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2016新课标三维人教B版数学必修1 3.4 函数的应用(Ⅱ)


函数的应用?Ⅱ?

预习课本 P112~113,思考并完成以下问题
(1)常见函数模型有哪几种?

(2)函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)的增长速度有什么不同?

[新知初探]
1.几类不同增长速度的函数模型 (1)指数函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c 为常数,a≠0,b>0,且 b≠1); (2)对数函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m≠0,a>0,且 a≠1); (3)幂函数模型:y=axm+n(m,n,a 为常数,a≠0). 2.指数函数、对数函数和幂函数的增长差异 一般地,在区间(0,+∞)上,尽管函数 y=ax(a>1),y=logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是增 函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”上. 随着 x 的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于 y=xn(n>0)的增长 速度,而 y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢. 因此,总会存在一个 x0,使得当 x>x0 时,就有 logax<xn<ax(a>1,n>0).

[小试身手]
1.判断.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x2 比 y=2x 增长的速度更快些.( ) )

(2)当 a>1,n>0 时,在区间(0,+∞)上,对任意的 x,总有 logax<xn<ax 成立.( 答案:(1)× (2)×

2.我国工农业总产值从 1996 年到 2016 年的 20 年间翻了两番,设平均每年的增长率 为 x,则有( ) B.(1+x)20=3 D.(1+x)20=4

A.(1+x)19=4 C.(1+x)20=2

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答案:D 3.某种产品每件 80 元,每天可售出 30 件,如果每件定价 120 元,则每天可售出 20 件 , 如 果 售 出 件 数 是 定 价 的 一 次 函 数 , 则 这 个 函 数 解 析 式 为 _____________________________. 1 答案:y=- x+50(0<x<200) 4

指数函数模型

[典例]

某林区 2015 年木材蓄积量为 200 万立方米.由于采取了封山育林、严禁采伐

等措施,木材蓄积量的年平均增长率能达到 5%. (1)若经过 x 年后,该林区的木材蓄积量为 y 万立方米,求 y=f(x)的表达式,并求此函 数的定义域. (2)作出函数 y=f(x)的图象,并应用图象求多少年后,林区的木材蓄积量能达到 300 万 立方米. [解] (1)现有木材蓄积量为 200 万立方米;

1 年后,木材蓄积量为 200+200×5%=200(1+5%)(万立方米); 2 年后,木材蓄积量为 200(1+5%)2(万立方米); ?? x 年后,木材蓄积量为 200(1+5%)x(万立方米). ∴y=f(x)=200(1+5%)x. ∵x 虽然以年为单位,但木材每时每刻都在生长, ∴x≥0 且 x∈R.∴函数的定义域为 x∈[0,+∞). (2)作函数 y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的图象,列表如下: x y 0 200 1 210 2 220.5 3 231.525 ? ?

图象如图所示.

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作直线 y=300,与函数 y=200(1+5%)x 的图象交于 A 点,则 A(x0,300),A 点的横坐标 x0 的值就是函数值 y=300 时(木材蓄积量为 300 万立方米时),所经过的时间 x. ∵8<x0<9,∴取 x=9. ∴9 年后,林区的木材蓄积量能达到 300 万立方米.

指数函数模型的应用 在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数 模型表示.通常可以表示为 y=N(1+p)x(其中 N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.

[活学活用] 某种产品的年产量为 a,在今后 m 年内,计划使产量平均每年比上年增加 p%. (1)写出产量 y 随年数 x 变化的函数解析式; (2)若使年产量两年内实现翻两番的目标,求 p. 解:(1)设年产量为 y,年数为 x,则 y=a(1+p%)x, 定义域为{x|0≤x≤m,且 x∈N+}. (2)y=a(1+p%)2=4a,解得 p=100.

对数函数模型

[典例]

燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬.研究燕子的科学家发现,2 岁燕子的

Q 飞行速度可以表示为函数 v=5log2 ,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗氧量. 10 (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位; (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度是多少? [解] (1)当燕子静止时,它的速度 v=0.

Q Q 代入 v=5log2 ,可得 0=5log2 ,解得 Q=10, 10 10 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位. (2)将耗氧量 Q=80 代入 v=5log2 Q 得, 10

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80 v=5log2 =5 log28=15(m/s), 10 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速度为 15 m/s.

