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椭圆离心率



2016 年 11 月 09 日高中数学椭圆离心率
一.选择题(共 30 小题) 1.已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左焦点,A,B 分别为 C 的

左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴,过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交 于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( ) A. B. C. D.

2.设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点,PF2⊥ )

F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

3.已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两

点,连接 AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为( A. B. C. D.



4.斜率为

的直线 l 与椭圆

交于不同的两点,且这两个交点在 x )

轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( A. B. C. D.

5.在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,若一个椭圆通过 A、B 两点,它的一个焦点为 C,另一个 焦点 F 在 AB 上,则这个椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

6.已知点 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的

直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( ) A. (0, ﹣1) B. ( ﹣1,1) C. (0, ﹣1) D. ( ﹣l,1)

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7.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 且与 x 轴垂直的直

线交椭圆于 A、B 两点,直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C,若△ABF2 的面积是△BCF2 的面积的 2 倍,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

8.如图,焦点在 x 轴上的椭圆

+

=1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆

上位于第一象限内的一点, 且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于 A 点, △APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q,若|F1Q|=4,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

9.已知椭圆 C2 过椭圆 C1: 为( A. ) B. C. D.

的两个焦点和短轴的两个端点,则椭圆 C2 的离心率

10.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1(﹣c,0) 、F2(c,0) ,过点 F2

且斜率为 离心率为( A.

的直线 l 交直线 2bx+ay=0 于 M,若 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上,则椭圆的 ) C. D.

B.

11.已知 F 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点,A 为右顶点,P 是椭圆上一点,且 PF

⊥x 轴,若|PF|= |AF|,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D.



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12.已知椭圆

的左顶点和上顶点分别为 A、B,左、右焦点分别是 )

F1,F2,在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1⊥PF2,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

13. 设 P 为椭圆

+

=1 (a>b>0) 上一点, F1、 F2 为焦点, 如果∠PF1F2=75°, ∠PF2F1=15°, ) D.

则椭圆的离心率为( A. B. C.

14.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与椭圆交于 )

A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率为 ( A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣

15.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P 在椭圆上,O 为坐标
2

原点,若|OP|= |F1F2|,且|PF1|?|PF2|=a ,则该椭圆的离心率为( A. B. C. D.



16.若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点,则该椭圆的 离心率为( ) A. B. C. D.

17.设 F1,F2 是椭圆 E 的两个焦点,P 为椭圆 E 上的点,以 PF1 为直径的圆经过 F2,若 tan ∠PF1F2= A. B. ,则椭圆 E 的离心率为( C. D. )

18.已知椭圆 Г:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2c,左焦点为 F,若直线 y=x+c 与椭圆交 )

于 A,B 两点,且|AF|=3|FB|,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

19.椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,若椭圆上存在一点 P 使得∠ )

F1PF2=90°,且|PF1|是|PF2|和|F1F2|的等差中项,则椭圆的离心率 e 为(
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A.

B.

C.

D.

20.已知椭圆

+

=1(a>b>0)短轴的两个端点为 A、B,点 C 为椭圆上异于 A、B 的

一点,直线 AC 与直线 BC 的斜率之积为﹣ ,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.



21.已知 F1,F2 为椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,以原点 O 为圆心,半焦距为

半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于 y 轴右侧的两个交点为 A,B,若△ABF1 为等边三 角形,则椭圆的离心率为( ) A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.

22.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥ )

x 轴,直线 AB 交 y 轴于点 P,若 AP:PB=2:1,则椭圆的离心率是( A. B. C. D.

23.已知 F1,F2 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,点 A(1, )

)在

椭圆 C 上,|AF1|+|AF2|=4,则椭圆 C 的离心率是( A. B. C. D.

24.设过椭圆

+

=1(a>b>0,c=

)的左焦点与上顶点的直线为 l,若坐标

原点 O 到直线 l 的距离为 ,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.



25.椭圆 C 的焦点在 x 轴上,一个顶点坐标是(2,0) ,过焦点且垂直于长轴的弦长为 1, 则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

26.已知椭圆

与 x 轴负半轴交于点 C,A 为椭圆第一象限上的点,

直线 OA 交椭圆于另一点 B,椭圆的左焦点为 F,若直线 AF 平分线段 BC,则椭圆的离心率 等于( )
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A.

