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福建省泉州七中2013届高三第一次质量检查数学理试题



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2013 年泉州七中高中毕业班第一次质量检查


参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差






校对:饶真平 陈建彬

命题:汪木水 饶真平

/>
锥体体积公式

s=

1 ?( x1 ? x ) 2 ? ( x2 ? x ) 2 ? … ? ( xn ? x ) 2 ? ? n?

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

V=Sh
其中 S 为底面面积,h 为高

S ? 4?R2 , V ? 4 ?R3
3
其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 CU M =(
2

)

y A

A. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 0或x ? 1}

??? ??? ? ? 2. 如图, 在复平面内, 若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB , 则复数 z1 ? z2 所

O B

x

对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

第 2 题图

3.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x)? f ( x) , f ( x ? 2)? f ( x) ,则函数 y? f (x) 的图像可 以是( )

A.

B.

C.

D. )

4.已知 l , m 为两条不同的直线, ? 为一个平面。若 l // ? ,则“ l // m ”是“ m // ? ”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

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5.若等比数列 ? an ? 的首项为 A. 3 B.

1 3

1 2 ,且 a4 ? ?1 (2 x)dx ,则数列 ? an ? 的公比是( 9 1 C. 27 D. 27

)

6.若双曲线

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为 5 x ? 3 y ? 0 ,则椭圆 ? ? 1 的离心率为( 9 m m 4
B.

)

A.

1 2

2 2

C.

5 5

D.

5 ?1 2
4 4
正视图

7. 如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形,在包围 该三棱锥的外接球内任取一点,则该点落在三棱锥内部的概率为 ( )

4 A. 9?

2 B. 27?

4 C. 27?

2 D. 9?

2
侧视图

8. 有四个关于三角函数的命题: ① ? x ? R, sin
2

俯视图

第 7 题图

x 1 视图 2 x + cos = ② ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y 2 2 2 ③三角形 ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ,若 a 、 b 、 c 成等差数列,
则0 ? B ?

?
3

④ sin x ? cos y ? x ? y ? ) B.②④ C. ①③

?
2

其中假命题的是( ... A. ①④

D.②③

B 9. 如图,已知圆 C 直径的两个端点坐标分别为 A?? 9 , 0? 、 ?? 1 ,0? ,点 P 为圆 C 上(不同于

A 、 )的任意一点,连接 AP 、BP 分别交 y 轴于 M、N 两点,以 MN B
为直径的圆与 x 轴交于 D、F 两点,则弦长 DF 为( A. 7 B. 6 C. 2 7 D. 2 6
第 9 题图

)

10.对于定义域为[0,1]的函数 f ( x) ,如果同时满足以下三个条件:

① 对 任 意 的 x ? [0,1] , 总 有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③ 若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1 , 都 有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f (x) 为? 函数.
下面有三个命题:(1)若函数 f (x) 为? 函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 ?1( x ? [0,1]) 是? 函数;
x

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(3)若函数 f (x) 是? 函数,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ? [0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中真命题个数有 ( ... A. 0 个 ) C. 2 个 D. 3 个

B. 1 个

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. ( x ? 2) 的展开式中, x 的系数是_____. (用数字作答)
6

3

12.已知正数 x 、 y 满足 ?

?2 x ? y ? 0 1 x 1 y ,则 z ? ( ) ? ( ) 的最小值为_____. 4 2 ?x ? 3 y ? 5 ? 0

13.定义一种运算 S ? a ? b ,在框图所表达的算法中揭示了这种运算“ ? ”的含义。那么,按 照运算“ ? ”的含义,计算 tan15 ? tan 30 ? tan 30 ? tan15 ?
? ? ? ?



开始

y
输 入 a, b


B


a ? b?

S ? a?b

S ? ab

M N x A

输出S

结束

第 13 题图
?

