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A066=12.5 二项分布及其应用



§12.5
要点梳理

二项分布及其应用 自主学习

基础知识
1.条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率叫 做 条件概率 ,用符号 P(B|A) 来表示,其 P?AB? 公式为 P(B|A)= . P?A? 在古典概型中,若用 n(

A)表示事件 A 中基 n?AB? 本事件的个数,则 P(B|A)= n?A?

(2)条件概率具有的性质: ① 0≤P(B|A)≤1 = P(B|A)+P(C|A) 2.相互独立事件 (1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发 生互不影响,则称 A、B是相互独立事件 . ; . ②如果 B 和 C 是两互斥事件, P(B∪C|A) 则

(2)若 A 与 B 相互独立,则 P(B|A)= P(B) , P(AB)=P(B|A)·P(A)= P(A)·P(B). (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B ,
A 与 B 也都相互独立.

(4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A与B相互独立 .

3.二项分布 (1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的, 各 次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试 验只有 两 种结果,即要么发生,要么不发生,且任 何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生 k 次的概率 为
Cn p
k k

?1 ? p ? (k=0,1,2,…,n)

n?k

(p 为事件 A

发生的概率),事件 A 发生的次数是一个随机变量 X, 其分布列为 二项分布 ,记为 X~B(n,p) .

[难点正本 与联系

疑点清源]

1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两 个事件间的关系. (2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互 独立”强调一个事件的发生与否对另一个 事件发生的概率没有影响. (3)“互斥”的两个事件可以独立,“独 立”的两个事件也可以互斥.

基础自测 1. 如图所示,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每 个数所在区域的机会均等, 那么两个指针同时 4 落在奇数所在区域的概率是________. 9

解析

第一个圆盘中,指针落在奇数所在区域 4 2 4 2 的概率 P1= = .同理 P2= = ,由于两个圆 6 3 6 3 4 盘是相互独立的,∴P=P1×P2= . 9

2.如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关, 1 每个开关开或关的概率都是 ,且是相互独 2 1 立的,则灯泡甲亮的概率为________. 8
解析 理解事件之间的关系,设“a 闭合”为

事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合”为事 件 C,则灯亮应为事件 AC B ,且 A,C, B 之 1 间彼此独立,且 P(A)=P( B )=P(C)= . 2 1 所以 P(A B C)=P(A)P( B )P(C)= . 8

1 3.小王通过英语听力测试的概率是 ,他连续 3 测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的 概率是( A ) 4 2 A. B. 9 9 4 C. 27
? ? ? ?3? ?

2 D. 27
?

解析

所求概率

1 3 -1 4 1 1 1 ? ?1- ? P=C3· ? · = . 3? 9

4.(2010· 辽宁)两个实习生每人加工一个零件, 2 3 加工为一等品的概率分别为 和 ,两个零 3 4 件是否加工为一等品相互独立,则这两个 零件中恰好有一个一等品的概率为( B ) 1 5 1 1 A. B. C. D. 2 12 4 6
解析 设事件 A: “一个实习生加工一等品”, 事件 B:“另一个实习生加工一等品”,由于 A、B 相互独立, 则恰有一个一等品的概率 P=P(A B )+P( A B) 2 1 1 3 5 =P(A)P( B )+P( A )P(B)= × + × = . 3 4 3 4 12

5.设随机变量 ( A ) 5 A. 16

? 1? ? X~B?6, ?,则 2? ? ?

P(X=3)等于 3 D. 8

3 B. 16

5 C. 8

? 1? 解析 ∵X~B?6,2?, ? ? ? ? ? 1?3 5 3 1 3 ∴P(X=3)=C6?2? ?1-2? = . 16 ? ? ? ?

题型分类
题型一 条件概率

深度剖析

例 1 抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色 骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗 骰子的点数之和大于 8”. (1)求 P(A),P(B),P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时, 求 两颗骰子的点数之和大于 8 的概率.

思维启迪

(1)从古典概型的角度看, 确定基本

事件和构成事件的基本事件.(2)条件概率. 2 1 解 (1)①P(A)= = . 6 3

②∵两个骰子的点数共有 36 个等可能的结果, 点数之和大于 8 的结果共 10 个. 10 5 ∴P(B)= = . 36 18 ③当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,两颗骰子的 5 点数之和大于 8 的结果有 5 个,故 P(AB)= . 36 5 P?AB? 36 5 (2)由(1)知 P(B|A)= = = . 1 12 P?A? 3

探究提高

条件概率的求法:

(1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A) P (A B ) = .这是通用的求条件概率的方法. P (A ) (2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含 的基本事件数 n(A ),再在事件 A 发生的条件 下求事件 B 包含的基本事件数,即 n(A B ),得 n(A B ) P (B |A )= . n(A )

变式训练 1

1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,

2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地 从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,问 (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的概率是多少? (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少?



