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【步步高】2014-2015学年高中数学 第一章 1.1.2余弦定理(二)导学案新人教A版必修5



1.1.2

余弦定理(二)

课时目标 1.熟练掌握正弦定理、余弦定理; 2.会用正、余弦定理解三角形的有关问题. 1.正弦定理及其变形 (1) = = =2R. sin A sin B sin C (2)a=2Rsin_A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C. (3)sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R (4)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c. 2.余弦定理及其推论 2 2 2 (1)a =b +c -2bccos_A. 2 b +c2-a2 (2)cos A= . 2bc 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3)在△ABC 中,c =a +b ?C 为直角;c >a +b ?C 为钝角;c <a +b ?C 为锐角. 3.在△ABC 中,边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C,则有: A+B π C (1)A+B+C=π , = - . 2 2 2 (2)sin(A+B)=sin_C,cos(A+B)=-cos_C,tan(A+B)=-tan_C. A+ B C A+B C (3)sin =cos ,cos =sin . 2 2 2 2

a

b

c

a

b

c

一、选择题 1.已知 a、b、c 为△ABC 的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则∠C 的大小为 ( ) A.60° B.90° C.120° D.150° 答案 C 解析 ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab, 2 2 2 ∴a +b -c =-ab, 2 2 a +b -c2 1 即 =- , 2ab 2 1 ∴cos C=- ,∴∠C=120°. 2 2.在△ABC 中,若 2cos Bsin A=sin C,则△ABC 的形状一定是 ( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案 C 解析 ∵2cos Bsin A=sin C=sin(A+B), ∴sin Acos B-cos Asin B=0, 即 sin(A-B)=0,∴A=B. 3.在△ABC 中,已知 sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7,则这个三角形的最小外角为
1

(

) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案 B 解析 ∵a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=3∶5∶7, 不妨设 a=3,b=5,c=7,C 为最大内角, 2 2 2 3 +5 -7 1 则 cos C= =- . 2×3×5 2 ∴C=120°. ∴最小外角为 60°. 2 4.△ABC 的三边分别为 a,b,c 且满足 b =ac,2b=a+c,则此三角形是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 答案 D 2 2 2 解析 ∵2b=a+c,∴4b =(a+c) ,即(a-c) =0. ∴a=c.∴2b=a+c=2a.∴b=a,即 a=b=c. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若 C=120°, c= 2a,则( ) A.a>b B.a<b C.a=b D.a 与 b 的大小关系不能确定 答案 A 解析 在△ABC 中,由余弦定理得, c2=a2+b2-2abcos 120° 2 2 =a +b +ab. 2 2 2 ∵c= 2a,∴2a =a +b +ab. 2 2 2 2 ∴a -b =ab>0,∴a >b ,∴a>b. 6.如果将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度确定 答案 A 2 2 2 解析 设直角三角形三边长为 a,b,c,且 a +b =c , 2 2 2 则(a+x) +(b+x) -(c+x) 2 2 2 2 2 2 =a +b +2x +2(a+b)x-c -2cx-x =2(a+b-c)x+x >0, ∴c+x 所对的最大角变为锐角. 二、填空题 7. 在△ABC 中, 边 a, b 的长是方程 x2-5x+2=0 的两个根, C=60°, 则边 c=________. 答案 19 解析 由题意:a+b=5,ab=2. 2 2 2 由余弦定理得:c =a +b -2abcos C 2 2 2 2 =a +b -ab=(a+b) -3ab=5 -3×2=19, ∴c= 19. 8.设 2a+1,a,2a-1 为钝角三角形的三边,那么 a 的取值范围是________. 答案 2<a<8 1 解析 ∵2a-1>0,∴a> ,最大边为 2a+1. 2 2 2 2 ∵三角形为钝角三角形,∴a +(2a-1) <(2a+1) , 化简得:0<a<8.又∵a+2a-1>2a+1, ∴a>2,∴2<a<8. 9.已知△ABC 的面积为 2 3,BC=5,A=60°,则△ABC 的周长是________. 答案 12
2

解析

S△ABC= AB·AC·sin A

1 2

1 = AB·AC·sin 60°=2 3, 2 2 2 2 ∴AB·AC=8,BC =AB +AC -2AB·AC·cos A 2 2 2 =AB +AC -AB·AC=(AB+AC) -3AB·AC, 2 2 ∴(AB+AC) =BC +3AB·AC=49, ∴AB+AC=7,∴△ABC 的周长为 12. 10.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则△ABC 外接圆的面积是________. 13π 答案 3 解析