B.

C.3

D.

27.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的上下左右顶点分别为 A,B,C,D,且左右的焦点 )

为 F1,F2,且以 F1F2 为直径的圆内切于菱形 ABCD,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

28.已知 F1、F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,以 F1F2 为直径的圆与椭圆在

第一象限的交点为 P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H,若|PH|= ,则此椭圆的离心率为 ( A. ) B. C. D.2 ﹣2

29.已知 A 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左顶点,点 P 的坐标为(0,a) ,若线段 AP 的 )

中点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

30.已知 F1,F2 分别是椭圆

(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上的一点, )

若∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三边长成等差数列,则椭圆的离心率是( A. B. C. D.

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2016 年 11 月 09 日高中数学椭圆离心率
参考答案与试题解析

一.选择题(共 30 小题) 1. (2016 春?德宏州校级期末)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: + =1(a>b>0)的

左焦点,A,B 分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴,过点 A 的直线 l 与线 段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( ) A. B. C. D.

【分析】由题意可得 F,A,B 的坐标,设出直线 AE 的方程为 y=k(x+a) ,分别令 x=﹣c, x=0,可得 M,E 的坐标,再由中点坐标公式可得 H 的坐标,运用三点共线的条件:斜率相 等,结合离心率公式,即可得到所求值. 【解答】解:由题意可设 F(﹣c,0) ,A(﹣a,0) ,B(a,0) , 令 x=﹣c,代入椭圆方程可得 y=±b =± ,

可得 P(﹣c,±

) ,

设直线 AE 的方程为 y=k(x+a) , 令 x=﹣c,可得 M(﹣c,k(a﹣c) ) ,令 x=0,可得 E(0,ka) , 设 OE 的中点为 H,可得 H(0, ) ,

由 B,H,M 三点共线,可得 kBH=kBM, 即为 化简可得 = , = ,即为 a=3c,

可得 e= = . 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和性质,以及直线方程的运用 和三点共线的条件:斜率相等,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

2. (2016?淮南一模)设椭圆 C:

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 )

C 上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为( A. B. C. D.

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【分析】设|PF2|=x,在直角三角形 PF1F2 中,依题意可求得|PF1|与|F1F2|,利用椭圆离心 率的性质即可求得答案. 【解答】解:设|PF2|=x, ∵PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, ∴|PF1|=2x,|F1F2|= x, 又|PF1|+|PF2|=2a,|F1F2|=2c ∴2a=3x,2c= x, ∴C 的离心率为:e= = .

故选 A. 【点评】 本题考查椭圆的简单性质, 利用三角形边角关系求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键, 考查理解与应用能力.

3. (2016?南阳校级三模)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点

的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离 心率为( A. B. ) C. D.

【分析】由已知条件,利用余弦定理求出|AF|,设 F′为椭圆的右焦点,连接 BF′,AF′.根 据对称性可得四边形 AFBF′是矩形,由此能求出离心率 e. 【解答】解:如图所示, 在△AFB 中,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= , 由余弦定理得 |AF| =|AB| +|BF| ﹣2|AB||BF|cos∠ABF =100+64﹣2×10×8× =36, ∴|AF|=6,∠BFA=90°, 设 F′为椭圆的右焦点,连接 BF′,AF′. 根据对称性可得四边形 AFBF′是矩形. ∴|BF′|=6,|FF′|=10. ∴2a=8+6,2c=10,解得 a=7,c=5. ∴e= = . 故选 B.
2 2 2

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【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意余弦定理、椭 圆的对称性等知识点的合理运用.

4. (2016?江西模拟)斜率为

的直线 l 与椭圆

交于不同的两点, )

且这两个交点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( A. B. C. D.
2 2

【分析】 先根据题意表示出两个焦点的交点坐标, 代入椭圆方程, 两边乘 2a b , 求得关于 的方程求得 e. 【解答】解:两个交点横坐标是﹣c,c 所以两个交点分别为(﹣c,﹣ c) (c, c)

代入椭圆
2 2

=1

两边乘 2a b 2 2 2 2 2 则 c (2b +a )=2a b 2 2 2 ∵b =a ﹣c 2 2 2 2 2 c (3a ﹣2c )=2a^4﹣2a c 2 2 2a^4﹣5a c +2c^4=0 2 2 2 2 (2a ﹣c ) (a ﹣2c )=0 =2,或 ∵0<e<1 所以 e= = 故选 A 【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质.考查了椭圆方程中 a,b 和 c 的关系.