记事件 A: 最后从 1 号箱中取出的是红球;

事件 B:从 2 号箱中取出的是红球. 3+1 4 (1)P(B|A)= = . 8+1 9 3 1 (2)∵P(B| A )= = , 8+1 3 ∴P(B)=P(BA)+P(B A ) =P(B|A)P(A)+P(B| A )P( A ) 4 2 1 1 11 = × + × = . 9 3 3 3 27

题型二

相互独立事件的概率

例 2(2010· 全国Ⅱ)如图, M 到 N 的电路中有 由 4 个元件,分别标为 T1,T2,T3,T4,电流 能通过 T1,T2,T3 的概率都是 p,电流能通 过 T4 的概率是 0.9,电流能否通过各元件相 互独立.已知 T1,T2,T3 中至少有一个能通 过电流的概率为 0.999.(1)求 p; (2)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率.

思维启迪

两个事件独立,两个事件的对立事

件也是相互独立的.



记 Ai 表示事件:电流能通过 Ti,i=1,2,3,4.

A 表示事件:T1,T2,T3 中至少有一个能通过电流.B 表示 事件:电流能在 M 与 N 之间通过. (1) A = A1 · 2 · 3 ,A1、A2、A3 相互独立. A A 故 P( A )=P( A1 · 2 · 3 )=P( A1 )P( A2 )P( A3 ) A A =(1-p)3,又 P( A )=1-P(A)=1-0.999=0.001,故(1-p)3 =0.001,得 p=0.9. (2)B=A4+ A4 · 1· 3+ A4 · 1 · 2· 3, A A A A A P(B)=P(A4+ A4 · 1· 3+ A4 · 1 · 2· 3) A A A A A =P(A4)+P( A4 · 1· 3)+P( A4 · 1 · 2· 3) A A A A A =P(A4)+P( A4 )P(A1)P(A3)+P( A4 )P( A1 )P(A2)P(A3)=0.9+ 0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.989 1.

变式训练 2 某项选拔共有四轮考核,每轮设 有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮 考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回 答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4 3 2 1 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不 5 5 5 5 影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.



(1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题” 4 的事件为 Ai(i=1,2,3,4),则 P(A1)= ,P(A2)= 5 3 2 1 ,P(A3)= ,P(A4)= ,∴该选手进入第四轮 5 5 5 才被淘汰的概率 P4=P(A1A2A3 A4 )=P(A1)P(A2)P(A3)P( A4 ) 4 3 2 4 96 = × × × = . 5 5 5 5 625 (2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P3=P( A1 +A1 A2 +A1A2 A3 ) =P( A1 )+P(A1)P( A2 )+P(A1)P(A2)P( A3 ) 1 4 2 4 3 3 101 = + × + × × = . 5 5 5 5 5 5 125

题型三

独立重复试验与二项分布

例 3 为拉动经济增长,某市决定新建一批重点 工程,分别为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类.这三类工程所含项目的个 1 1 1 数分别占总数的 、 、 ,现在 3 名工人独 2 3 6 立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的 概率; (2)记 ξ 为 3 人中选择的项目属于基础设施工 程或产业建设工程的人数,求 ξ 的分布列.

思维启迪

(1)选择的项目所属类别互不相同

的情况共有 A3种,每种之间是互斥的. 3 (2)寻找 ξ 与选择民生工程项目的人数 η 的关 系,根据 η 服从二项分布,可求 ξ 的分布列.



记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工

程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai, Bi,Ci,i=1,2,3.由题意知 A1,A2,A3 相互独 立,B1,B2,B3 相互独立,C1,C2,C3 相互独 立,Ai,Bj,Ck(i,j,k=1,2,3 且 i,j,k 互不 1 1 相同)相互独立,且 P(Ai)= ,P(Bj)= ,P(Ck) 2 3 1 = . 6

