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高中数学第四章定积分3定积分的简单应用例题与探究北师大版选修2-2资料



高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用例题与探究 北师大 版选修 2-2
高手支招 3 综合探究 1.复合函数的定积分的求法. (1)“凑型”法 有些定积分的计算题,直接应用积分公式不好求,甚至是不能求,此时应将被积函数进行 适当变形后再求解. (2)“变量代换”法 过去在求解数学问题时,我们经常运用变量代换的方法,使问题的基础环境发生转化,其 中体现出来的数学思想就是等价转化思想. 在求定积分的问题上,变量代换仍有很高的价值,这样的代换主要用于“把不可直接运用积 分公式的问题转化成可以直接运用积分公式的问题”. 2.分段函数的定积分的求法. 学习函数的时候,函数的解析式有用统一一个式子给出的,也有用分段的形式给出的.在 积分的学习中,函数也可以用分段的形式给出.求分段函数定积分可以利用积分的可加性,将 区间[a,b]上的积分按分段函数的段分成几部分积分的和 .分段的标准是使每一段上的函数 表达式确定,即是按照原函数分段的情况分即可,无需分得过细. 3.任意曲边形面积的计算方法. 几种常见的曲边梯形面积的计算方法有几种?计算公式是什么? (1)x 型区域(如图所示): ①由一条曲线 y=f(x)(其中 f(x)≥0)与直线 x=a,x=b(a<b)以及 x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=

? a f(x)dx(如图 a); ? a f(x)dx|=- ? a f(x)dx(如图 b); ? a |f(x)-g(x)|dx(如图 c);
b b b

b

②由一条曲线 y=f(x)(其中 f(x)≤0)与直线 x=a,x=b(a<b)以及 x 轴所围 成的曲边梯形的面积:S=|

③由两条曲线 y=f(x),y=g(x)(其中 f(x)≥g(x))与直线 x=a,x=b(a<b) 所围成的曲边梯形的面积:S

图a 图b 图c (2)y 型区域(如图所示): ①由一条曲线 y=f(x)(其中 x≥0)与直线 y=a,y=b(a<b)以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积, 可由 y=f(x)得 x=h(y),然后利用 S=

? a h(y)dy 求出(如图 a);
1

b

②由一条曲线 y=f(x)(其中 x≤0)与直线 y=a,y=b(a<b)以及 y 轴所围成的曲边梯形的面积, 可由 y=f(x)先求出 x=h(y),然后利用 S=|

? a h(y)dy|=- ? a h(y)dy 求出(如图 b); ? a |h (y)-h (y)|dy 求出(如图 c).
1 2

b

b

③ 由 两 条 曲 线 y=f(x),y=g(x) 与 直 线 y=a,y=b(a<b) 所 围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 , 可 由 y=f(x),y=g(x)先分别求出 x=h1(y),x=h2(y),然后利用 S=

b

图a 高手支招 4 典例精析 【例 1】 计算下列定积分. (1)

图b

图c

? ? 1 (4x-x )dx;
2

3

(2)

?0

2

x 1? x2

dx;

? ? 2 2 (3) ? 2 (x+sinx)dx;(4) ? cos xdx. ? 0 ?
2
思路分析:由微积分基本定理可知,求定积分的关键是求出被积函数的一个原函数.

3 (?1) 20 x3 3 2? 2? 解:(1) ? (4x-x )dx=(2x )| -1=(2·3 )-[2x(-1) ]= ; 3 3 3 ?1 3

3

3

3

2

2

(2)

?0

2

x 1? x
2

dx= 1 ? x 2

| =(
0

2

1 ? 2 2 - 1 )= 5 -1;

? ? ( )2 ? ? x2 ?2 (3) ? 2 (x+sinx)dx=( -cosx) | 2 =[ 2 -cos ]-(0-1)= +1; 0 2 2 8 2 0
(4)

??
2 ?

?

-

2

? ? 1 ? cos 2 x x 2 cos xdx= ? 2? dx= ? 2 2 2 2

|

? 2 ? ? 2

+

? 1 ? sin2x | 2? = . ? 4 2 2

? x 3 , x ? [0,1] ? ? 【例 2】 求函数 f(x)= ? x , x ? [1,2] 在区间[0,3]上的积分. ?2 x , x ? [ 2,3] ? ?
2

思路分析: f(x)在[0,3]上的积分可按照 f(x)的分段标准,分成[0,1],[1,2],[2,3]上三段积 分的和. 解:由积分的性质知,

? 0 f(x)dx= ? 0 f(x)dx+ ? 1 f(x)dx+ ? 2 f(x)dx
3
x

3

1

2

3

=

? 0 x dx+ ? 1
3

1

2

3 x dx+ ? 2 dx= ? x dx+ ? x dx+ ? 2xdx 2 0 1 2
3

1

2

1 2

x4 = 4
=?

2 |0 + 3 x 2
1

3

| + ln 2 | = 4 + 3
1 2

2

2x

3

1

4

2-

2 8 4 ? + 3 ln 2 ln 2

5 4 2 4 . ? ? 12 3 ln 2

? ? ?sin x,0 ? x ? 2 , ? 4 ? ? 【例 3】 已知函数 f(x)= ?1, ? x ? 2, 求 ? f(x)dx. 0 ? 2 ? x ? 1,2 ? x ? 4. ? ?
思路分析:将[0,4]上的积分分成[0,

? ? ],[ ,2],[2,4]三个区间上的积分. 2 2

解:

? 0 f(x)dx= ?
? 2 0
2

4

?