本题是直接以对数函数为模型的应用题,解答本题首先要分清条件和结论,理顺数量 关系,此题运用了对数的运算性质进行求解.

[活学活用] 里氏震级 M 的计算公式为 M=lg A-lg A0,其中 A 是测震仪记录的地震曲线的最大振 幅,A0 是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是 1 000,此 时标准地震的振幅为 0.001,则此次地震的震级为________级;9 级地震的最大振幅是 5 级 地震的最大振幅的________倍. 解析:根据题意,由 lg 1 000-lg 0.001=6 得此次地震的震级为 6 级.因为标准地震的 振幅为 0.001,设 9 级地震的最大振幅为 A9,则 lg A9-lg 0.001=9,解得 A9=106,同理 5 级地震的最大振幅 A5=102,所以 9 级地震的最大振幅是 5 级地震的最大振幅的 10 000 倍. 答案:6 10 000 函数模型的选择问题

[典例]

某汽车制造商在 2016 年初公告:公司计划 2016 年生产目标定为 43 万辆.已

知该公司近三年汽车生产量如下表所示: 年份 产量 2013 8(万) 2014 18(万) 2015 30(万)

如果我们分别将 2013,2014,2015,2016 定义为第一、二、三、四年.现在你有两个函数 模型: 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 指数函数模型 g(x)=a· bx+c(a≠0, b>0, b≠1), 哪个模型能更好地反映该公司年产量 y 与年份 x 的关系? [解] 建立年产量 y 与年份 x 的函数,可知函数必过点(1,8),(2,18),(3,30).

①构造二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 将点坐标代入, a+b+c=8, ? ? 可得?4a+2b+c=18, ? ?9a+3b+c=30,

解得 a=1,b=7,c=0,

则 f(x)=x2+7x,故 f(4)=44,与计划误差为 1. ②构造指数函数模型 g(x)=a· bx+c(a≠0,b>0,b≠1), 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

ab+c=8, ? ? 2 将点坐标代入,可得?ab +c=18, ? ?ab3+c=30, 则 g(x)= 故 g(4)= 125 ?6?x · -42, 3 ?5?

解得 a=

125 6 ,b= ,c=-42. 3 5

125 ?6?4 · -42=44.4,与计划误差为 1.4. 3 ?5?

由①②可得,f(x)=x2+7x 模型能更好地反映公司年产量 y 与年份 x 的关系.

不同函数模型的选取标准 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律; (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律; (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律; (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律. 因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解 决实际问题.

[活学应用] 某地区植被被破坏,土地沙漠化越来越严重,测得最近三年沙漠增加值分别为 0.2 万公 顷、0.4 万公顷和 0.76 万公顷,则沙漠增加值 y 万公顷关于年数 x 的函数关系式大致可以是 ( ) A.y=0.2x C.y= 2x 10 B.y= 1 2 (x +2x) 10

D.y=0.2+log16x

解析:选 C 对于 A,x=1,2 时,符合题意,x=3 时,y=0.6,与 0.76 相差 0.16; 对于 B,x=1 时,y=0.3;x=2 时,y=0.8;x=3 时,y=1.5,相差较大,不符合题意; 对于 C,x=1,2 时,符合题意,x=3 时,y=0.8,与 0.76 相差 0.04,与 A 比较,符合 题意; 对于 D,x=1 时,y=0.2;x=2 时,y=0.45;x=3 时,y≈0.6<0.7,相差较大,不符 合题意.

层级一

学业水平达标

1.某种动物的数量 y(单位:只)与时间 x(单位:年)的函数关系式为 y=alog2(x+1),若 这种动物第 1 年有 100 只,则第 7 年它们的数量为( )

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A.300 只 C.500 只

B.400 只 D.600 只

解析:选 A 由题意,知 100=alog2(1+1),得 a=100,则当 x=7 时,y=100log2(7+ 1)=100×3=300. 2.在一次数学试验中,采集到如下一组数据: x y -2.0 0.24 -1.0 0.51 0 1 1.00 2.02 2.00 3.98 3.00 8.02 )

则 x,y 的函数关系与下列哪类函数最接近?(其中 a,b 为待定系数)( A.y=a+bx C.y=ax2+b B.y=a+bx b D.y=a+x

解析:选 B 在坐标系中描出各点,知模拟函数为 y=a+bx. 3.下列函数中,随着 x 的增大,增长速度最快的是( A.y=50 C.y=0.4· 2x
-1

)