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5. (2016?宁夏校级二模)在 Rt△ABC 中,AB=AC=1,若一个椭圆通过 A、B 两点,它的 一个焦点为 C,另一个焦点 F 在 AB 上,则这个椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

【分析】设椭圆的另一焦点为 C′,依题意可求得 a,进一步可求得 AC′,在直角三角形 ACC′ 中,可求得 CC′,即 2c,从而可求得这个椭圆的离心率. 【解答】解:∵在 Rt△ABC 中,AB=AC=1, ∴ABC 是个等腰直角三角形, ∴BC= ; 设另一焦点为 C′ 由椭圆定义,BC′+BC=2a,AC′+AC=2a, 设 BC′=m,则 AC′=1﹣m, 则 +m=2a,1+(1﹣m)=2a 两式相加得:a= ∴AC′=2a﹣AC=1+ ; ﹣1=
2

直角三角形 ACC′中,由勾股定理: (2c) =1+ = ∴c= ∴e= = 故选 A. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得 c= 定理,属于中档题. 是关键,也是难点,考查椭圆的定义与勾股 . = = ﹣ .

6. (2016 春?绵阳校级月考)已知点 F1、F2 分别是椭圆

的左、右焦

点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点,若△ABF2 是锐角三角形,则该椭圆 的离心率 e 的取值范围是( ) A. (0, ﹣1) B. ( ﹣1,1) C. (0, ﹣1) D. ( ﹣l,1) 【分析】由题设知 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,A(﹣c, ) ,B(﹣c,﹣ ) ,由△ABF2

是锐角三角形, 知 tan∠AF2F1<1, 所以

, 由此能求出椭圆的离心率 e 的取值范围.

【解答】解:∵点 F1、F2 分别是椭圆 过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 A、B 两点,

的左、右焦点,

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∴F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,A(﹣c, ∵△ABF2 是锐角三角形, ∴∠AF2F1<45°,∴tan∠AF2F1<1, ∴ ,
2

) ,B(﹣c,﹣

) ,

整理,得 b <2ac, 2 2 ∴a ﹣c <2ac, 2 2 两边同时除以 a ,并整理,得 e +2e﹣1>0, 解得 e> ∴0<e<1, ,或 e<﹣ , (舍) ,

∴椭圆的离心率 e 的取值范围是( ) . 故选 B. 【点评】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意合 理地进行等价转化.

7. (2016?浦城县模拟)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过

F1 且与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点, 直线 AF2 与椭圆的另一个交点为 C, 若△ABF2 的面积是△BCF2 的面积的 2 倍,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

【分析】设椭圆的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,设 x=﹣c,代入椭圆方程, 求得 A 的坐标, 设出 C ( x, y) , 由△ABF2 的面积是△BCF2 的面积的 2 倍, 可得 =2 ,

运用向量的坐标运算可得 x,y,代入椭圆方程,运用离心率公式,解方程即可得到所求值. 【解答】解:设椭圆的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 由 x=﹣c,代入椭圆方程可得 y=± 可设 A(﹣c, ) ,C(x,y) , ,

由△ABF2 的面积是△BCF2 的面积的 2 倍, 可得 =2 , )=2(x﹣c,y) , =2y, ,

即有(2c,﹣

即 2c=2x﹣2c,﹣ 可得 x=2c,y=﹣

代入椭圆方程可得,

+

=1,
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由 e= ,b =a ﹣c , 即有 4e + ﹣ e =1, 解得 e= .
2 2

2

2

2

故选:A. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的方程和向量的共线的坐标表示,考 查化简整理的运算能力,属于中档题.

8. (2016?浙江模拟)如图,焦点在 x 轴上的椭圆

+

=1(a>0)的左、右焦点分别为

F1、F2,P 是椭圆上位于第一象限内的一点,且直线 F2P 与 y 轴的正半轴交于 A 点,△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q,若|F1Q|=4,则该椭圆的离心率为( )

A.

B.

C.

D.