2 0

sinxdx+

??

2

1dx+

2

? 2 (x-1)dx

4

4 ? ? x2 =-cosx | +x |? +( -x) | =1+(2- )+(4-0)=7- . 2 2 2 2 2

【例 4】 (2006 山东青岛二模)已知 f(x)=ax +bx+c(a≠0),且 f(-1)=2,f′(0)=0,

2

? 0 f(x)

1

dx=-2,求 a,b,c 的值. 思路分析: 本题主要考查函数知识间的联系,同时考查了导数、 定积分等基本运算能力.解答 本题的方法是:根据题设条件,列出方程组,通过解方程组求出 a,b,c 的值. 解:由 f(1)=2 得,a-b+c=2,① 又 f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b=0,② 而

? 0 f(x)dx= ? 0 (ax +c)dx=( 3 ax +cx)| = 3 a+c,
2 3

1

1

1

1

1

0



1 a+c=-2,③ 3

由①②③得 a=6,b=0,c=-4. 2 2 【例 5】 求由曲线 y =x,y=x 所围成图形的面积.

3

思路分析:利用定积分,按照求面积的基本步骤进行. 解:如图,为了确定图形的范围,先求出这两条曲线的交点的横坐标.由 2 2 y =x,y=x 得出交点的横坐标 x=0 及 x=1.

所以所求图形的面积为 S=

?0
x

1

3 1 1 1 2 1 1 2 x dx- ? x2dx=( x 2 - x3) | = - = . 0 3 3 3 3 0 3
x

【例 6】 试求曲线 y= 所得旋转体的体积.

a a ?a ( e + e )和直线 x=0,x=a,y=0 围成的图形(如图)绕 x 轴旋转一圈 2

? a 思路分析:虽然曲线 y= ( e a + e a )形式上比较复杂,但图已给定了,根据图形可直接用公 2

x

x

式求解.

2 2 2 2 x ? x a 2 a a x a ?a x a a 解:因为[ ( e - ( e +2x]′= e +2+ e ,所以 V=π ? y dx 2 2 0



?0

2 a a

4

(e

2x a

+2+ e

?

2x a

)dx=

? a ? 2 a a [ ( e a - e a )+2x] | 0 2 4 2x 2x

=

? 2 a 2 -2 a [ (e -e )+2a]. 2 4
? x ? a cost , (0≤t≤2π )的面积. ? y ? b sin t

【例 7】 求椭圆 ?

思路分析: 椭圆是中心对称图形,故只需算出第一象限内的面积,再乘以 4 就是整个椭圆的面 积. 解:如图所示,椭圆在第一象限的面积 P=

? 0 ydx= ??

a

2

bsintd(acost)=

2

??

2

bsint·(-asint)dt

2

4

=ab

?

?

2 0

sin tdt=

2

ab sin 2t ? ?ab (t)| 2 = . 0 2 2 4

所以 S=4P=π ab.

【例 8】 某电厂冷却塔外形如右下图所示,它双曲线的一部分绕其中轴(即双曲线的虚轴) 旋转所成的曲面,其中 A、A′是双曲线的顶点,C、C′是冷却塔上口直径 的两个端点,B、 B′是下底直径的两个端点,已知 AA′=14 m,CC′=18 m,BB′=22 m,塔高 20 m.

(1)建立坐标系并写出该双曲线方程. 3 (2)求冷却塔的容积.(精确到 1 m ,塔壁厚度不计,π 取 3.14) 思路分析:应用题是高考数学的一个热点,它能考查我们的理解能力,以及数学建模能力.本 题首先要理解题意,建立平面直角坐标系,将其转化为代数问题. 解:(1)如图所示,建立直角坐标系 xOy,使 AA′在 x 轴上,AA′的中点为坐标原点 O,CC′与 BB′平行于 x 轴.

设双曲线方程为

1 x2 y2 - 2 =1(a>0,b>0),则 a= AA′=7. 2 2 a b

又设 B(11,y1),C(9,y2), 因为点 B、C 在双曲线上,所以有

112 y12 ? =1, 72 b2
2 9 2 y2 ? =1, 72 b2





由题意,知 y2-y1=20.③ 由①②③,得 y1=-12,y2=8,b=7 2 . 故双曲线方程为

x2 y2 ? =1; 49 98

5

(2)由双曲线方程,得 x =
3

2

1 2 y +49. 2 1 1
8 ?12

设冷却塔的容积为 V(m ),则 V=π

? ? 12 x dy=π ? ? 12 ( 2 y +49)dy=π ( 6 y +49y)|
2 2 3 3 3

8

8

.

经计算,得 V≈4.25×10 (m ). 3 3 答:冷却塔的容积为 4.25×10 m . 高手支招 5 思考发现 1.用微积分基本定理求定积分,关键是找到满足 F′(x)=f(x)的函数 F(x),即找被积函数的 原函数.利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 ,运用基本初等函数求导公式和导 数的四则运算法则从反方向上求出 F(x). 2.利用定积分求所围成平面图形的面积 ,要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上下 限. 3.实际上 F(x)+c(c 为常数)的导数和 F(x)的导数相同,故

? a f(x)dx 可以写成\-\相同,但结

b

果与 F(b)-F(a)相同,故省略了 c. 4.求一个几何体的体积与求一个曲边图形的面积一样,都是通过“分割、近似、求和、取极 限”这四步方法,体现了微积分的思想.

6



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