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河南省南阳一中2014届高三上学期第三次周考(11月)数学(理)试题 Word版含答案


时间:2013 年 11 月 23 日 一、选择题(每小题5分,共60分) 1、若全集为实数集 R ,集合 A = {x | log 1 (2 x ? 1) ? 0}, 则CR A =( )
2

1 A. ( , ??) 2
2、在复平面内,复数 A.第四象限 3、函数 y ? e
sin x

B. (1, ??)

C. [0, ] ? [1, ??) ( )

1 2

D. (??, ] ? [1, ??)

1 2

1 ? i3 对应的点位于 1? i
B.第三象限 (

C.第二象限 )

D.第一象限

( - ? ? x ? ? )的大致图象为

4、已知函数 y ? sin(

? 2 x) ,则其图象的下列结论中,正确的是( 4 ? ? ? ? A.关于点 ? - ,1? 中心对称 B.关于直线 x ? 轴对称 8 ? 8 ? ? ? C.向左平移 后得到奇函数 D.向左平移 后得到偶函数 8 8

?



5、设 a ? cos xdx, b ? sin xdx, 下列关系式成立的是 (
0 0

?

1

?

1

) D. a ? b ? 1
3

A. a ? b
4 3

B. a ? b ? 1
2

C. a ? b
4

6、由等式 x ? a1x ? a2 x ? a3 x ? a4 ? ( x ?1) ? b1( x ?1) ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ?1) ? b4 定 义 映 射 f (a1, a2 , a3 , a4 ) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 , 则 f (4,3,2,1) ? ( ) A.10 B.7 C. -1 D.0

7、已知 A,B,C,D 是函数 y ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? 个周期内的图象上的四个点,如图所示, A( ?

?
2

)一

?
6

, 0), B 为 y 轴上的

点,C 为图象上的最低点,E 为该函数图象的一个对称中心,B 与 D 关于点 E 对称, CD 在 x 轴上的投影为 A. ? ? 2, ? ?

??? ?

?

1 ? ,? ? 3 6 2 6 ??? ? 8、在△ ABC 中,AB=4,∠ ABC=30° ,D 是边 BC 上的一点,且 AD ? AB ? AD ? AC ,

?

B. ? ? 2, ? ?

?

12

,则 ? , ? 的值为( ) C. ? ?

1 ? ,? ? 2 3

D. ? ?

则 AD ? AB 的值等于( A.—4

) B.0 C.4 D.8

9、若 0 ? ? ?

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 , cos(


?
4

??) ?

则 cos( ? ?

?
2

1 ? ? 3 , cos( ? ) ? , 3 4 2 3

) ?(

3 A. 3

?
B.

3 3

5 3 C. 9

?
D.

6 9

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 2 2 10、若在区域 ? 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x ? y ? 1 内的概率( ) x?0 ? y?0 ?
A.

3? 32

B.

5? 32

C.

3? 16

D.

5? 16

11、已知 ?ABC的三边长成公差为 2 的等差数列,且最大角的正弦值为 是( ) A. 18 B. 21 C. 24 D. 15

3 ,则这个三角形的周长 2

? 1 (x ? 1) ? 2 12、设函数 ( ,若关于 x 的方程[f (x)] + bf ( x)+c=0 有三个不同的实数根 x1 ,x2 ,x3 , f x)= ? |x-1| ?1 (x =1) ?
则 x1 +x2 +x3 等于( ) A. 13 B. 5 C.
2 2 2

3c2 +2 c2

D.

2b 2 +2 b2

第Ⅱ 卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题(每题5分,共20分) 13、用 0,1,2,3,4 排成无重复数字的五位数,要求偶数字相邻,奇数字也相邻,则这样的五位 数的个数是 14 、 已 知 函 数 f ? x ? 是 R 上 的 奇 函 数 , 若 对 于 x ? 0 , 都 有 f ? x ? 2 ? ? f ( x) ,

当x ? ? 0, 2 ? 时, f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? 时, f ?? 2013 ? ? f (2014) 的值为
15、某校对高三年级的学生进行体检, 男生的体重(单位:kg)数据进行整理后 组, 并绘制频率分布直方图(如右图). 已 左到右第一、第六小组的频率分别为 0.16,0.07,第一、第二、第三小组的频 数列,第三、第四、第五、第六小组的 差数列,且第三小组的频数为 100,则 年级的男生总数为 16、已知各项均为正数的等比数列 {an } 现将高三 分 成 六 知图中从 率成等比 频率成等 该校高三 满 足

a7 ?

?2 a6 ,若存在两项 a5 am , an 使得 am an ? 4a1 , 则

1 4 ? 的最小值为 m n

三、解答题(本大题共 7 题,共 70 分) 17、 (本小题满分 12 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边长,已知

2 A+C b 2 ? c 2=a 2 ? ac 。 (Ⅰ )求 cosB 及 tan 的值; (Ⅱ )若 b=2 2 ,△ ABC 的面积为 2 ,求 3 2
sinA+sinC 的值

18、 (本小题满分 12 分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式 过马路 ”的态度是否与性别有关, 从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查, 得到了如下列联表: 男性 反感 不反感 合计 10 8 30 女性 合计

已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路 ”的路人的概率是

8 . 15

(Ⅰ )请将上面的列联表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程) ,并据此资料分析 反感“中国式过马路 ”与性别是否有关? (Ⅱ )若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为 X,求 X 的分布列和数学期望。

n(ad ? bc) 2 附表: 2? 2 列联表随机变量 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 2 P( K ? k ) 与 k 对应值表:
2

P( K 2 ? k )
k

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ? x ? mx 在(0,1)上是增函数,
3

(Ⅰ )实数 m 的取值集合为 A,当 m 取集合 A 中的最小值时,定义数列 {an } 满足

a1 ? 3, 且 an ? 0, an ?1 ? ?3 f ? ? an ? ? 9 ,求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ )若 bn ? nan ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,求证: Sn ?