【分析】由△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q,根据切线长定理,可得|PQ|=|F1M| ﹣|PF2|,再结合|F1Q|=4,求得|PF1|+|PF2|=8,即 a=4,再由隐含条件求得 c,则椭圆的 离心率可求. 【解答】解:如图,△APF1 的内切圆在边 PF1 上的切点为 Q, ∴根据切线长定理可得|AM|=|AN|,|F1M|=|F1Q|,|PN|=|PQ|, ∵|AF1|=|AF2|, ∴|AM|+|F1M|=|AN|+|PN|+|PF2|, ∴|F1M|=|PN|+|PF2|=|PQ|+|PF2|, ∴|PQ|=|F1M|﹣|PF2|, 则|PF1|+|PF2|=|F1Q|+|PQ|+|PF2|=|F1Q|+|F1M|﹣|PF2|+|PF2|=2|F1Q|=8, 即 2a=8,a=4, 又 b =3, 2 2 2 ∴c =a ﹣b =13,则 ∴椭圆的离心率 e= 故选:D.
2

, .

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【点评】本题考查椭圆的离心率,考查三角形内切圆的性质,考查切线长定理,考查学生的 计算能力,是中档题.

9. (2016?朔州模拟)已知椭圆 C2 过椭圆 C1: 则椭圆 C2 的离心率为( A. B. C. ) D.

的两个焦点和短轴的两个端点,

【分析】求得椭圆 C1 的焦点和短轴的两个端点,可得椭圆 C2 的 a=3,b= 心率公式可得. 【解答】解:椭圆 C1: 短轴的两个端点为(0,±3) , 由题意可得椭圆 C2 的 a=3,b= 可得 c= =2, , 的焦点为(± ,0) ,

,求得 c,由离

即有离心率 e= = . 故选:A. 【点评】 本题考查椭圆的离心率的求法, 注意运用椭圆的性质, 求得 a, b, c 是解题的关键, 属于基础题.

10. (2016?湘西州二模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1(﹣c,0) 、

F2(c,0) ,过点 F2 且斜率为 径的圆上,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

的直线 l 交直线 2bx+ay=0 于 M,若 M 在以线段 F1F2 为直 )

【分析】由已知得出过点 F2 且斜率为

的直线 l 的方程,与 2bx+ay=0 联立即可解得交点

M 的坐标,代入以线段 F1F2 为直径的圆的方程,即可得出离心率 e.
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【解答】解:设过点 F2 且斜率为

的直线 l 的方程为 y= )

(x﹣c) ,

与 2bx+ay=0 联立,可得交点 M( ,﹣ ∵点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆上, ∴( ) +(﹣ ∴b= a,
2

) =c ,

2

2

∴c= a, ∴e= = . 故选:C. 【点评】本题考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,熟练掌握椭圆的离心率、直线的 点斜式、圆的方程是解题的关键.

11. (2016 春?漯河校级期末)已知 F 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点,A 为右顶点,

P 是椭圆上一点,且 PF⊥x 轴,若|PF|= |AF|,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D.



【分析】令 x=﹣c,代入椭圆方程,解得|PF|,再由|AF|=a+c,列出方程,再由离心率公 式,即可得到. 【解答】解:由于 PF⊥x 轴, 则令 x=﹣c,代入椭圆方程,解得, y =b (1﹣
2 2

)=



y=



又|PF|= |AF|, 即 = (a+c) ,
2 2 2

即有 4(a ﹣c )=a +ac, 即有(3a﹣4c) (a+c)=0, 则 e= .

故选 B. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,考查离心率的求法,考查运算能力,属于基础题.

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12. (2016?赤峰模拟) 已知椭圆

的左顶点和上顶点分别为 A、 B, 左、

右焦点分别是 F1,F2,在线段 AB 上有且只有一个点 P 满足 PF1⊥PF2,则椭圆的离心率为 ( ) A. B. C. D.

【分析】由题意可求得 AB 的方程,设出 P 点坐标,代入 AB 的方程,由 PF1⊥PF2,得 ? =0,运用导数求得极值点,结合椭圆的离心率公式,解方程即可求得答案.

