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椭圆及其标准方程学案


椭圆及其标准方程(一)学案
①理解椭圆的定义,明确焦点、焦距的概念,掌握椭圆的标准方程的推导及椭圆 的标准方程; ②进一步学习类比、数形结合的数学思想方法,理解坐标法及其应用.

一、自主学习 1.动手做做看:(两人一组分组试验) 试验一:用事先准备好的绳子,把它的两端都固定在同一点处,套上铅笔,拉紧绳子, 移动笔尖,这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个什么图形? (1)在整个过程中什么不变?(2)笔尖(动点)满足什么几何条件?

试验二:如果把细绳的两端拉开一段距离,分别固定在图板的两点处,套上铅笔,拉紧 绳子,移动笔尖,画出的又是什么图形? (1)在这个运动过程中,什么是不变的? (2)在上面过程中,你能说出移动的笔尖(动点)满足的几何条件吗?

★问题一:通过以上两个试验,你能类比圆的定义试着说出椭圆的定义么?
2、再次尝试 与同桌再次合作,绳长不变,改变两定点的位置,画出的是什么图形?还是椭圆么? 讨论交流,完善椭圆的定义。

3、椭圆的定义:_________________________________(大于 F1 F 2 )的点的轨迹叫做椭圆. 这两个定点叫做椭圆的______,两焦点的距离叫做______ (设为 2c) 找出定义中的关键处:_________________、_________________、_________________ 椭圆定义还可以用集合语言表示____________________________ 注意:1)当定值小于两定点间的距离时:_________________________________ 2)当定值等于两定点间的距离时:_________________________________ 3)当定值大于两定点间的距离时:_____________________________

4.根据定义推导椭圆标准方程:

P F1 F2

★问题二 : 怎样建立坐标系,才能使求出的椭圆方程最为简
单?(在右图上尝试) 推导过程: 1.建系. 2.设点. 3.列式. 4. 化简

思考:你能从右图中找出表示 a,c, a ? c 的线段吗?
2 2

焦点位置



标准方程

焦点的坐标

a , b , c 的关系

焦点的位置与标准方程的联系:

二、尝试应用
练习、下列方程哪些表示的是椭圆,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上?

(1)

x

2

?
2

y

2

?1
2

( 2 ) 9 x ? 25 y ? 225 ? 0
2 2

25

16

(3) ? 3 x ? 2 y ? ? 1

(4)

x m

2 2

?

y
2

2

m ?1

? 1( m ? 0 )

y ? ?1 4 例 1、填空: (独立思考后回答)5

(5 ) ? 3 x ? 2 y ? ? 1
2 2

x

2

2

已知椭圆的方程为:

,则

a=_____,b=_______,c=_______ 焦点坐标为_______ ,焦距=_______ 若曲线上一点 P 到左焦点 F1 的距离为 3, 则点 P 到另一个焦点 F2 的距离等于_________, 则?F1PF2 的周长为___________ 例 2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程:
0 0 两个焦点的坐标分别是 ? ? 4,? 、 ? 4,? ,椭圆上一点到两焦点距离的和等于 10

变式一:将上题焦点改为(0,-4)、(0,4), 结果如何? 变式二:将上题改为两个焦点的距离为 8,椭圆上一点 P 到两焦点的距离和等于 10,结果

如何?
三、练习:课本 42 页


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