O

第 14 题图

14. 幂函数 y ? x , ? 取不同的正数时, 当 在区间 ?0,1? 上它们的图像是一族美丽的曲线 (如图) 设 . 点 A(1,0), B(0,1) ,连接 AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y ? x , y ? x 的图像三等分,即有
? ?

BM ? MN ? NA. ,那么??=



15.已知向量 ? 、 、 满足 ? ? 1 , ? ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 0 。若对每一个确定的 ? , ? ?

? 的最大值为 m ,最小值为 n ,则对任意的 ? , m ? n 的最小值为



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三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 某科考试中,从甲、乙两个班级各抽取 10 名同学的成绩进行统计分析,两班成绩的茎叶图如 图所示,成绩不小于 90 分为及格. (Ⅰ) 从每班抽取的同学中各抽取一人, 求至少有一人及格的概率; (Ⅱ)从甲班 10 人中取一人,乙班 10 人中取两人,三人中及格人 数记为 X ,求 X 的分布列和期望.

17. (本小题满分 13 分) 某同学用 “五点法” 画函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) (? ? 0, ? ? 列表并填入的部分数据如下表:

?
2

) 在某一个周期内的图象时,

x
?x ? ?
A sin(?x ? ? )

x1
0 0

1 3

x2
?
0

7 3 3? 2
? 3

x3
2?

?
2
3

0

(Ⅰ)请写出上表的 x1 、 x 2 、 x 3 ,并直接写出函数的解析式

y

P

2 (Ⅱ)将 f ( x) 的图象沿 x 轴向右平移 个单位得到函数 3
g ( x) 的图象, P 、 Q 分别为函数 g ( x) 图象的最高点和
最低点(如图) ,求 ?OQP 的大小。
Q O x

18. (本小题满分 13 分) 如图,在矩形 ABCD 中, AB =2, BC = a ,又 PA ⊥平面 ABCD , PA =4. (Ⅰ)线段 BC 上存在点 Q ,使 PQ ⊥ QD ,求 a 的取值范围; (Ⅱ)线段 BC 上存在唯一点 Q ,使 PQ ⊥ QD 时,求二面角 A ? PD ? Q 的 值。 A Q
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P

余 弦

B

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C

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19. (本小题满分 13 分) 平面内动点 P 到点 F (0,1) 的距离等于它到直线 y ? ?1 的距离,记点 P 的轨迹为曲线 ? . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程; (Ⅱ)△ABC 的三个顶点在曲线 ? 上,记△ABC 的三边 AB、BC、CA 所在的直线的斜率分别为

k AB , k BC , k CA ,若 A 为原点,求 k AB ? k BC ? k CA 的值;
(Ⅲ)若给出一个以 P(2,1) 为顶点、其余各顶点均为曲线 ? 上的动点的多边形,请你探究出各多 边形各边所在的直线斜率之间的关系式,并说明理由。 20. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? x ?

a (a ? 0) , g ( x) ? 2 ln x ? bx ,直线 y ? 2 x ? 2 与曲线 y ? g (x) 相切. x

(Ⅰ)若对 [1,??) 内的一切实数 x ,不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 1 时,求最大的正整数 k ,使得对 [e,3] ( e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数)内 的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立; (Ⅲ)求证:

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) (n ? N * ) . ?1

21.本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多 、 、 做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将 所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 二阶矩阵 M 对应的变换将点(1,-1)与(-2,1)分别变换成点(-1,-1)与(0,-2). (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)设直线 l 在变换 M 作用下得到了直线 m:2x-y=4,求 l 的方程.

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 在极坐标系中, 已知直线 l 的极坐标方程为 ? sin(? ? 半径为 2 。 (Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程;
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?

圆 ) ? 1 ? 2 , C 的圆心是 C ( 2, ) , 4 4

?

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(Ⅱ)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长。 (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 3 | 。 (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)已知关于 x 的不等式 a ? 3 ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。

座号:

泉州七中 2013 届理科数学第一次质量检查 答题卡
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在 每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将 你认为是正确的选项前面的代号填入相应的空格中。

校区: 班级: 姓名: ……………………………..密…………………………….………………封……………………….………………线……………………………………….

