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平面向量的分解定理向量的应用



平面向量的分解定理平面向量的应用
平面向量的分解定理:

说明:(1)若 e1 , e2 是两不平行向量,且 ?e1 ? ? e2 ? ?1 e1 ? ?1 e2 ,则必有 (2)若 e1 , e2 是两不平行向量,且 ?e1 ? ? e2 与 ?1 e1 ? ?1 e2 平行,则必有 1、已知 a ? (1,2),b ? (?3,2)且k a ?

b与a ? 3b 平行,则 k 的值为

2、 在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 若 + = _________.0.w.w.k. 答案 4/3

=

+

, 其中



R 则

3、若三点 A(2, 2), B(a,0), C (0, b)(ab ? 0) 共线,则

1 1 1 ? 的值等于__________. a b 2

4、已知 ?ABC 的三顶点 A,B,C 的坐标分别为(3,1) , (6,1) , (4,3) ,D 为 BC 的中点,则 ?CAD 的余弦 值为______________. 5、 O 为平面上定点,A, B, C 是平面上不共线的三若( OB ?OC )·( OB ?OC ?2OA )=0, 则?ABC 的形状 是 .答案 等腰三角形

6、已知 a 、 b 是非零向量且满足( a -2 b ) ⊥a ,( b -2 a ) ⊥b ,则 a 与 b 的夹角是_______; 7、已知向量 a 、 b 是不平行非零向量,若 ? a ? ?? ? 0 ,求证 ? ? ? ? 0

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? 3

8、求证 A,B,C,三点共线的充要条件是存在着实数 ? , ? ,使得 OC ? ?OA ? ?OB 其中 ? ? ? ? 1

9、平面上有三个向量 OA 、OB 、OC ,且 | O A| ? |O B| ? 1 , 若 OC ? mOA ? nOB ,求 m ? n

| OC| ?2 3 ,?AOB ? 120 ,?AOC ? 90

B A

C 10、如图,AD,BE,CF 是△ABC 的三条高.求证: AD,BE,CF 相交于一点.

A F H B C E

D

11、已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) 且 | a ? ? |? (1)求 cos(? ? ? ) (2)若 0 ? ? ?

2 5 ; 5

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 且 sin ? ? ?

5 求 cos ? 的值 13

12、设向量 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 0 ,

(1) 、若 | a |? 3, | b |? 1, | c |? 4 ,求 a ? b 及 a ? b ? b ? c ? a ? c (2)、已知平面内三向量 a 、 b 、 c 的模为 1,它们相互之间的夹角为 1200。 | k a ? b ? c |? 1 ,求 k 的取 值范围。

14、 已知向量

,且

。求:

(1)





(2)若

的最小值为

,求 的值。

解:(1)

因为

所以

(2)

由 ①当

,知 时,当且仅当 时, 取最小值 ,与已知矛盾;

②当

时,当且仅当

时,

取得最小值

,令

,解得



③当 矛盾。

时, 当且仅当

时,

取最小值

,令

,解得

,与

综上所述,

即为所求。

14、 、 如图,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a.若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ 与BC 的夹 角θ 取何 值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值.

18



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