【解答】解:依题意,作图如下: 由 A(﹣a,0) ,B(0,b) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,0) , 可得直线 AB 的方程为: + =1,整理得:bx﹣ay+ab=0,

设直线 AB 上的点 P(x,y) ,则 bx=ay﹣ab, x= y﹣a, 由 PF1⊥PF2, ∴ ? =(﹣c﹣x,﹣y)?(c﹣x,﹣y)=x +y ﹣c
2 2 2 2 2 2

=( y﹣a) +y ﹣c , 令 f(y)=( y﹣a) +y ﹣c , 则 f′(y)=2( y﹣a)? +2y,
2 2 2

由 f′(y)=0 得:y=

,于是 x=﹣





?

=(﹣

) +(

2

) ﹣c =0,

2

2

整理得: ∴e ﹣3e +1=0, ∴e = ∴e = 可得 e= 故选:D.
2 2 4 2

=c ,又 b =a ﹣c ,e =

2

2

2

2

2



,又椭圆的离心率 e∈(0,1) , =( , ),
2

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【点评】本题考查椭圆的性质,向量的数量积的坐标表示,考查直线的方程的运用,着重考 查椭圆离心率,以及化简整理的运算能力,属于中档题.

13. (2016?海南校级模拟)设 P 为椭圆

+

=1(a>b>0)上一点,F1、F2 为焦点,如 )

果∠PF1F2=75°,∠PF2F1=15°,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

【分析】 依题意, △PF1F2 为直角三角形,设|PF1|=m,|PF2|=n, 可求得 m,n 与 c 的关系, 从而可求椭圆的离心率. 【解答】解:∵∠PF1F2=15°,∠PF2F1=75°, ∴,△PF1F2 为直角三角形,∠F1PF2=90°, 设|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c, 则 n=2csin75°,m=2csin15°, 又|PF1|+|PF2|=m+n=2a ∴2csin15°+2csin75°=2a, ∴e= = = .

故选:D. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,求得|PF1|、|PF2|与|F1F2|之间的关系是关键,考查分 析与运算能力,属于中档题.

14. (2016?郑州一模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F2

的直线与椭圆交于 A、B 两点,若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则离心率 为 ( ) A. B.2﹣ C. ﹣2 D. ﹣

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【分析】设|F1F2|=2c,|AF1|=m,若△ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 |AB|=|AF1|=m,|BF1|= m,再由椭圆的定义和周长的求法,可得 m,再由勾股定理, 可得 a,c 的方程,求得 ,开方得答案.

【解答】解:如图,设|F1F2|=2c,|AF1|=m, 若△ABF1 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, 则|AB|=|AF1|=m,|BF1|= m, 由椭圆的定义可得△ABF1 的周长为 4a, 即有 4a=2m+ m,即 m=2(2﹣ )a, 则|AF2|=2a﹣m=(2 ﹣2)a, 在直角三角形 AF1F2 中, 2 2 2 |F1F2| =|AF1| +|AF2| , 2 2 2 2 2 即 4c =4(2﹣ ) a +4( ﹣1) a , 2 2 ∴c =(9﹣6 )a , 则e =
2

=9﹣6 .

=



∴e= 故选:D.

【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,主要考查离心率的求法,同时考查勾股定理的 运用,灵活运用椭圆的定义是解题的关键,是中档题.

15. (2016?银川校级一模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点 P
2

在椭圆上, O 为坐标原点, 若|OP|= |F1F2|, 且|PF1|?|PF2|=a , 则该椭圆的离心率为 ( A. B. C. D.
2



【分析】由椭圆的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|?|PF2|=a ,可得|PF1|=|PF2|=a, 即 P 为椭圆的短轴的端点,由条件可得 b=c,计算即可得到椭圆的离心率. 【解答】解:由椭圆的定义可得,|PF1|+|PF2|=2a, 2 又|PF1|?|PF2|=a , 可得|PF1|=|PF2|=a,即 P 为椭圆的短轴的端点,

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|OP|=b,且|OP|= |F1F2|=c, 即有 c=b= 即为 a= c,e= = , .

