数轴求集合间交 集得到所求单调区间。其间要特别注意的是:函数 y ? sin z 的减区间是原函数 的增区间。 函数 y ? sin z 的单调递减区间是 ? 将z ?

正 弦 线
MP

?1 ? 0 ? 1
增函数

1 ? 0 ? ?1
减函数

sin x

3? ?? ? ? 2 k? , ? 2k? ? ,(k ? Z ) , 2 ?2 ?


?
3

?

1 ? 1 x 带入之后求得的是 y ? sin( ? x) 的单调递增区间。 2 3 2

x
余 弦 线

2 k? ?

?
2

? 2k? ? 2? ? 2k?

? ? 2 k? ?

3? ? 2k? ? 2? ? 2k? 2

思想方法:整体代换,化归思想。 例 4 .根据正弦函数图象,写出使不等式 sin x ?

3 成立的 x 的取值集 2

1 ? 0 ? ?1

?1 ? 0 ? 1

OM

合. (习题 1.4. B 组 1(1).) 目的:由于 B 组题中出现此类题目,配以例题。 分析:本题考察学生读图能力,引导学生得出分析思路:观察正弦函数学 图象,先找到等号成立的 x 值,再根据图象写出 x 的取值集合。 “探究与发现” : (选用)利用单位圆中的三角函数线研究正、余弦函数的 性质. v 我们前边通过正余弦函数图像研究了性质, P (u,v)
x M O u A(1,0)

cos x

减函数

增函数

4.最大值、最小值: 角x

?

?
2

? 2 k?

?
2

? 2 k?

角x

? ? 2 k?

2 k?

正 弦 线

-1 最小值

1 最大值

余 弦 线
OM

-1 最小值

1 最大值

MP sin x

cos x

进一步探究:你能借助单位圆中的三角函数线,讨论一下诱导公式等三角 函数的其他性质吗? 教师针对学生的回答给出评价。 三.课堂练习:课本 40 页练习 3、4、5、6,教师及时检查反馈。 四.归纳整理,整体认识 教师逐个提出问题,学生总结: 1.本节课我们主要在做一件什么事? 2.本节课用到哪些思想方法? 五.承上启下,留下悬念 1.阅读作业:课本 38-42 页已学内容。 2.书面作业:习题 1.4 A 组 2、3、4、5. B 组 1.(2) 3.思考:前边的课中我们研究了正、余弦函数的图像、性质和简单应用, 下节课我们该研究谁了呢?它的图像性质又怎样呢? 教学反思



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