B.y=1 000x D.y= 1 x e 1 000

解析:选 D 指数函数 y=ax,在 a>1 时呈爆炸式增长,而且 a 越大,增长速度越快, 选 D. 4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后 来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系, 可选用( ) B.二次函数 D.对数型函数

A.一次函数 C.指数型函数

解析:选 D 由于一次函数、二次函数、指数函数的增长不会后来增长越来越慢,只 有对数函数的增长符合. 5.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当 2<x<4 时,有( A.y1>y2>y3 C.y1>y3>y2 B.y2>y1>y3 D.y2>y3>y1 )

解析:选 B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内, 从上到下图象依次对应的函数为 y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故 y2>y1>y3. 6. 小明 2015 年用 7 200 元买一台笔记本. 电子技术的飞速发展, 笔记本成本不断降低, 每过一年笔记本的价格降低三分之一.三年后小明这台笔记本还值________元. 2 2 2 6 400 解析:三年后的价格为 7 200× × × = 元. 3 3 3 3 答案: 6 400 3 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

7. 在不考虑空气阻力的情况下, 火箭的最大速度 v 米/秒和燃料的质量 M 千克、 火箭(除 M? 燃料外 ) 的质量 m 千克的函数关系式是 v = 2 000· ln ? ?1+ m ? . 当燃料质量是火箭质量的 ________倍时,火箭的最大速度可达 12 千米/秒. M? 解析:当 v=12 000 时,2 000· ln? ?1+ m ?=12 000, M? M 6 ∴ln? ?1+ m ?=6,∴ m =e -1. 答案:e6-1 8.已知某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系 y=a· (0.5)x+b,现已知该厂 今年 1 月、 2 月生产该产品分别为 1 万件、 1.5 万件. 则此厂 3 月份该产品的产量为________ 万件.
? ?1=a×0.5+b, 解析: ∵y=a· (0.5)x+b, 且当 x=1 时, y=1, 当 x=2 时, y=1.5, 则有? ?1.5=a×0.25+b, ? ? ?a=-2, 解得? ?b=2. ?

∴y=-2×(0.5)x+2. 当 x=3 时,y=-2×0.125+2=1.75(万件). 答案:1.75 1 9.画出函数 f(x)= x与函数 g(x)= x2-2 的图象,并比较两者在[0,+∞)上的大小关 4 系.

解:函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示. 根据图象易得: 当 0≤x<4 时,f(x)>g(x); 当 x=4 时,f(x)=g(x); 当 x>4 时,f(x)<g(x). 10.一种放射性元素,最初的质量为 500 g,按每年 10%衰减. (1)求 t 年后,这种放射性元素的质量 w 的表达式; (2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1). 解析:(1)最初的质量为 500 g. 经过 1 年,w=500(1-10%)=500×0.9; 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

经过 2 年,w=500×0.92; 由此推知,t 年后,w=500×0.9t. (2)由题意得 500×0.9t=250,即 0.9t=0.5,两边取以 10 为底的对数,得 lg 0.9t=lg 0.5,即 tlg 0.9=lg 0.5, ∴t= lg 0.5 ≈6.6. lg 0.9

即这种放射性元素的半衰期为 6.6 年.

层级二

应试能力达标

1.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图象大致为( )

解析:选 D 设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意可得 ax=a(1+0.104)y,故 y= log1.104x(x≥1),函数为对数函数,所以函数 y=f(x)的图象大致为 D 中图象,故选 D. 2.三个变量 y1,y2,y3,随着变量 x 的变化情况如下表: x y1 y2 y3 1 5 5 5 3 135 29 6.10 5 625 245 6.61 7 1 715 2 189 6.985 9 3 645 19 685 7.2 11 6 655 177 149 7.4 )

则关于 x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( A.y1,y2,y3 C.y3,y2,y1 B.y2,y1,y3 D.y1,y3,y2

解析:选 C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知, 对数函数的增长速度越来越慢,变量 y3 随 x 的变化符合此规律;指数函数的增长速度成倍 增长,y2 随 x 的变化符合此规律;幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间,y1 随 x 的变化符合此规律,故选 C. 3.四人赛跑,假设他们跑过的路程 fi(x)(其中 i∈{1,2,3,4})和时间 x(x>1)的函数关系分 别是 f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面 的人具有的函数关系是( A.f1(x)=x2 C.f3(x)=log2x ) B.f2(x)=4x D.f4(x)=2x