故选:C. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的定义,以及 a,b,c 的关系,考查 运算能力,属于基础题. 16. (2016?福建模拟)若椭圆上存在三点,使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个 顶点,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

【分析】 由正方形和椭圆的对称性可得, 设椭圆方程为

+

=1 (a>b>0) , 由B (a, 0) ,
2 2

OABC 为正方形,可得 A( , ) ,C( ,﹣ ) ,代入椭圆方程,可得 a =3b ,由 a,b, c 的关系,结合离心率公式,可得所求值. 【解答】解:由正方形和椭圆的对称性可得, 设椭圆方程为 + =1(a>b>0) ,

由 B(a,0) ,OABC 为正方形,可得 A( , ) ,C( ,﹣ ) , 将 A 的坐标代入椭圆方程可得 +
2 2

=1,

即有 a =3b , c =a ﹣b = a , 即有 e= = 故选:D. .
2 2 2 2

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【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用椭圆的性质:对称性,考查点满足椭圆方 程,以及计算能力,属于中档题. 17. (2016?云南二模)设 F1,F2 是椭圆 E 的两个焦点,P 为椭圆 E 上的点,以 PF1 为直径 的圆经过 F2,若 tan∠PF1F2= A. B. C. D. ,则椭圆 E 的离心率为( )

【分析】由题意画出图形,结合已知及椭圆定义把|PF1|、|PF2|用 a,c 表示,再由勾股定 理求得答案. 【解答】解:如图, ∵以 PF1 为直径的圆经过 F2, ∴PF2⊥F1F2,又 tan∠PF1F2= ∴ ,则 , , , , , 或 . (舍) .

由|PF1|+|PF2|=2a,得|PF1|= 在 Rt△PF2F1 中,得 即 解得:

∴椭圆 E 的离心率为 故选:D.

【点评】本题考查椭圆的简单性质,着重考查椭圆定义的应用,是中档题.

18. (2016?佛山二模)已知椭圆 Г:

+

=1(a>b>0)的焦距为 2c,左焦点为 F,若直 )

线 y=x+c 与椭圆交于 A,B 两点,且|AF|=3|FB|,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.

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【分析】联立椭圆方程和直线方程,求得 A,B 两点的纵坐标,把|AF|=3|FB|化为纵坐标 的关系得答案. 【解答】解:如图,
2 2 2 2 4

联立

,得(a +b )y ﹣2b cy﹣b =0.

解得:

=









∵|AF|=3|FB|,∴yA=﹣3yB, 则 ,

∴ 即 ∴ ∴ 故选:C. , . ,



【点评】本题考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,运用了数学转化 思想方法,是中档题.

19. (2016?烟台二模)椭圆

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1、F2,若椭圆上存 )

在一点 P 使得∠F1PF2=90°, 且|PF1|是|PF2|和|F1F2|的等差中项, 则椭圆的离心率 e 为 ( A. B. C. D.

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【分析】设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意可得:

,化简即可得出.

【解答】解:设|PF1|=m,|PF2|=n, 由题意可得:
2

,化为:

+

=4c ,

2

∴7e +2e﹣5=0,0<e<1. 解得 e= , 故选:A. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、勾股定理、等差数列的性质,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

20. (2016?衡水模拟)已知椭圆

+

=1(a>b>0)短轴的两个端点为 A、B,点 C 为椭

圆上异于 A、 B 的一点, 直线 AC 与直线 BC 的斜率之积为﹣ , 则椭圆的离心率为 ( A. B. C. D.



【分析】由题意可得 A(0,b) ,B(0,﹣b) ,设 C(x0,y0) ,代入椭圆方程,运用直线的 斜率公式,由题意可得 a,b 的关系式,结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得. 【解答】解:由题意可得 A(0,b) ,B(0,﹣b) ,设 C(x0,y0) , 由 C 在椭圆上可得 + =1,

即有 x0 =

2

,①

由直线 AC 与 BC 的斜率之积为﹣ ,

可得
2

?
2 2

=﹣ ,

即为 x0 =4(b ﹣y0 ) ,② 由①代入②可得 =4,即 a=2b,

c=

=

a,

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可得离心率 e= =



故选:A. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,涉及椭圆的离心率和直线的斜率公式,考查运算能力, 属中档题.