1 2 3 4

[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A ][B] [C] [D]

5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C ][D]

9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D]

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。把答 案填写在答题卡上相应的位置。 11. ; 12. ;13. ;

14. ; 15. 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答应写出必要的 文字说明、推理过程或演算步骤。 16、 (本小题满分 13 分)

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请注意:超出线外,答题无效

17、 (本小题满分 13 分)
y P

O

x

Q

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请注意:超出线外,答题无效

18、 (本小题满分 13 分)

P

A Q D C

B

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请注意:超出线外,答题无效

19、 (本小题满分 13 分)

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20、 (本小题满分 14 分)

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请注意:超出线外,答题无效

21、 (两小题,每小题满分 7 分) 请考生从(1)(2)(3)三题中任选 2 题作答,作答时, 、 、 先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并 将所选题号填入括号中。如果多做,则按所做的前两题计分。 21 题( ) [1] [2] [3]

21 题( )

[1] [2] [3]

2013 年泉州七中高中毕业班第一次质量检查 理科数学参考答案
一、选择题:BABDA, CCABD
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二、填空题: 11. -160 三、解答题:

12.

1 16

13. 1

14. 1

15.

1 2

16.解: (Ⅰ)甲班有 4 人及格,乙班有 5 人及格.???????2 分 事件“从两班 10 名同学中各抽取一人,至少有一人及格”记作 A , 则 P( A) ? 1 ?
1 1 C6C5 30 7 ?1? ? ??????????????????6 分 1 1 C10C10 100 10

(Ⅱ) X 取值为 0,1,2,3.?????????????????????7 分
P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?
1 2 C6 C5 2 ? 2 ? ; 1 C10 C10 15

P( X ? 1) ?

1 1 1 2 1 C6 C5C5 C4 C5 19 ? 2 ? 1 ? 2 ? ; 1 C10 C10 C10 C10 45

1 2 1 1 1 C6 C5 C4 C5C5 16 ? 2 ? 1 ? 2 ? ; 1 C10 C10 C10 C10 45

P( X ? 3) ?

2 1 C4 C5 4 ? 2 ? . 1 C10 C10 45

所以 X 的分布列为

X
P( X )

0
2 15

1
19 45

2
16 45

3
4 45

?????????11 分 所以 E ( X ) ?
19 ? 32 ? 12 7 ? . ???????????????????????13 分 45 5

17.解:(Ⅰ) x1 ? ?

2 4 10 , x2 ? , x3 ? -????????3 分 3 3 3
? ?
????????6 分

所以f ( x) ? 3 sin( x ? ) 2 3
(Ⅱ)将 f ( x) 的图像沿 x 轴向右平移 分

? 2 个单位得到函数 g ( x) ? 3 sin x -????????7 3 2

因为 P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点, 所以 P(1, 3), Q(3, ? 3) ????????????????9 分 所以 OP ? 2, PQ ? 4, ????????????????10 分

OQ ? 12,? cos? ?
所以 ? ?

OQ 2 ? PQ 2 ? OP 2 3 ? ????????12 分 2OQ ? QP 2

?
6

????????????????13 分

法 2: 可以得?POx ? 60o , ?P ? 60o , ?QOx ? 30o 所以? =30o

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??? ???? ? QP ? QO (?2, 2 3) ? (?3, 3) 3 ? 法 3:利用数量积公式 cos ? ? ??? ???? ? , 所以? =30o ? 2 4 ? 12 ? 9 ? 3 QP ? QO

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???? ???? ???? ? AD 、 、 为 x.y.z 轴建立如图的空间直角坐标系,则 B(0,2, AB AP 18.解法 1: (Ⅰ)以
0) ,C(a,2,0) ,D(a,0,0) ,P(0,0,4) , ????????2 分

设 Q(t,2,0) t ? 0 ) ( ,则 PQ =(t,2,-4) DQ =(t-a,2,0) , .