S△ABC= bcsin A=

1 2

3 c= 3, 4

∴c=4, 2 2 2 由余弦定理:a =b +c -2bccos A 2 2 =1 +4 -2×1×4cos 60°=13, ∴a= 13. a 13 2 39 ∴2R= = = , sin A 3 3 2 39 13π 2 .∴S 外接圆=π R = . 3 3 三、解答题 a2-b2 11.在△ABC 中,求证: 2 = ∴R=

A-B . sin C sin Acos B-cos Asin B sin A sin B 证明 右边= = ·cos B- ·cos A sin C sin C sin C a a2+c2-b2 b b2+c2-a2 a2+c2-b2 b2+c2-a2 a2-b2 = · - · = - = 2 =左边. 2 2 c 2ac c 2bc 2c 2c c a2-b2 A-B 所以 2 = . c sin C c
12.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边的长,cosB = 且 AB · BC =-21. (1)求△ABC 的面积; (2)若 a=7,求角 C.

3 , 5

AB · BC =-21,∴ BA · BC =21. ∴ BA · BC = | BA |·| BC |·cosB = accosB = 21. 3 4 ∴ac=35,∵cosB = ,∴ sinB = . 5 5 1 1 4 ∴S△ABC = acsinB = ×35× = 14. 2 2 5
解 (1)∵ (2)ac=35,a=7,∴c=5. 2 2 2 由余弦定理得,b =a +c -2accos B=32, ∴b=4 2.由正弦定理: = . sin C sin B

c

b

3

c 5 4 2 ∴sin C= sin B= × = . b 5 2 4 2 ∵c<b 且 B 为锐角,∴C 一定是锐角. ∴C=45°. 能力提升 13.已知△ABC 中,AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是( π π A.0<C≤ B.0<C< 6 2 π π π π C. <C< D. <C≤ 6 2 6 3 答案 A 解析 方法一 (应用正弦定理) AB BC 1 2 ∵ = ,∴ = sin C sin A sin C sin A 1 ∴sin C= sin A,∵0<sin A≤1, 2 1 ∴0<sin C≤ . 2 ∵AB<BC,∴C<A,∴C 为锐角, π ∴0<C≤ . 6

)

方法二 (应用数形结合) 如图所示,以 B 为圆心,以 1 为半径画圆, 则圆上除了直线 BC 上的点外, 都可作为 A 点. 从点 C 向圆 B 作切线, 设切点为 A1 和 A2, π 当 A 与 A1、A2 重合时,角 C 最大,易知此时:BC=2,AB=1,AC⊥AB,∴C= , 6 π ∴0<C≤ . 6 3 2 14.△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 b =ac 且 cos B= . 4 1 1 (1)求 + 的值; tan A tan C (2)设 BA · BC = 解

3 ,求 a+c 的值. 2

3 7 ?3?2 (1)由 cos B= ,得 sin B= 1-? ? = . 4 4 ? ? 4 2 2 由 b =ac 及正弦定理得 sin B=sin Asin C. 1 1 cos A cos C 于是 + = + tan A tan C sin A sin C sin Ccos A+cos Csin A A+C = = 2 sin Asin C sin B = sin B 1 4 7 = = . 2 sin B sin B 7

4

(2)由 BA · BC =

3 3 得 ca·cosB = 2 2

3 2 由 cos B= ,可得 ca=2,即 b =2. 4 2 2 2 由余弦定理:b =a +c -2ac·cos B, 2 2 2 得 a +c =b +2ac·cos B=5, 2 2 2 ∴(a+c) =a +c +2ac=5+4=9,∴a+c=3. 1.解斜三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(至少有一边)才能求解,常见类型及其解法见下表: 已知条件 应用定理 一般解法 由 A+B+C=180°,求角 A; 一边和两角 由正弦定理求出 b 与 c.在有 正弦定理 (如 a,B,C) 解时只有一解. 由余弦定理求第三边 c; 由正 弦定理求出小边所对的角; 再 由 A+B+C=180°求出另一 角.在有解时只有一解. 由余弦定理求出角 A、B;再 利用 A+B+C=180°,求出 角 C.在有一解时只有一解. 由正弦定理求出角 B; 由 A+B +C=180°,求出角 C;再利 用正弦定理或余弦定理求 c.可有两解、一解或无解.

两边和夹角 (如 a,b,C)

余弦定理 正弦定理

三边 (a,b,c) 两边和其中一边的对角如 (a,b,A)

余弦定理

余弦定理 正弦定理

2.根据所给条件确定三角形的形状,主要有两种途径 (1)化边为角; (2)化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

5



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