3 . 4

20、 (本小题满分 12 分)如图,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的 边 AD 为半圆的直径,O 为半圆的圆心,AB=1,BC=2,现要将此铁皮 剪出一个等腰三角形 PMN,其底边 MN⊥ BC. (Ⅰ )设∠ MOD=30° ,求三角形铁皮 PMN 的面积; (Ⅱ )求剪下的铁皮三角形 PMN 的最大面积. 1 a 21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=- x3+ x2-2x(a∈ R) 3 2 (1) 当 a=3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2) 若对于任意 x∈ [1,+∞)都有 f '( x) <2(a-1)成立,求实数 a 的取值范围;

(0,- ) (3) 若过点 可作函数 y=f(x)图象的三条不同切线,求实数 a 的取值范围.
请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做 的第一个题目计分。

1 3

22、(本小题满分 10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,C 是半径 OB 的中点, D 是 OB 延长线上一点, 且 BD=OB,直线 MD 与圆 O 相交于点 M、T(不与 A、B 重合) ,DN 与圆 O 相切于点 N,连结 MC, MB,OT. (I)求证: DT ? DM ? DO ? DC ; (II)若 ?DOT ? 60 ,试求 ?BMC 的大小.
?

23、(本小题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ?1 (I)解不等式: 1 ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ; (II)若 a>0 ,求证: f (ax) ? af ( x) ≤ f (a ) .

南阳市一中 2013 年秋期第三次周考理科数学试题答案
一、选择题 二、填空题 13、20 14、-1 15、 400 16、

a2+c2-b2 1 2 三、17、解:(Ⅰ )由 b2-c2=a2- ac,得 cos B= = . 由 0<B<π 知 sin B= 1-cos2B= 3 2ac 3 2 2 . 3 π B B B sin( - ) cos 2cos2 2 2 2 2 A+C π-B 1+cos B tan =tan = = = = = 2. (5 分) 2 2 π B B B B sin B cos( - ) sin 2sin cos 2 2 2 2 2 1 2 8 (Ⅱ )由 acsin B= 2,ac=3,由 b2-c2=a2- ac,得(a+c)2=b2+ ac=16,即 a+c=4. 2 3 3 a+c 4 由正弦定理得 sin A+sin C= × sin B= .(10 分) b 3 18、 男性 女性 合计 (Ⅰ )由已知数据得: 10 6 16 反感 不反感 合计 6 16 8 14 14 30

3 2

30(10 ? 8 ? 6 ? 6) 2 ? ? ? 1.158 ? 3.841 16 ?14 ?16 ?14
2

所以,没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关. ………6 分 (Ⅱ ) X 的可能取值为 0,1, 2.

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

2 1 C8 C1 4 48 6C8 ? , P ( X ? 1) ? ? , 2 2 C14 13 C14 91 2 C6 15 ? , 2 C14 91

……………9 分

所以 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

48 15 91 91 4 48 15 6 X 的数学期望为: EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . 13 91 91 7
4 13

……………12 分

20、 (本小题满分 12 分)

1 3 21、 【解析】(1)当 a=3 时,f(x)=- x3+ x2-2x,得 f′(x)=-x2+3x-2. 3 2 2 因为 f′(x)=-x +3x-2=-(x-1)(x-2), 所以当 1<x<2 时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增; 当 x<1 或 x>2 时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减. 故函数 f(x)的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞). 1 a (2)方法一:由 f(x)=- x3+ x2-2x,得 f′(x)=-x2+ax-2. 3 2 因为对于任意 x∈ [1,+∞)都有 f′(x)<2(a-1)成立, 即对于任意 x∈ [1, +∞)都有-x2+ax-2<2(a-1)成立, 即对于任意 x∈ [1, +∞)都有 x2-ax+2a>0 成立. 令 h(x)=x2-ax+2a,

?? ? 0 ?a ? 要使 h(x)对任意 x∈ [1,+∞)都有 h(x)>0 成立,必须满足 Δ<0,或 ? ? 1 , ?2 ? ? h(1) ? 0

? a 2 ? 8a ? 0 ? ?a 2 即 a -8a<0 或 ? ? 1 所以实数 a 的取值范围为(-1,8). ?2 ? ?1 ? a ? 0

2 1 1 令 g(t)= t3- at2+ ,则函数 y=g(t)与 t 轴有三个不同的交点. 3 2 3 a 令 g′(t)=2t2-at=0,解得 t=0 或 t= . 2 a? 1 ?a? 1 3 1 1 3 1 因为 g(0)= ,g?2?=- a + ,所以 g? ?2?=-24a +3<0,即 a>2. 3 24 3 所以实数 a 的取值范围为(2,+∞). 22、 (1)证明:因 MD 与圆 O 相交于点 T,由切割线定理 DN ? DT ? DM , DN ? DB ? DA ,
2 2



r DT ? DM ? DB ? DA,设半径 OB= r (r ? 0) ,因 BD=OB,且 BC=OC= , 2
2 则 DB ? DA ? r ? 3r ? 3r , DO ? DC ? 2r ?

所以 DT ? DM ? DO ? DC . ------------------5 分 (2)由(1)可知, DT ? DM ? DO ? DC ,且 ?TDO ? ?CDM , 故 ?DTO ∽?DCM ,所以 ?DOT ? ?DMC ;
? 根据圆周角定理得, ?DOT ? 2?DMB ,则 ?BMC ? 30 .

3r ? 3r 2 , 2

--------10 分


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