???? ???? ? PQ ?DQ ? t (t ? a) ? 4 =0.即 t 2 ? at ? 4 ? 0 .????????4 分 ∵PQ⊥QD,∴

a?t?


4 ?4 ? 4, ?? ? . ?????????6 分 t .故 a 的取值范围为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD.此时 Q(2,2,0) , D(4,0,0) . 设 ????????7 分 是平面 PQD 的法向量,

n ? ? x, y , z ?

??? ? ?n?DP ? 0 ? 0 ? ?4 x ?4 z ? ? ???? ? ,1 1 0 ?n?DQ ? 0 , ? ?2 x ?2 y ? . z ? 1, n ? ?1, 由? 得 取 则
10 分

? 是平面 PQD 的一个法向量.????



??? ? AB ? ? 0, 2, 0 ?

是平面 PAD 的一个法向量,

???? ???? AD?n 3 cos ? AD, n ?? ???? ? 3 AD ? n

??12 分

∴二面角 A-PD-Q 的余弦值为

3 . ?????????????13 分 3

解法 2: (Ⅰ)如图,连 AQ ,由于 PA⊥平面 ABCD,则由 PQ⊥QD, 必有 AQ ? DQ . 设 BQ ? t ,则 CQ ? a ? t ,在 Rt?ABQ 中,有 AQ ?

P

t2 ? 4 .
A M D C Q

DQ ? 在 Rt?CDQ 中,有

?a ? t ?

2

?4



N

2 2 2 在 Rt?ADQ 中,有 AQ ? DQ ? AD .

B



t 2 ? 4 ? ? a ? t ? ? 4 ? a2
2

, 即 t ? at ? 4 ? 0 . ∴
2

a?t?

4 ?4 t .
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故 a 的取值范围为

? 4, ?? ? .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 t ? 2 , a ? 4 时,边 BC 上存在唯一点 Q(Q 为 BC 边的中点) , 使 PQ⊥QD,过 Q 作 QM∥CD 交 AD 于 M,则 QM⊥AD. ∵PA⊥平面 ABCD,∴PA⊥QM.∴QM⊥平面 PAD. 过 M 作 MN⊥PD 于 N,连结 NQ,则 QN⊥PD. ∴∠MNQ 是二面角 A-PD-Q 的平面角. 在等腰直角三角形 PAD 中,可求得 MN ? 2 ,又 MQ ? 2 ,进 x 而 NQ ? D C A Q B y z P

6.

cos ?MNQ ?


MN 2 3 ? ? NQ 3 .故二面角 A-PD-Q 的余弦值为 3 . 6 3

19.解: F : x2 ? 4 y ????????3 分 (Ⅰ) (Ⅱ)设 B ? xB , yB ? , C ? xC , yC ? .则

k AB ? k BC ? kCA ?

yB yB ? yC yC ? ? xB xB ? xC xC

2 2 2 2 xB ? xC xC xB ? ? ? 4 xB 4 ? xB ? xC ? 4 xC

?

1 ? xB ? ? xB ? xC ? ? xC ? ? 0 .????????6 分 ? 4? (Ⅲ)① 研究 ?PBC .
k PB ? k BC ? kCP ? yB ? yP yB ? yC yC ? yP ? ? xB ? xP xB ? xC xC ? xP

2 2 2 2 2 2 xB ? xC xC ? xP xB ? xP ? ? ? 4 ? xB ? xP ? 4 ? xB ? xC ? 4 ? xC ? xP ?

