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从一道调考题说开去


原题: x, y均为正数,求

x y ? 的最大值 2x ? y x ? 2 y
2 3

方法一:看出来:由轮换对称的形式,很容易想到,当x ? y时,表达式取最大值 方法二:通分计算

x 2 ? y 2 ? 4 xy 1 1.5 xy 1 1.5 ? + 2 ? + 2 2 2 y 2 x ? 2 y ? 5 xy 2 2 x ? 2 y ? 5 xy 2 2 ? 2 x ? 5 x y 1 1.5 2 显然当x ? y时,表达式最大,既原式 ? ? ? 2 9 3 原式=
方法三:形式凑配

分析:

2 x ? y一定可以表示为x和x ? 2 y的线性组合, x ? 2 y一定可以表示为x和2 x ? y的线性组合

目的是获得p

x ? 2y 2x ? y ?q ? r的形式 2x ? y x ? 2y

以利用均值不等式

假设存在s, t , 其中

x x ? 2y y 2x ? y ?s ? p , ?t ? q 2x ? y 2x ? y x ? 2 y x ? 2y

2 1 2 1 解得s ? ? , p ? ? , t ? ? , q ? ? 3 3 3 3

1 x ? 2 y 2 1 2x ? y 2 4 1 x ? 2 y 2x ? y 原式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( ? ) 3 2x ? y 3 3 x ? 2 y 3 3 3 2x ? y x ? 2 y x ? 2 y 2x ? y 4 2 2 ( ? ) ? 2, 原式 ? ? ? 2x ? y x ? 2 y 3 3 3
对第三类方法进行推广

x, y ? R? , 求

5x 10 y ? 的最小值 x ? 2 y 3x ? y

显然这样的题目不太好猜 尝试通分计算:

原式 ?

15x 2 ? 15xy ? 20 y 2 , 无法在分离参数的时候同时消除x 2和y 2 3x2 ? 7 xy ? 2 y 2

用形式凑配

假设存在p, q, r , s使

5x 3x ? y 10 y x ? 2y ?p ? r, 使 ?q ?s x ? 2y x ? 2y 3x ? y 3x ? y

可以解得p ? 2, r ? ?1, q ? 6, s ? ?2
原式 ? 2 3x ? y x ? 2y 3x ? y x ? 2y ?1 ? 6 ?2 ? 2 ?6 ? 3 ? 2 12 ? 3 ? 4 3 ? 3 x ? 2y 3x ? y x ? 2y 3x ? y


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