21. (2016?潍坊三模)已知 F1,F2 为椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,以原点 O

为圆心,半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点,设位于 y 轴右侧的两个交点为 A,B,若 △ABF1 为等边三角形,则椭圆的离心率为( ) A. ﹣1 B. ﹣1 C. D.
° °

【分析】由△ABF1 为等边三角形,及椭圆的对称性可得:∠AF1F2=30 ,又∠F1AF2=90 , 可得 AF2,AF1,利用椭圆的定义可得:c+ =2a,即可得出. ° 【解答】解:由△ABF1 为等边三角形,及椭圆的对称性可得:∠AF1F2=30 ,

又∠F1AF2=90 , ∴AF2=c,AF1= c, ∴c+ =2a,可得 = = ﹣1.

°

故选:B. 【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

22. (2016?韶关二模)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B )

在椭圆上, 且 BF⊥x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P, 若 AP: PB=2: 1, 则椭圆的离心率是 ( A. B. C. D. ,即可得出.

【分析】由 BF⊥x 轴,可得 OP∥BF,可得 【解答】解:∵BF⊥x 轴,∴OP∥BF, ∵AP:PB=2:1,
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∴ ∴ .



则椭圆的离心率



故选:D. 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线分线段成比例的性质定理,属于基础 题.

23. (2016?广州二模)已知 F1,F2 分别是椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,

点 A(1, A. B.

)在椭圆 C 上,|AF1|+|AF2|=4,则椭圆 C 的离心率是( C. D.



【分析】由点 A(1,

)在椭圆 C 上,|AF1|+|AF2|=4,列出方程组能求出椭圆方程,

由此能求出椭圆 C 的离心率. 【解答】解:∵F1,F2 分别是椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,

点 A(1,

)在椭圆 C 上,|AF1|+|AF2|=4,



,解得 a=2,b=1,

∴c=

=

, .

∴椭圆 C 的离心率是 e=

故选:D. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合 理运用.

24. (2016?九江二模)设过椭圆

+

=1(a>b>0,c=

)的左焦点与上顶点的

直线为 l,若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 ,则椭圆的离心率为( A. B. C. D.
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【分析】设椭圆的左焦点 F 为(﹣c,0) ,上顶点 A 为(0,b) ,可得直线 l 的方程,运用点 到直线的距离公式和离心率公式,计算即可得到所求值. 【解答】解:设椭圆的左焦点 F 为(﹣c,0) ,上顶点 A 为(0,b) , 即有直线 l 的方程为 bx﹣cy+bc=0, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 , 即有
2 2 2

= ,

由 a ﹣b =c , 可得 a=2b,c= 则 e= = a, = a,

故选:A. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用点到直线的距离公式,考查运算能力,属 于基础题. 25. (2016?衡水一模)椭圆 C 的焦点在 x 轴上,一个顶点坐标是(2,0) ,过焦点且垂直于 长轴的弦长为 1,则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.

【分析】由已知可得 a,结合椭圆的通径长求得 b,再由隐含条件求得 c,则椭圆的离心率 可求. 【解答】解:由题意,a=2, 在椭圆方程 ,取 x=c,得 ,

∴y=
2

,即过焦点且垂直于长轴的弦长为
2

=1,

则 2b =a=2,b =1, ∴ ∴ . ,

故选:D. 【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,是基础的计算题.

26. (2016?银川二模)已知椭圆

与 x 轴负半轴交于点 C,A 为椭圆

第一象限上的点, 直线 OA 交椭圆于另一点 B, 椭圆的左焦点为 F, 若直线 AF 平分线段 BC, 则椭圆的离心率等于( )

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A.

B.

C.3

D.

【分析】由题意可得 C(﹣a,0) ,F(﹣c,0) ,设 A(m,n) ,可得 B(﹣m,﹣n) ,运用 中点坐标公式和三点共线的条件:斜率相等,结合离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:由题意可得 C(﹣a,0) ,F(﹣c,0) , 设 A(m,n) ,可得 B(﹣m,﹣n) , 可得 BC 的中点 H 为(﹣ ,﹣ ) ,

由 A,F,H 三点共线,可得: kAF=kHF,

即为

=



即 m+c=﹣2c+a+m, 即有 a=3c,e= = . 故选:A. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,注意运用中点坐标公式和三点共线的条件:斜率相 等,考查运算能力,属于中档题.

27. (2016?衡阳校级模拟)已知椭圆

+

=1(a>b>0)的上下左右顶点分别为 A,B,

C,D,且左右的焦点为 F1,F2,且以 F1F2 为直径的圆内切于菱形 ABCD,则椭圆的离心率 e 为( ) A. B. C. D.