?

x 1 ?? xB ? xP ? ? ? xB ? xC ? ? ? xC ? xP ? ? ? P ? 1.??8 分 ? ? 2 4
② 研究四边形 PBCD .

kPB ? kBC ? kCD ? kDP ?
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xB ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xP ? ? ? ? 0 ?????9 分 4 4 4 4
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③ 研究五边形 PBCDE .

kPB ? kBC ? kCD ? kDE ? kEP

?

xB ? xP xB ? xC xC ? xD xD ? xE xE ? xP xP ? ? ? ? ? ? 1.????10 分 4 4 4 4 4 2
④ 研究 n ? 2k 边形 PP ? P ? k ? N ? , k ? 2 ? ,其中 P ? P . 1 1 2 2k

k P1P2 ? k P2 P3 ? k P3P4 ? ? ? ? ?1?

2 k ?1

k P2 k P1
2 k ?1

? xP1

xP1 ? xP2 4

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

xP2 k ? xP1 4

?

?1 ? ? ?1?2 k ?1 ? ? 0 .???????12 分 ? 4 ?
⑤ 研究 n ? 2k ?1 边形 PP2 ? P2 k ?1 ? k ? N ? , k ? 2 ? ,其中 P ? P . 1 1

k P1P2 ? k P2 P3 ? k P3P4 ? ? ? ? ?1?

2 k ?1?1

k P2 k ?1P1
2 k ?1?1

? xP1

xP1 ? xP2 4

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4

? ? ? ? ?1?

xP2 k ?1 ? xP1 4

?

?1 ? ? ?1?2 k ?1?1 ? ? 1 .???14 分 ? 4 ?
注:④⑤可合为研究 n 边形 PP2 ? Pn ? k ? N ? , n ? 3? ,其中 P ? P . 1 1

k P1P2 ? k P2 P3 ? k P3 P4 ? ? ? ? ?1?

n ?1

k Pn P1

?
xP1

xP1 ? xP2 4

?

xP2 ? xP3 4

?

xP3 ? xP4 4
n ?1

? ? ? ? ?1?

n ?1

xPn ? xP1 4

?1 ? ? ?1?n ?1 ? ? ? ? 4 ?

1 ? ? ?1? 2

.???14 分

20 . 解 :( Ⅰ ) 设 点 ( x 0 , y 0 ) 为 直 线 y ? 2 x ? 2 与 曲 线 y ? g (x) 的 切 点 , 则 有

2 ln x0 ? bx0 ? 2 x0 ? 2 .

(*)

? g ?( x) ?

2 2 ? b ,? ? b ? 2 . (**) x0 x 由(*)(**)两式,解得 b ? 0 , g ( x) ? 2 ln x . 、 a 由 f ( x) ? g ( x) 整理,得 ? x ? 2 ln x , x
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……………………………2 分

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2

? x ? 1 ,?要使不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,必须 a ? x ? 2 x ln x 恒成立. 1 2 设 h( x) ? x ? 2 x ln x , h?( x) ? 2 x ? 2(ln x ? x ? ) ? 2 x ? 2 ln x ? 2 , x 2 ? h??( x) ? 2 ? ,?当 x ? 1时, h??( x) ? 0 ,则 h?(x) 是增函数, x
? h?( x) ? h?(1) ? 0 , h(x) 是增函数, h( x) ? h(1) ? 1 , a ? 1.…………………5 分
因此,实数 a 的取值范围是 0 ? a ? 1 . (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ………………………………………6 分

1 , x

? f ?( x) ? 1 ?

1 8 ? 0 ,? f (x) 在 [e,3] 上是增函数, f (x) 在 [e,3] 上的最大值为 f (3) ? . 2 3 x

要对 [e,3] 内的任意 k 个实数 x1 , x 2 ,?, x k 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xk ?1 ) ? 16 g ( xk ) 成立,必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值,

?当 x1 ? x2 ? ? ? xk ?1 ? 3 时不等式左边取得最大值, xk ? e 时不等式右边取得最小值.
? (k ? 1) ? 8 ? 16 ? 2 ,解得 k ? 13 .因此, k 的最大值为 13 .……………10 分 3