解析:选 D 显然四个函数中,指数函数是增长最快的,故最终跑在最前面的人具有 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

的函数关系是 f4(x)=2x,故选 D. 4.衣柜里的樟脑丸,随着时间会挥发而体积缩小,刚放进的新丸体积为 a,经过 t 天 后体积 V 与天数 t 的关系式为:V=a· e 8 体积变为 a ,则需经过的天数为( 27 A.125 C.75
-kt

4 .已知新丸经过 50 天后,体积变为 a.若一个新丸 9

) B.100 D.50

4? 1 4 - - 解析:选 C 由已知,得 a=a· e 50k,∴e k=? 9?50. ? 9 8 设经过 t1 天后,一个新丸体积变为 a, 27 则 ∴ ∴ 8 a=a· e-kt1, 27 4? t1 8 - =(e k)t1=? ?9?50, 27 t1 3 = ,t =75. 50 2 1

5.某工厂生产某种产品的月产量 y 与月份 x 满足关系式 y=a· 0.5x+b,现已知该厂今 年 1 月份、2 月份生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件,则此工厂 3 月份该产品的产量为 ________万件. 解析:由题意有?
? ?1=0.5a+b, ? ?a=-2, 解得? ?1.5=0.25a+b, ?b=2. ? ?

∴y=-2×0.5x+2. ∴3 月份产量为 y=-2×0.53+2=1.75 万件. 答案:1.75 6.生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水的高度随着时 间的变化而变化,在下图中请选择与容器相匹配的图象,A 对应______;B 对应_____;C 对应______;D 对应______.

解析:A 容器下粗上细,水高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B 容器为球形,水高 度变化为快—慢—快,应与(1)对应;C,D 容器都是柱形的,水高度的变化速度都应是直线 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

型,但 C 容器细,D 容器粗,故水高度的变化为:C 容器快,与(3)对应,D 容器慢,与(2) 对应. 答案:(4) (1) (3) (2) 1 7.函数 f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=x 的图象如图所示,试分别指出各曲线对应 2 的函数,并比较三个函数的增长差异(以 1,a,b,c,d,e 为分界点).

解:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 C1 对应的函数是 f(x)=1.1x, 1 曲线 C2 对应的函数是 h(x)=x ,曲线 C3 对应的函数是 g(x)=ln x+1. 2 由题图知,当 x<1 时,f(x)>h(x)>g(x); 当 1<x<e 时,f(x)>g(x)>h(x); 当 e<x<a 时,g(x)>f(x)>h(x); 当 a<x<b 时,g(x)>h(x)>f(x); 当 b<x<c 时,h(x)>g(x)>f(x); 当 c<x<d 时,h(x)>f(x)>g(x); 当 x>d 时,f(x)>h(x)>g(x).

8.某地区今年 1 月,2 月,3 月患某种传染病的人数分别为 52,54,58.为了预测以后各 月的患病人数,甲选择了模型 y=ax2+bx+c,乙选择了模型 y=p· qx+r,其中 y 为患病人 数,x 为月份数,a,b,c,p,q,r 都是常数.结果 4 月,5 月,6 月份的患病人数分别为 66,82,115,你认为谁选择的模型较好? a· 1 +b· 1+c=52, ? ? 2 2 +b· 2+c=54, 解:依题意,得?a· ? 32+b· 3+c=58, ?a· a+b+c=52, ? ? 即?4a+2b+c=54, ? ?9a+3b+c=58, a=1, ? ? 解得?b=-1, ? ?c=52,
2

所以甲:y1=x2-x+52,

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p· q1+r=52 ①, ? ? 2 q +r=54 ②, 又?p· ? q3+r=58 ③, ?p· ②-①,得 p· q2-p· q1=2, ③-②,得 p· q3-p· q2=4, ⑤÷ ④,得 q=2. 将 q=2 代入④式,得 p=1. 将 q=2,p=1 代入①式,得 r=50, 所以乙:y2=2x+50. 计算当 x=4 时,y1=64,y2=66; 当 x=5 时,y1=72,y2=82; 当 x=6 时,y1=82,y2=114. 可见,乙选择的模型较好. ④ ⑤

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