(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=3!P(A1B2C3)=6P(A1)P(B2)P(C3) 1 1 1 1 =6× × × = . 2 3 6 6 (2)方法一 设 3 名工人中选择的项目属于民生 ? 1? ? 工程的人数为 η,由已知,η~B?3, ?,且 ξ 3? ? ? ? ? 1 3?1?3 =3-η,所以 P(ξ=0)=P(η=3)=C3? ? = , 27 ?3? ? ? ? ? 2 2?1?2?2? P(ξ=1)=P(η=2)=C3? ? ? ?= , ?3? ?3? 9 ? ?? ? 4 1?1??2?2 P(ξ=2)=P(η=1)=C3? ?? ? = , 9 ?3??3? ? ? 8 0?2?3 P(ξ=3)=P(η=0)=C3? ? = . 27 ?3? 故 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27

方法二 记第 i 名工人选择的项目属于基础设 施工程或产业建设工程分别为事件 Di, i=1,2,3. 由已知:D1,D2,D3 相互独立,且 1 1 2 P(Di)=P(Ai∪Ci)=P(Ai)+P(Ci)= + = , 2 6 3 ? 2? ? 所以 ξ~B?3, ?, 3? ? ? ? ? ? ? k?2?k?1?3-k 即 P(ξ=k)=C3? ? ? ? ,k=0,1,2,3. ?3? ?3? 故 ξ 的分布列是 ξ 0 1 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27

探究提高

(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、

各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中, 每一次试验只有两种结果,即某事件要么发生,要么不 发生,并且任何一次试验中发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件 ①每次试验中,事件发生的概率是相同的. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.

变式训练 3

(2010· 江苏)某工厂生产甲、乙两种产

品. 甲产品的一等品率为 80%, 二等品率为 20%; 乙产品的一等品率为 90%,二等品率为 10%.生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万元,若是 二等品则亏损 1 万元; 生产 1 件乙产品, 若是一等 品则获得利润 6 万元, 若是二等品则亏损 2 万元. 设 生产各件产品相互独立. (1)记 X(单位: 万元)为生产 1 件甲产品和 1 件乙产 品可获得的总利润,求 X 的分布列; (2)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元 的概率.



(1)由题意知,X 的可能取值为 10,5,2,-3.

P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=5)=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08, P(X=-3)=0.2×0.1=0.02, 所以 X 的分布列为 X P 10 5 2 -3

0.72 0.18 0.08 0.02

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n(n≤4 且 n∈N*) 件,则二等品有(4-n)件. 由题设知 4n-(4-n)≥10,解得 n≥ 又 n∈N*,得 n=3 或 n=4. 所以 P=C3×0.83×0.2+C4×0.84=0.819 2. 4 4 故所求概率为 0.819 2. 14 . 5

易错警示 22.事件之间的关系不清致误 试题: 分)某单位为绿化环境, (12 移栽了甲、 乙两种大树各 2 株.设甲、乙两种大树移 5 4 栽的成活率分别为 和 ,且各株大树是否 6 5 成活互不影响.求移栽的 4 株大树中: (1)至少有 1 株成活的概率; (2)两种大树各成活 1 株的概率.

规范解答 解 设 Ak 表示第 k 株甲种大树成活,k=1,2; 设 Bl 表示第 l 株乙种大树成活,l=1,2. 则 A1,A2,B1,B2 独立, 5 4 且 P(A1)=P(A2)= ,P(B1)=P(B2)= .[2 分] 6 5 (1)至少有 1 株成活的概率为: 1-P( A1 · 2 · 1 · 2 ) A B B =1-P( A1 )· A2 )· B1 )· B2 ) P( P( P( ?1? ? ? ? ?2 ?1?2 899 =1-? ? ×? ? = .[6 分] 900 ?6? ?5? (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知, 两种大树各成活 1 株的概率为:P= ? ?? ? 8 4 ? 1 5 1? ? 1 4 1? 10 ?C2×6×6?· 2×5×5?=36×25=45.[12 分] ?C ? ?? ?

思想方法
方法与技巧

感悟提高

1.古典概型中,A 发生的条件下 B 发生的条 P?AB? n?AB? 件概率公式为 P(B|A)= = ,其 P?A? n?A? n?AB? 中, 在实际应用中 P(B|A)= 是一种重 n?A? 要的求条件概率的方法. 2. 运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公 式成立的条件, 只有当事件 A、 相互独立 B 时,公式才成立.

3.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X=k)=Ck pk(1-p)n k,k n =0,1,2,?,n,其中 p 是一次试验中该事 件发生的概率.实际上,Ck pk(1-p)n n +1 项.
-k -



好是二项式[(1-p)+p]n 的展开式中的第 k

作业

步步高课时规范训练
( §12.5)

p357—p358



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