(Ⅲ)证明(法一) :当 a ? 1 时,根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,

1 1 ………………………………………………………11 分 (x ? ) . 2 x 2k ? 1 2k ? 1 1 2k ? 1 2k ? 1 令x ? ,得 ln ? ( ? ), 2k ? 1 2k ? 1 2 2 k ? 1 2k ? 1 4k 化简得 ln(2k ? 1) ? ln(2k ? 1) ? , ………………………………13 分 4k 2 ? 1
即 ln x ?

ln(2n ? 1) ? ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ?
i ?1 i ?1

n

n

4i . 4i ? 1
2

………………………14 分

(法二)数学归纳法:当 n ? 1时,左边=

4 ,右边= ln 3 , 3 1 ? 2 ln x . x

根据(1)的推导有, x ? (1,??) 时, f ( x) ? g ( x) ,即 x ? 令 x ? 3 ,得 3 ?

因此, n ? 1时不等式成立. (另解:? e ?

1 4 ? 2 ln 3 ,即 ? ln 3 . 3 3
………………………………11 分

5 5 4 625 4 4 ,?e ? ( ) ? ) ? 27 ,? 4 ? ln 27 ,即 ? ln 3 . 2 2 16 3 k 4i ? ln(2k ? 1) , 假设当 n ? k 时不等式成立,即 ? 2 i ?1 4i ? 1
则当 n ? k ? 1时,
k 4i 4i 4(k ? 1) 4(k ? 1) ?? 2 ? 4i 2 ? 1 i ?1 4i ? 1 ? 4(k ? 1) 2 ? 1 ? ln(2k ? 1) ? 4(k ? 1) 2 ? 1 , i ?1 k ?1

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要证 n ? k ? 1时命题成立,即证 ln(2k ? 1) ?

4(k ? 1) ? ln(2k ? 3) , 4(k ? 1) 2 ? 1

即证

4(k ? 1) 2k ? 3 . ? ln 2 2k ? 1 4(k ? 1) ? 1

在不等式 x ?

1 2k ? 3 ,得 ? 2 ln x 中,令 x ? x 2k ? 1

ln

2k ? 3 1 2k ? 3 2k ? 1 4(k ? 1) . ? ( ? )? 2k ? 1 2 2k ? 1 2k ? 3 4(k ? 1) 2 ? 1
………………………………………13 分

? n ? k ? 1时命题也成立.
根据数学归纳法,可得不等式

? 4i
i ?1

n

2

4i ? ln(2n ? 1) 对一切 n ? N * 成立. …14 分 ?1

21.铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换
?a 解:(Ⅰ)设 ? ?c b? ?a ? ,则有 ? c d? ? b? d? ? ?1 ? ? ?1? ? a ? ?1? = ? ?1? , ? c ? ? ? ? ? b? d? ? ? ?2 ? ? 0 ? ?1 ? = ? ?2 ? , ? ? ? ?

?a ? b ? ?1 ??2a ? b ? 0, 所以 ? , ,且 ? ?c ? d ? ?1 ??2c ? d ? ?2

?????2 分

?a ? 1 ?b ? 2 ? 解得 ? ?c ? 3 ?d ? 4 ?
? x? ? ?1 (Ⅱ)因为 ? ? ? ? ? y ? ? ?3

?1 所以 M= ? ?3

2? 4? ?

??????4 分

2? ? x ? ? x ? 2 y ? 且 m:2 x? ? y? ? 4 , ? 4 ? ? y ? ?3 x ? 4 y ? ?? ? ? ?

????5 分 ???7 分

所以 2(x+2y)-(3x+4y)=4,即 x+4 =0,这就是直线 l 的方程 (2) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ?

?
4

)

····· 分 ····3 ······ 7 分 ·····

(Ⅱ)圆心到直线距离为 1 ,圆半径为 2 ,所以弦长为 2 (3) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ) f ( x) ? 0 的解集为: (??,?4) ? ( ,??) (Ⅱ) a ? ?

2 3

····· ·····

3分

13 2

····· 7 分 ·····

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