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2002年(首届)上海市TI杯高二年级数学竞赛



2002 年(首届)上海市 TI 杯高二年级数学竞赛

个人赛试题
(时间:90 分钟) 一、填空题(共 8 小题,前 4 小题每题 6 分,后 4 小题每题 9 分,满分 60 分) 1.在数学中 e(=2.718281828?)和л (=3.1415926535?)是两个重要的常数,试比较 下列两对数的大小(填写“>” ,或“=” ,或“&

lt;” ) : л __________e ;
e л

ctgл __________ctge

2

2

2.在△ABC 中,AC=2cm,AB=2.5cm,则∠B 的最大可能值是________(用角度值表示) 3.如下图,通常利用方程为 y=x·tgθ -(4.877x )/(v cos θ )(y≥0)的抛物线部分表示 人或动物跳跃时的轨迹,其中θ 表示在起跳点 O 的起跳角(0 <θ <90 ),v 为起跳的初始 速度(单位:米/秒) ,x,y 单位均为米。现有一只青蛙,起跳角θ =30 ,起跳初始速度 v=4.5 米/秒,则这只青蛙最高能跳__________米(精确到 0.01 米)
o o o 2 2 2

y

v

θ O x

4.如下图,对一个正六边形,在它的外面画一个外接圆,再作这个圆的外切正六边形, 这算一次操作。然后,对得到的正六边形还可以进行同样的操作。若原始的正六边形的 边长为 1 厘米,则至少要连续进行__________次操作,才能使最后得到的正六边形面积 超过 1 平方公里。

5.在直角坐标平面上,已知六个点:A(2.412,-1.356) ,B(4.258,1.811) ,C(-3.254, 7.256) ,D(-6.343,2.678) ,E(7.254,5.324) ,F(-2.814,-4.332) ,则使│PA│ +
2

│PB│ +│PC│ +│PD│ +│PE│ +│PF│ 最小的点 P 的坐标是____________________ 6.海拔高度都是 100 米的三个雷达站 A、B、C 正好位于边长为 1000 米的正三角形的三 个顶点上。在某一时刻发现一个目标 M,三个雷达站同时测得三个距离 MA=2000 米, MB=2000 米,MC=1500 米,此时这个目标位于海拔高度__________米的上空(精确到 1 米) 7.已知 AB 是过双曲线 x /a -y /b =1(a>0,b>0)右焦点 F 的弦,且 AB⊥X 轴,M 是双曲 线 的 右 顶 点 , 记 ∠ BMA= θ , 则 用 弧 度 值 来 表 示 θ 的 取 值 范 围 是 ___________________________(精确到 10 ) 8.通过函数 y=sinx+1 和 y=x 的图象交点可知方程 x=sinx+1 在(л /3,2л /3)内有一 个解。为了求出方程 x=sinx+1 精确到 10 的近似解可以采用下述的“迭代”方法进行: 设 xn=sinxn-1+1(n=1,2,3,?), 取 初 始 值 x0=2 , 得
-6 -5 -4 2 2 2 2

2

2

2

2

2

x1=sin2+1=1909297427 ,

x2=sin1.909297427+1=1.94325347,?直到│xn-xn-1│<10 时, 我们就把 x=xn 作为方程的 近似解,则上述方程精确到 10 的近似解是__________ *解答以下三题必须写出解题的必要步骤 二、 (本题满分 20 分) 已知函数 f(x)=10+10sinxcosx-20cos x,若方程 f(x)=m(m 为整数)在[0,л ]内恰有 两个不相等的实数根,求 m 的值。 三、 (本题满分 20 分) ⑴写出一个以 2002 起首的十位完全平方数(应指出它是哪个自然数的平方) ⑵任给一个以 2002 起首的六位数,是否总能在其后面添加 4 个数字,使得到的十位数 是一个完全平方数?证明你的结论 四、 (本题满分 20 分) 椭圆 x /a +y /b =1(a>0,b>0)的面积可用公式 S=л ab 计算。设 F 为椭圆 x /a +y /b =1 (a>0,b>0)的右焦点,且使以 O 为圆心,OF 为半径的圆的面积恰好等于已知椭圆的面 积,A 为该圆与椭圆在第一象限内的交点,记∠XOA=θ (θ 为锐角) ,求θ 的大小(用角 度值表示)
y A
2 2 2 2 2 2 2 2 2 -5

θ
O x



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