【分析】由题意写出菱形 ABCD 一边 AD 所在直线方程,由坐标原点 O 到 AD 的距离等于 c 列式求得关于 e 的方程,求解方程得答案. 【解答】解:菱形 ABCD 一边 AD 所在直线方程为 由题意,坐标原点 O 到 AD 的距离 d= 整理可得 c ﹣3a c +a =0,即:e ﹣3e +1=0, 解得: ∴椭圆的离心率 e= . , (舍去) ,
4 2 2 4 4 2

,即 bx+ay﹣ab=0,



故选:D. 【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与圆位置关系的应用,训练了点到直线距离 公式的应用,是中档题.

第 24 页(共 27 页)

28. (2016?浙江二模)已知 F1、F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,以 F1F2 为

直径的圆与椭圆在第一象限的交点为 P,过点 P 向 x 轴作垂线,垂足为 H,若|PH|= ,则 此椭圆的离心率为( A. B. ) C. D.2 ﹣2

【分析】由已知得

,从而 c =

2

,由此能求出此椭圆的离心率.

【解答】解:∵F1、F2 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点,

以 F1F2 为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为 P, 过点 P 向 x 轴作垂线, 垂足为 H, 若|PH|= ,



,解得 x =

2



∴c =
2 2 2 2 2

2

=
2 4



∴4c (a ﹣c )=5a (a ﹣c )﹣a , 2 2 4 4 2 2 ∴4a c ﹣4c =4a ﹣5a c , 2 4 2 ∴4e ﹣4e =4﹣5e , 4 2 ∴4e ﹣9e +4=0, ∵0<e<1,∴ ∴e= . ,

故选:C. 【点评】本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合 理运用.

29. (2016?永州二模)已知 A 是椭圆

+

=1(a>b>0)的左顶点,点 P 的坐标为(0, )

a) ,若线段 AP 的中点 Q 在椭圆上,则椭圆的离心率 e 为( A. B. C. D.

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【分析】求得 A 的坐标,由中点坐标公式可得 Q 的坐标,代入椭圆方程,结合 a,b,c 的 关系,运用离心率公式计算即可得到所求值. 【解答】解:由题意可得 A(﹣a,0) ,P(0,a) , AP 的中点 Q 的坐标为(﹣ , ) , 由中点 Q 在椭圆上,可得: +
2 2

=1,

即有 a =3b , 由 c =a ﹣b = a , 可得 e= = .
2 2 2 2

故选:D. 【点评】本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率的求法,注意运用中点坐标公 式和点满足椭圆方程,属于中档题.

30. (2016?焦作一模)已知 F1,F2 分别是椭圆

(a>0,b>0)的左、右焦点,P )

为椭圆上的一点, 若∠F1PF2=90°, 且△F1PF2 的三边长成等差数列, 则椭圆的离心率是 ( A. B. C. D.

【分析】 不妨设|PF2|>|PF1|, |PF1|, 2a﹣|PF1|, 2c 成等差数列, 从而得到|PF1|= |PF2|= 圆的离心率. 【解答】解:∵F1,F2 分别是椭圆 ,由∠F1PF2=90°,得到|PF1|?|PF2|=
2



=2b ,由此能求出椭

(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为椭圆上的

一点, ∠F1PF2=90°,且△F1PF2 的三边长成等差数列, ∴不妨设|PF2|>|PF1|,|PF1|,2a﹣|PF1|,2c 成等差数列, ∴2(2a﹣|PF1|)=|PF1|+2c, ∴|PF1|= ,|PF2|=2a﹣
2 2 2

=



∵∠F1PF2=90°,∴|PF1| +|PF2| =4c , 又|PF1|+|PF2|=2a, 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| +2|PF1|?|PF2|=4a , ∴|PF1|?|PF2|= 整理,得 5a ﹣7c ﹣2ac=0,
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2 2

=2b ,

2

∴7e +2e﹣5=0, 解得 e= 或 e=﹣1(舍) . ∴椭圆的离心率是 . 故选:D. 【点评】 本题考查椭圆离心率的求法, 是中档题, 解题时要认真审题, 注意椭圆、 等差数列、 勾股定理、一元二次方程等知识点的合理运用.

2

第 27 页(共 27 页)



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